2024年辽宁省阜新市中考数学试卷(解析版)(2)

﹣

÷

﹣2cos45°；

÷（1+﹣2×

），其中a=2．

（2）原式===

×

当a=2时，原式==

18．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（﹣4，4），B（﹣2，5），C（﹣2，1）．

（1）平移△ABC，使点C移到点C1（﹣2，﹣4），画出平移后的△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；

（2）将△ABC绕点（0，3）旋转180°，得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2； （3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留π）．

【解答】解：（1）如图所示，则△A1B1C1为所求作的三角形，（2分） ∴A1（﹣4，﹣1），B1（﹣2，0）；（4分）

（2）如图所示，则△A2B2C2为所求作的三角形，（6分）

（3）点C经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC2为直径的半圆，由勾股定理得：CC2=

=4

，∴点C经过的路径长：×2πr=2

π．（8分）

19．为了完成“舌尖上的中国”的录制，节目组随机抽查了某省“A．奶制品类，B．肉制品类，C．面制品类，D．豆制品类”四类特色美食若干种，将收集的数据整理并绘制成下面两幅尚

不完整的统计图，请根据图中信息完成下列问题：

（1）这次抽查了四类特色美食共 20 种，扇形统计图中a= 40 ，扇形统计图中A部分圆心角的度数为 72° ； （2）补全条形统计图；

（3）如果全省共有这四类特色美食120种，请你估计约有多少种属于“豆制品类”？

【解答】解：（1）这次抽查了四类特色美食共4÷20%=20种．

∵8÷20=0.4=40%，∴a=40，360°×20%=72°，即扇形统计图中A部分圆心角的度数是72°． 故答案为：20，40，72°；

（2）（3）120×

；

=36（种），答：估计约有36种属于“豆制品类”．

20．在运动会前夕，育红中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买10个篮球和15个足球共花费3000元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元． （1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元？

（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过1050元，则最多可购买多少个篮球？ 【解答】解：（1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据题意可得：

，解得：

，答：购买一个篮球，一个足球各需150元，100元；

（2）设购买a个篮球，根据题意可得：0.9×150a+0.85×100（10﹣a）≤1050，解得：a≤4，答；最多可购买4个篮球．

21．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D． （1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF；

（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°． ①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN=

AM；

②当点M在点A，D之间，且∠AMN=30°时，已知AB=2，直接写出线段AM的长．

【解答】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°．

∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，∴∠CAD=∠B，AD=BD．

∵∠EDF=∠ADC=90°，∴∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE=DF； （2）①如图1，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，∴∠AMP=90°． ∵∠PAM=45°，∴∠P=∠PAM=45°，∴AM=PM． ∵∠BMN=∠AMP=90°，∴∠BMP=∠AMN．

∵∠DAC=∠P=45°，∴△AMN≌△PMB（ASA），∴AN=PB，∴AP=AB+BP=AB+AN．在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，∴AP=②在Rt△ABD中，AD=BD=

AB=

．

=

，

AM，∴AB+AN=

AM；

∵∠BMN=90°，∠AMN=30°，∴∠BMD=90°﹣30°=60°．在Rt△BDM中，DM=∴AM=AD﹣DM=

﹣

．

22．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；

（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得

，解得

，这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；

（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得

，解这个方程组，得

直线BC的解析是为y=﹣x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC

于点E（t，﹣t+3），PE=﹣t+3﹣（t﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴S△BCP=S△BPE+SCPE=（﹣t2+3t）×3=﹣（t﹣）2+

．

∵﹣＜0，∴当t=时，S△BCP最大=

（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3） MN=m2﹣3m，BM=﹣3m=﹣

|m﹣3|，当MN=BM时，①m2﹣3m=

（m﹣3），解得m=

，②m2

（m﹣3），解得m=﹣

当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2﹣4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）

当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，﹣（m2﹣4m+3）=﹣m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为

，﹣

，1，2．

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