通信信号自适应滤波处理仿真研究（二）(2)

其中 为一纯量。    矩阵     式(2.2.2.4)

N维矢量          ，  为增益系数                式(2.2.2.5)

由式2.2.2.4和式2.2.2.5逆推式2.2.2.3可得

                                 式(2.2.2.6)

利用式2.2.2.6，就可以用递推的方式求m m维矩阵  的逆，使运算量降低。

式2.2.2.6两端乘以 ，利用式2.2.2.5可得

                                       式(2.2.2.7)

另外，根据式2.2.1.6可得                    式(2.2.2.8)

将式2.2.2.4，式2.2.2.6,式2.2.2.8代入式2.2.1.11就可以得到

  式(2.2.2.9)

利用式2.2.2.5和式2.2.2.9的最后两项可简化为 ，而式2.2.2.9的前两项中的 即为 。所以由式2.2.2.9可得

                             式(2.2.2.10)

这即为递推最小二乘(RLS)算法的递推公式。

下图为RLS算法的流程图：

2.2.3 RLS算法的参数分析

     RLS算法具体实现需要以下计算式 ； ；

； = ；         

 ；其中 个参数意义与LMS相同，新增个参数意义为 ：反相关矩阵；  (n)：增益向量；  ：遗忘因子。

在RLS算法中遗忘因子是一个接近1但是小于1的正数，一般来说介于0.95到1之间。使用遗忘因子的目的在于把接近目前时间点的信息乘上越大的权值，而离目前时间点越远的信息乘上越小的权值，也就是说，我们重视较近时间点的信息甚与较远时间点的信息。若等于1，则表示对所有的信息都一样，其权值都是相同的。

2.2.4 RLS算法Matlab仿真分析

图2.2.4.1

　　上图分别为输入信号，输出信号和误差信号的曲线，可以看出输出信号在经过一段时间的自适应调整后，便能基本达到跟踪，滤波的效果。从误差信号曲线也可以看出这点，误差输出经过一段时间就趋于稳定。

图2.2.4.2

上图为误差平方的均值曲线，大约在t=300时，误差趋于收敛，系统完成自适应过程。

以上就是围绕对RLS算法的分析，着重讨论了RLS算法推导，具体实现的相关公式以及运用matlab软件对其进行仿真。

　　2.2.5 RLS算法与LMS算法的比较分析

　　RLS算法能够在很短的时间内就趋于收敛，而LMS算法则有一个比较长的渐变过程，所以RLS的跟踪性能要优于LMS，这可以从图2.1.5.1和图2.2.4.1看出。换句话说，RLS比LMS的收敛速度要快。可以通过下图看出：

上图蓝色是LMS收敛曲线，红色为RLS收敛曲线。可以看出明显RLS收敛性要优于LMS算法。

　　而且LMS在收敛后波形还有较大波动，而RLS就要小的多，基本没有波动，这说明RLS的稳态误差也是小于LMS的，从图2.1.5.3和图2.2.4.2可以看出。但是由于LMS计算量简单，适合于硬件实现，这是RLS无法相比的。所以二者各有优劣。(以上LMS和RLS算法仿真均采用相同的外界信号及采样时间点)

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