第3章 特征值和特征向量 练习题

第3章 特征值和特征向量 练习题

1、设非奇异矩阵 A 的一个特征值为 ? = 2，试求出

?x?2、设矩阵 A??0?2?030?12??A??3??1 的一个特征值。（ 3 / 4 ）

2??0? 的一个特征值 ?1 = 0，求 x 值和 A 的全部特征值。（2；0、3、4） 2???x?3、设矩阵 A??0?y?020y??0? 的一个特征值为?3，且A的三个特征值之积为 ?12，确定 x和 y?2??的值。

（ 1 ； 2 或 ?2 ）

?2?4、已知向量 ? = ( 1 , k , 1 )T 是矩阵 A??1?1?1211??1? 的逆矩阵 A?1 的特征向量，试求常数 k 2??之值。（ k = 1 或 ?2 ）

5、设三阶方阵 A 的一个特征值为 1 / 9，与其对应的特征向量 ? = ( 1 , 1 , 1 )T ，求方阵 A 的 9 个元素之和。（ 1 / 3 ）

6、设 n 阶方阵 A 有 n 个特征值 0，1，2，…，n ? 1，且方阵 B 与 A 相似，求 ? B+E ? 。（ n! ）

7、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩 r ( A ) = 2，且满足 A2 = 2 A，求行列式 ? 4 E ? A ? 的值。（16）

8、设向量 ? = ( 1 , 0 , ? 1 ) T ，矩阵 A = ? ?T ，若 n 为正整数，计算行列式 det ( a E ? An ) 的值 。 （ a2 ( a ? 2n ) ）

?0?9、设 A??x?1?0101??y? 有三个线性无关的特征向量（可以相似对角化），求 x、y 应满足的条0??件。（x + y = 0 ）

10、设 n 阶方阵 A 的 n 个特征值 ?1 ，?2 ，…，?n 互不相同，1 ? i ? n ，求矩阵 ?i E ? A 的秩。（ n ? 1 ）

?1?11、已知 A??1?1??1311???1?，（1）求 A 的全部特征值与特征向量；（2）判定 A 能否对角1??化，若能，求可逆矩阵 P ，使 P?1 A P 为对角阵。

（ ?1 =1，k1 ( 1 , ?1 , ?1 )T ，k1 为任意非零常数；?2 = 2（二重），k2 ( 1 , ?1 , 0 )T + k3 ( 1 , 0 ,

?1?T

1 ) ，k2 ，k3 为不全为零的任意常数。P???1??1?1?101??1???10? ，PAP??0?01???0200??0? ） 2??

?2?12、设 A??0?0?02?11??0?，求 A 的全部特征值与特征向量，并判定 A 是否与对角阵相似（说1??明理由）。

（ ?1 =1，k1 ( 1 , 0 , ?1 )T ，k1 为任意非零常数；?2 = 2（二重），k2 ( 1 , 0 , 0 )T ，k2 为任意非零常数。不与对角阵相似。 ）

?1??2???13、已知???1?是矩阵A??5??1???1????1ab2??3?的一个特征向量。（1）试确定参数a，b及特征向量?对?2??应的特征值；（2）问A是否相似于对角矩阵？说明理由。（ a = ?3，b = 0，? = ?1 ；不与对角阵相似。）

?2?A?14、设矩阵 ??2?0??1/3?（ T??2/3?2/3?2/31/3?2/3?21?20???2?，求正交矩阵 T，使 T ?1AT 为对角矩阵。 0????2??1AT??????? ） 4??2/3???2/3?，T1/3??1

?0??215、设矩阵A=?1??2?200010002??0??1，求A的特征值和特征向量，并求正交矩阵Q，使QAQ为对角阵，0??0??给出相应的对角阵。

（ ?1 = ?3，k1 ( 3 , ?2 , ?1 , ?2 )T ，k1 为任意非零实数；?2 = 0（二重），k2 ( 0 , 1 , ?2 , 0 )T + k3 ( 0 , 1 , 0 , ?1 )T ，k2 ，k3 为不全为零的任意实数；?3 = 3，k4 ( 3 , 2 , 1 , 2 )T ，k4 为任意非零

?1/???2/3实数。Q????1/3???2/3?22221/?2/005504/352/35?5/352??2/32??1/32??2/32??1/??3??，Q?1AQ?????00??? ） ??3??

?1?16、设 A??a?1?a1b1??0??b?，B??0?01???0100??0?（a、b ? R）。若 A ~ B，试求（1）a、b 的值；（2）2??2??10? ）

?01/2??01/?1/2??1正交矩阵 Q，使 QAQ = B 。（ a = b = 0；Q??0???1/2?

?1?17、设矩阵 A???1?0?2x04??1??2? 与 B??1?21???022?5?21?1??y? 相似，求（1）x、y 的值；（2）可逆矩阵 P，3??5/2??3/2? ） ?1/2????1?使 P?1A P = B 。（ x = 4，y = 1；P??0?0?

18、设三阶矩阵 A 满足 A ?i = i ?i ，（i = 1，2，3），其中 ?1 = ( 1 , 1 , 1 )T ，?2 = ( 1 , ?2 , 1 )T ，?3 = ( 1 , 0 , 0 )T 。求（1）方阵 A ；（2）AT 的特征值及相应的特征向量。

?3?（ A??0?0??1/35/3?1/3?5/3???2/3? ；?1 =1，k1 ( 0 , 1 / 3 , 2 / 3 )T ，k1 为任意非零常数；?2 = 2，k2 ( 0 , 4/3???1 / 3 , 1 / 3 )T ，k2 为任意非零常数。?3 =3，k3 ( 1 , 0 , ?1 )T ，k3 为任意非零常数 ）

19、设3阶矩阵A 的属于特征值 ?1 = 1 的特征向量是 ?1 = ( ?1 , 1 , 1 )T ，属于特征值

?2 = ?3 = 2 的特征向量是 ?2 = ( ?1 , 1 , 0 )T ，?3 = ( 1 , 0 , 1 )T ，?4 = ( 1 , 2 , 3 )T ，求矩阵A 和 A3 。

?1?（ A??1?1??1311??1???1?， A3??7?71???010?71577???7? ） 1??20、设矩阵

?0?A??0?1?1??（1）求正交矩阵 0?，0??Q 及对角矩阵 ? ，使Q?1 A Q = ? ；（2）求矩

阵A n 。

???（Q??????120120101??2?0?1??2???1????0?0?0100??0?；An?Q?nQT1???(?1)n?1?2???0n?1?1?(?1)?2?010(?1)n?1,21n(?1)2?1?????1??? ）

21、已知 6、3、3 是三阶实对称矩阵 A 的三个特征值，向量 ? = ( 1 , 1 , 1 )T 是 A 的属于特征值 6 的特征向量。（1）求 A 的属于特征值 3 的特征向量；（2）求一个正交矩阵 P，使P?1A P 为对角阵，并给出此对角阵；（3）求矩阵 A 。（ ?1 = ( 1 , ?1 , 0 )T ，?2 = ( 1 , 0 , ?1 )T ；

?1/?P??1/??1/?3331/?1/2206??6???1?，PAP??01/6??0?2/6???1/0300??4??0?；A??1?13???1411??1? ） 4??

22、设三阶实对称矩阵 A 的特征值 ?1 = 0，?2 = 1（二重），若 ?1 = ( 1, 0, 0 )T ，?2 = ( 0, ?1, 1 )T ，?3 = ( 2, ?3, 3 )T 都是 A 的属于特征值 ?2 =1 的特征向量，求：（1）矩阵 A 的属于特征值

???1??0???0?01?212??0?1 ?? ）2?1??2?3?1 = 0 的特征向量；（2） 矩阵 A3 。（ （1）c ( 0 , 1 , 1 )T ，c 为任意非零实数；A

?0??123、设矩阵A=?0??0?100000y10??0?，（1）已知 A 的一个特征值为 3，求 A 的全部特征值；（2）求 ?1?2??A2 的特征值；（3）求正交矩阵 Q，使 ( AQ )T ( AQ ) = QT AT AQ 为对角阵，并写出该对角形矩阵。

?1??0?（ ?1 = ?1，?2 = 1（二重），?3 = 3；?1 = 1（三重），?2 = 9；Q??0???0??1??对角形矩阵为：??????? ） ??9??0100?0012120??0?1?，或8， ?21???2?11

24、设 A 为 n 阶实矩阵，A ?j = j ?j ，且 ?j ? 0，j = 1，2，…，s（s ? 2），设 ?j = ?j + ?j+1 ，j = 1，2，…，s ? 1，?s = ?s + ?1 。试讨论向量组 ?1 ，?2 ，…，?s 的线性相关性与线性无关性。（ s 为奇数时，线性无关；s 为偶数时，线性相关 ）

25、证明题

（1）设 ?、? 分别为 n 阶矩阵 A 的属于不同特征值 ?1 、?2 的特征向量，对任意非零实数 k1 、k2 ，求证：k1 ? + k2 ? 不是 A 的特征向量。

（2）设 A 为正交矩阵，且存在实特征值，试证：A 的特征值只能是 1 或 ?1 。

（3）若 A 可逆，则 A B ~ B A 。

（4）试证：如果 bc > 0，则实矩阵

（5）设 A 、B 为实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使 Q?1 A Q 和 Q?1 B Q 均是对角阵，则矩阵 A B 也是实对称矩阵。

（6）设 ? 是 n 阶矩阵 A 的特征值，X 是 A 的属于 ? 的特征向量，又设 ? 是 AT 的特征值，Y 是 AT 的属于 ? 的特征向量，若 ? ? ?，证明：X 与 Y 正交。

?a??c?b?? d??与一个实对角矩阵相似。

（7）设 n 阶实对称矩阵 A 与 B 相似，证明：存在正交矩阵 P，使得 P ?1AP = B 。

（8）设矩阵 A 可相似对角化，则其转置矩阵 AT 也可相似对角化。

（9）设 n 阶矩阵 A 满足 A2 = E，求证：（1）r ( A+E ) + r ( A?E ) = n ；（2）矩阵 A 可对角化。

（10）设 A 为3阶矩阵， ?1 ，?2 为矩阵A 的分别属于特征值 ?1和1 的特征向量，?3 满足 A?3??2??3，证明 ?1 ，?2 ，?3 线性无关。

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