浅谈数学归纳法

浅谈数学归纳法

陈国良

井冈山大学数理学院 江西 吉安 邮编：343009

指导老师：曹艳华

[摘要] 用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识. [关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式

1 数学归纳法的萌芽和发展过程

数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。

欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+?+（2n-1）=n2,对任何自然数n都成立。不过他并没有对这原则做出清晰的表述。

对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理：

第一条引理 该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。

第二条引理 如果该命题对任意底（对任意n）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。

由此可得，该命题对所有n值成立。

因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。

帕斯卡的思想论述十一例子来陈述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。直至十七世纪，瑞士数学家J。伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。由此，

数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。十九世纪，意大利数学家皮亚若建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，为数学归纳法奠定了理论基础。即：对于正整数N?的子集M，如果满足：①1∈M;②若a∈M，则a+1∈M；则M=N?.

2 数学归纳法的表现形式

2.1 第一数学归纳法

原理1：设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 （1）当n?n0(n0?N?)时，P(n)成立；

（2）假设n?k(k?n0,k?N?)时命题成立,由此推得n=k+1时，P(n)也成立； 那么，对一切正整数n ?n0,P(n)成立。

证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S??，于是由最小数原理，S中有最小数a,因为命题对于n?1时成立，所以a?1，a?1，从而a?1是个正整数，又由于条件（3）当n?a也成立.因此a?S，导致矛盾，因此该命题对于一切正整数都成立，定理证毕.

在应用数学归纳法时，有些命题不一定从c开始的，这时在叙述上只要将

n?1换成n?c即可，第一数学归纳法主要可概括为以下三步：

①归纳基础：证明c时命题成立； ②归纳假设：假设n?k时命题成立；

③归纳递推;由归纳假设推出n?k?1时命题也成立. 2．2第二数学归纳法

原理2：设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 （1）当n?n0(n0?N?)时，P(n)成立；

（2）假设n?k(k?n0,k?N?)时命题成立,由此推得n=k+1时，P(n)也成立； 那么，对一切正整数n ?n0,P(n)成立。

则这个命题对于一切正整数n都成立其证明方法与上述证明方法类似 由此我们可以看出第二数学归纳法与第一数学归纳法是等价的，在有些情况下，由归纳法

“假设n?k时命题成立”还不够，而需要更强的假定.也就是说，对于命题

P(n)，在证明P(k?1)成立，不仅依赖P(k)成立，而且依赖于前面各步成立.这

时一般要选用第二数学归纳法. 第二数学归纳法可概括为一下三步： ①归纳基础：证明n?1时命题成立; ②归纳假设：假设n?k时命题成立;

③归纳递推：由归纳假设推出n?k?1时命题也成立.

第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设. 2.3.跳板数学归纳法原理

原理3：设P(n)是一个与正整数有关的命题.如果： （1）当n=1，2，3，?，L时，P(n)都成立；

（2）假设n?k时，P(n)成立，由此能推得n=k+L时，P(n)也成立； 那么，对一切正整数n≥1,P(n)成立. 2.4.反向归纳法

反向归纳法是数学家柯西最先使用的，原理：设P(n)是一个与正整数n有关的命题.如果：

（1）P(n)对于无限多个正整数n成立-

（2）假设对正整数k>1, P(k)成立，则P(k?1)也成立； 那么，对一切正整数n?1，P(n)成立.

3 归纳法的两种分类

归纳法有完全归纳法和不完全归纳法（经验归纳法）之分

3.1完全归纳法也叫完全推理。这是根据某类事物中的每一事物都具有某种性质P，推出该类中全部事物都具有该性质P的归纳推理。运用完全归纳法，前提必须包括某类事物中的一切对象，无一遗漏，而且作为前提的判断也必须是真实的。故完全归纳法得出的结论是真实的可靠的。

3.2不完全归纳法是通过对一类事物的部分对象的考察，从中作出有关这一类事物的一般性的结论的猜想的方法。它的可靠性较弱些，但同时是一种创造性较强的方法。在数学发现和数学创造的活动中有十分的重要作用。具体可表示如下： 从具体问题或具体素材出发?实验?归纳?推广?形成普遍命题?证明

3.2.1 用经验归纳法发现问题的结论

常见的有两种形式:一是由特殊事物直接猜测问题的结论；二是根据规律先猜测一个递推规律，然后凭借递推关系去发现结论。

11例1 设正项数列｛an｝的前n项和为sn且sn= (an?)，求该数列的通项公

2an式。

11分析：在sn= (an?)中，依此令n=1,2,?可得：

2an11n=1时，a1?(a1?),从而得a1?1；

2a111n=2时, a1?a2?(a2?),即a22?2a2?1?0.

2a2解之，得a2?2?1,a2??2?1（负值舍去）. 类似的，可得a3?3?2 ?

于是可猜想：an=n?n?1。

结论的正确性可以通过数学归纳法进行证明。 3.2.2 用经验归纳发现解决问题的途径。

例2 证明正方形比可划分为n(n∈N且n ?5)个小正方形。

证明：当n=5,6,7,8.时，命题显然成立。假定当n=3k,n=3k+1(k∈N且k ?2)时，命题也成立，己也可以划分，那么，当n=3(3k+1)+3,n=3(k+1)+1,n=3(k+1)+2时，亦即n=3k+3,n=(3k+2)+3时，只要将n=3k,n=3k+1,n=3k+2时各情形中的一个小正方形分成四个更小的正方形，即可使所划分出的正方形数目增加3个，所以n=3k+3,n=(3k+2)+3时，命题也成立。这样，命题便得到了证明。

4 数学归纳法的形式步骤

例3 对n∈N?,证明: 1?111??....??2n?1 23n分析：这是一个典型的可用数学归纳法证明的命题，证明过程如下： （1）当n=1时，左=1?21?1，命题成立。

（2）假设n=k时，1?111??....??2k?1成立，则当n=k+1时， 23k111?....??)?(2k?1?1 2kk?11?2k?1?1 k?11??2k?1?2k2?k?1?2(k?1) ?k?12k2?k?(2k?1) ?k?1?4k2?4k?4k2?4k?1k?1(2k?k?2k?1)?1k?1(2k?k?2k?1)

22

??0

即1?111?....???2k?1?1，命题也能成立。 2kk?111?....??2n?1成2n（3）综上所述，由数学归纳法原理知，对n∈N?,1?立。

在证明第二步“n=k+1时等式成立”时，除了形式上的变形外，其实质是运用了先前的假设“n=k时等式成立“。因此，第二步一开始的假设不是可有可无，它不是摆设，而是在以后的证明中起着已知条件的作用，不可或缺，也只有这样，才表明由n=k时命题成立到处n=k+1时命题成立的递推关系的真实存在，在用数学归纳法证明时，第一步很简单，第二步很关键，也是综合性较强的一步，其归纳过渡作用。

数学归纳法是一种非常有效的证明与自然数序列有关的命题的数学方法。他绕开了证明过程中的很多障碍显得简洁有力。这种证明方法的本质特征用庞加莱的话来说：“把无穷的第二轮纳入唯一的公式中。”具体运用归纳法原理证明数学命题是分三步：

①验证n去第一个值n0时命题也正确性（奠基）；

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