高二数学同步单元测试（一） —不等式单元测试（1）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知c
（ ） A．a +c> b +d
B．a -c> b -d
C．a d< b c D． ac?bd
2．设a、b∈R，且a b<0，则
（ A．| a +b|>| a -b|
B．| a +b|<| a -b|
C．| a -b|<| a |-|b|
D．| a -b|<| a |+|b|
3．已知命题p:“x> a”，q:“x≥a”，则p是q的
（ A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
4．不等式| x -4|≤3 的整数解的个数是
（ A．7
B．6
C．5
D．4
5．设集合p={ x |-2< x <3}，Q={ x | | x +1|>2，x∈R}，则集合P∪Q=
（ A．{ x |-2< x <1} B．{ x |1< x <3}
C．{ x |-3< x <3|
D．{ x | x <-3 或x >-2}
6．若log3M+log3N≥4，则M+N的最小值是
（ A．4 B．18
C．43
D．9
7．不等式
2x?2?x?1的解集是
（ A．(-3, -2)∪(0, +∞) B．(-∞, -3)∪(-2, 0) C．(-3, 0)
D．(-∞, -3)∪(0, +∞)
8．若a < b <0，则下列结论中正确的是
（ A. 不等式
11a?b和1|a|?1|b|均不成立
1
）
）
）
）
）
） ）
B. 不等式
1a?b1a?b?1a1a和1|a|?1b1|b|)2均不成立
1aC. 不等式?和(a??(b?)均不成立
2D. 不等式
1|a|?1|b|和(a?1b)?(b?21a)均不成立 121329．关于x的不等式a x 2+b x +2>0的解集是{x|??x?}，则a +b= （ ）
A．10 B．-10 C．14 D．-14
10．已知集合A={ x | | x -1|≤a, a >0}, B={ x | | x -3|>4}，且A∩B=φ，则a的取值范围是 （ ）
A．(0, 2]
B．(-∞, 2]
C．(7, +∞)
D．(- ∞, -1)
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．已知sin2α+sin2β+sin2r=1(α、β、r均为锐角)，则cosαcosβcosr的最大值等于 ． 12．若扇形的面积为S，则半径是 时扇形的周长最小． 13．不等式4x?x2?x的解集是 . 14．某工厂建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/ m2，房屋侧面的造价为800元/ m2，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用，则建造此小房的最低总造价是 元． 三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|loga(1?x)|和 |loga(1?x)|的大小．（12分）
16．解不等式3x?1?18?3?x?29．（12分）
17．锐角三角形△ABC中，已知边a =1，b=2，求边c的取值范围．（12分）
2
18．求证：
19．已知f(x)?1?x2a?b1?a?b?a1?a?b1?b（12分）
当a?b时 求证：|f(a)?f(b)|?|a?b|．（14分）
20．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，
根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少
15．本年度当地旅游业收入
估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
41（Ⅰ）设n年内（本年度为第一年）总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元．写出a n，b n的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ （14分）
3
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 A 5 D 6 B 7 A 8 B 9 D 10 A 二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．
296 12．S 13．(2,4] 14．34600
三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）
[解法一]：
|loga(1?x)|? |loga(1?x)|??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)?
22 ?log(1?x)loga21?xa1?x
∵0 < 1 ? x2 < 1, 0? ∴|log[解法二]： logloga1?x1?x?1 ∴loga(1?x2)loga1?x?0
1?xa(1?x)|? |loga(1?x)|
(1?x)(1?x)a?log1?x(1?x)??log1?x(1?x)?log11?x1?x?log1?x1?x1?x2
?1?log1?x(1?x)
(1?x)?0
22 ∵0 < 1 ? x2 < 1, 1 + x > 1, ∴?log ∴1?log21?x1?x(1?x)?1 ∴|loga(1?x)|? |loga(1?x)|
[解法三]：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 ? x < 1, 1 < 1 + x < 2, ∴loga(1?x)?0,loga(1?x)?0
(1?x)?log2 ∴左 ? 右 = loga(1?x)?logaa(1?x)
2 ∵0 < 1 ? x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴log ∴|log16．（12分）
a(1?x)?0
a(1?x)|? |loga(1?x)|
4
[解析]：原不等式可化为：3?3xx2x?29?3?18?0
xx即：(3?9)(3?3?2)?0 解之得：3∴x>2或x?log?9 或3?x23
233
∴不等式的解集为{x|x>2或x?log233}
17．（12分）
?[解析]：因为△ABC是锐角三角形，且a=1，b=2，c>0， 所以?cosB?0,
2?b2?c2?a24?c?12??0?c?3?0?2bc4c?2即，?b2?a2?c24?1?c2??0?c?5?0?c??2ba4?2222?a?c?b1?c?42??0?c?3?c?3?2ac2c??cosA?0?cosC?0?5
因此，所求c的取值范围是（
18．（12分）
3,5）
[证法一]： 当a?b?0时，不等式显然成立，
当a?b?0时，由0?a?b?a?b?1a?b?1a?b
所以，
a?b1?a?b?11a?b?1?1?11a?b?a?b1?a?b?a1?a?b1?b
[证法二]：要证明原不等式成立，则只需证明：
|a+b|(1+|a|)(1+|b|)≤|a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|), 展开，合并同类项，得：|a+b|≤|a|+2|ab|+|a2b+ab2|+|b|, ∵|a+b|≤|a|+|b|, ∴|a+b|≤|a|+2|ab|+|a2b+ab2|+|b|成立， 故原不等式成立．
19．（14分）
[证法一]：|f(a)?f(b)|?|22a?1?2b?1|?2a?1?b?1a?1?222
b?12 ?|a?b|a?1?2b?12?|(a?b)(a?b)|a2?b2?|a?b||(a?b)|
|a|?|b| 5
?(|a|?|b|)|a?b||a|?|b|?|a?b|
[证法二]：（构造法） 如图：OA?f(a)? OB?f(b)? |AB|?|a?b|
1?a2
1 1?b2A a B
O b 由三角形两边之差小于第三边得：|f(a)?f(b)|?|a?b|
20．（14分）
[解析]：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1-1）万元，．．．．．．，第n年投入为800
5×(1?1)n?1万元．
5 所以，n年内的总投入为an?800?800?(1?15)?????800?(1?15)n?1 ?4000?[1?(4)n]
5 第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1?1)万元．．．．．．．，第n年旅游业收
4入为400×(1?1)n?1万元．
4 所以，n年内的旅游业总收入为bn?400?400?(1?14)?????400?(1?14)n?1?1600?[(54)?1]
n（Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn?an?0
4nn)?1]-4000?[1?()]>0 454n5n 化简得5?()+2?()-7>0
544n2 设x?()，得5 x 2-7 x +2>0，解之得x?或x?1（不合题意，舍去）
554n2 即 ()?
55 即1600?[( 由此得 n?5
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．
5
6
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