备战2024中考初中数学六大题型专项突破(六)二次函数综合题(3)

2

得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+

x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x

轴交于点B、C，点C坐标为（8，0）， ∴解得

．

x2+

x+4；

，

∴抛物线表达式：y=﹣

（2）△ABC是直角三角形． 令y=0，则﹣

x2+

x+4=0，

解得x1=8，x2=﹣2， ∴点B的坐标为（﹣2，0）， 由已知可得，

在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20， 在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80， 又∵BC=OB+OC=2+8=10，

∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2 ∴△ABC是直角三角形． （3）∵A（0，4），C（8，0）， ∴AC=

=4

，

①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0）， ②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣40）或（8+4

，0）

，

③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），

综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4

，0）、（3，0）、（8+4

，0）．

（4）如图，

设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D， ∴MD∥OA， ∴△BMD∽△BAO， ∴

=

，

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