【解析】
【分析】 根据牛顿第二定律求出支持力为零时，小球的线速度的大小，从而确定小球有无离开圆锥体的斜面，若离开锥面，根据竖直方向上合力为零，水平方向合力提供向心力求出线对小球的拉力大小。
【详解】
若小球刚好离开圆锥面，则小球所受重力与细线拉力的合力提供向心力，有： 此时小球做圆周运动的半径为：解得小球运动的角速度大小为：代入数据得： 若小球运动的角速度为：
小球对圆锥体有压力，设此时细线的拉力大小为F ，小球受圆锥面的支持力为
，则 水平方向上有：
竖直方向上有：
联立方程求得：
【点睛】 解决本题的关键知道小球圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，根据牛顿第二定律求出临界速度是解决本题的关键。
7．如图所示,粗糙水平地面与半径 1.6m R =的光滑半圆轨道BCD 在B 点平滑连接, O 点是半圆轨道BCD 的圆心, B O D 、、三点在同一竖直线上,质量2kg m =的小物块(可视为质点)静止在水平地面上的A 点.某时刻用一压缩弹簧(未画出)将小物块沿AB 方向水平弹出,小物块经过B 点时速度大小为10m/s (不计空气阻力).已知10m AB x =,小物块与水平地面间的
动摩擦因数=0.2μ,重力加速度大小210m/s g =.求：
(1)压缩弹簧的弹性势能；
(2)小物块运动到半圆轨道最高点时,小物块对轨道作用力的大小；
(3)小物块离开最高点后落回到地面上的位置与B 点之间的距离.
【答案】(1)140J (2)25N (3)4.8m
【解析】
(1)设压缩弹簧的弹性势能为P E ，从A 到B 根据能量守恒，有
212
P B AB E mv mgx μ=+ 代入数据得140J P E =
(2)从B 到D ，根据机械能守恒定律有
2211222
B D mv mv mg R =+? 在D 点，根据牛顿运动定律有2D v F mg m R
+= 代入数据解得25N F =
由牛顿第三定律知，小物块对轨道作用力大小为25N
(3)由D 点到落地点物块做平抛运动竖直方向有2122
R gt =
落地点与B 点之间的距离为D x v t =
代入数据解得 4.8m x =
点睛：本题是动能定理、牛顿第二定律和圆周运动以及平抛运动规律的综合应用，关键是确定运动过程，分析运动规律，选择合适的物理规律列方程求解．
8．如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB 与水平面BC 平滑连接于B 点，BC 右端连接内壁光滑、半径r =0.2m 的四分之一细圆管CD ，管口D 端正下方直立一根劲度系数为k =100N/m 的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D 端平齐，一个质量为1kg 的小球放在曲面AB 上，现从距BC 的高度为h =0.6m 处静止释放小球，它与BC 间的动摩擦因数μ=0.5，小球进入管口C 端时，它对上管壁有F N =2.5mg 的相互作用力，通过CD 后，在压缩弹簧过程中滑块速度最大时弹簧弹性势能E p =0.5J 。取重力加速度g =10m/s 2。求：
(1)小球在C 处受到的向心力大小；
(2)在压缩弹簧过程中小球的最大动能E km ；
(3)小球最终停止的位置。
【答案】(1)35N ；(2)6J ；(3)距离B 0.2m 或距离C 端0.3m
【解析】
【详解】
(1)小球进入管口C 端时它与圆管上管壁有大小为 2.5F mg =的相互作用力 故小球受到的向心力为
2.5
3.5 3.511035N F mg mg mg =+==??=向
(2)在C 点，由
2=c v F r
向 代入数据得
21 3.5J 2
c mv = 在压缩弹簧过程中，速度最大时，合力为零，设此时滑块离D 端的距离为0x 则有
0kx mg =
解得
00.1m mg x k
== 设最大速度位置为零势能面，由机械能守恒定律有
201()2
c km p mg r x mv E E ++=+ 得
201()3 3.50.56J 2
km c p E mg r x mv E =++-=+-= (3)滑块从A 点运动到C 点过程，由动能定理得
2132
c mg r mgs mv μ?-=
解得BC 间距离 0.5m s =
小球与弹簧作用后返回C 处动能不变，小滑块的动能最终消耗在与BC 水平面相互作用的过程中，设物块在BC 上的运动路程为s '，由动能定理有
2
12
c mgs mv μ-=-' 解得
0.7m s '=
故最终小滑动距离B 为0.70.5m 0.2m -=处停下.
【点睛】
经典力学问题一般先分析物理过程，然后对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解。
9．过山车是游乐场中常见的设施．下图是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B 、C 、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B 、C 间距与C 、D 间距相等，半径1 2.0m R =、2 1.4m R =．一个质量为 1.0m =kg 的小球（视为质点），从轨道的左侧A 点以012.0m/s v =的初速度沿轨道向右运动，A 、B 间距1 6.0L =m ．小球与水平轨道间的动摩擦因数0.2μ=，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠，如果小球恰能通过第二圆形轨道．如果要使小球不能脱离轨道，试求在第三个圆形轨道的设计中，半径3R 应满足的条件．（重力加速度取210m/s g =，计算结果保留小数点后一位数字．）
【答案】300.4R m <≤或 31.027.9m R m ≤≤
【解析】
【分析】
【详解】
设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v 2，由题意
222
v mg m R = ① ()22122011222
mg L L mgR mv mv μ-+-=- ② 由①②得 12.5L m = ③
要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I ．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v 3，应满足
233v mg m R = ④
()221330112222
mg L L mgR mv mv μ-+-=
- ⑤ 由④⑤得30.4R m = ⑥ II ．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R 3，根据动能定理
()213012202
mg L L mgR mv μ-+-=- ⑦ 解得 3 1.0R m = ⑧
为了保证圆轨道不重叠，R 3最大值应满足
()()2
222332R R L R R +=+- ⑨ 解得：R 3=27.9m ⑩
综合I 、II ，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件 300.4R m <≤或 31.027.9m R m ≤≤ ⑾
【点睛】
本题为力学综合题，要注意正确选取研究过程，运用动能定理解题．动能定理的优点在于适用任何运动包括曲线运动．知道小球恰能通过圆形轨道的含义以及要使小球不能脱离轨道的含义.
10．如图，半径R =0.4m 的部分光滑圆轨道与水平面相切于B 点，且固定于竖直平面
内．在水平面上距B 点s =5m 处的A 点放一质量m =3kg 的小物块，小物块与水平面间动摩擦因数为1=3
μ．小物块在与水平面夹角θ=37o 斜向上的拉力F 的作用下由静止向B 点运动，运动到B 点撤去F ，小物块沿圆轨道上滑，且能到圆轨道最高点C ．（g 取10m/s 2，sin37o =0.6，cos37o =0.8）求：
（1）小物块在B 点的最小速度v B 大小；
（2）在（1）情况下小物块在水平面上运动的加速度大小；
（3）为使小物块能沿水平面运动并通过圆轨道C 点，则拉力F 的大小范围．
【答案】(1)25/B v m s = (2)22/a m s = (3)1650N F N ≤≤(或1650N F N ≤<)
【解析】
【详解】
(1) 小物块恰能到圆环最高点时，物块与轨道间无弹力．设最高点物块速度为v C ，则
2C v mg m R =
解得：
2C v gR =
物块从B 到C 运动，只有重力做功，所以其机械能守恒：
()2211222B C mv mv mg R =+ 解得：
525m/s B v gR ==
(2) 根据运动学规律22B v as =，解得
222m/s 2B v a s
== (3)小物块能沿水平面运动并通过圆轨道C 点，有两种临界情况：
①在F 的作用下，小物块刚好过C 点：物块在水平面上做匀加速运动，对物块在水平面上受力分析如图：
则
Fcos N ma θμ-=
Fsin N mg θ+=
联立解得：
16N mg ma F cos sin μθμθ
+==+ ②在F 的作用下，小物块受水平地面的支持力恰好为零
Fsin mg θ=， 解得：
50N =F
综上可知，拉力F 的范围为：
16N 50N F ≤≤(或16N 50N F ≤<)
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