2024年新高考Ⅰ卷数学真题及参考答案(2)

BCD=

取OD中点H，连结CH，则CH⊥OD

以H为原点，HC,HD,HZ为x，y，z轴建立空间直角坐标系

由①可知，平面BCD的法向量

设C()，B(0,)，D(0,)

则

DE=2EA

且

设⊥平面BEC =(x,y,z)

，即

由于二面角E-BC-D为

==

21.（1）, 

表示双曲线的右支方程：

（2）设，设直线AB的方程为，

，得

设，同理可得

所以

得

即

22.（1）f(x)=x-xlnx

令f’(x)＞0，则0＜x＜1，

令f’(x)＜0，则x＞1

∴f(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,+∞).

(2)

即，即f()=f()

令p=，q=，不妨设0＜p＜1＜q，下面证明2＜p+q＜e.

①先证p+q＞2，当p≥2时结论显然成立.

当q∈(1,2)时，p+q＞2,，则p＞2-q，∴2-q＜1.只需设f(p)＞f(2-q).

即证当q∈(1,2)时，由f(p)＞f(2-q)

令g(x)=f(x)-f(2-x).

g’(x)=f’(x)+f’(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[-(x-1)2+1]

当x∈(1,2)时，-(x-1)2+1＜1，所以g’(x)＞0,

∴g(x)在(1,2)上单调递增，

∴g(q)＞g(1)=0，即f(q)＞f(2-q)

②再设,

当时，，当时，

∴

∵   ∴

要证 只需证

即证当时，有

设，，

设 小于1的根为，则在单调递增，在单调递减.

证毕

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