中考数学专题《锐角三角函数》复习试卷(含解析)(3)

的顶点都在格点上,则

的正弦值是________．

【答案】

∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2 ， ∴△ABC为直角三角形，【解析】

且∠ACB=90°，则sin∠BAC= 故答案为：

．

=

．

222

【分析】首先根据方格纸的特点，算出AB，AC，BC，然后根据勾股定理的逆定理判断出∴△ABC为直角

三角形，且∠ACB=90°，根据正弦函数的定义即可得出答案。

18.一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是________．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为________．（结果保留根号）

【答案】【解析】 ：如图

；

如图1中，作HM⊥BC于M，HN⊥AC于N，则四边形HMCN是正方形，设边长为a. 在Rt△ABC中,∵∠ABC=30°，BC=12， ∴AB=

=8

，

在Rt△BHM中，BH=2HM=2a， 在Rt△AHN中,AH=

=

a，

∴2a+∴a=6

=8?6，

，

∴BH=2a=12?12.

如图2中,当DG∥AB时,易证GH1⊥DF， BH1的值最小,则BH1=BK+KH1=3∴HH1=BH?BH1=9

?15，

，

+3，

当旋转角为60°时，F与H2重合，易知BH2=6

观察图象可知,在∠CGF从0°到60°的变化过程中，

∴点H相应移动的路径长=2HH1+HH2=18故答案为：12

?12,12

?30+[6?(12?12)]=12?18，

?18.【分析】如图1中，作HM⊥BC于M，HN⊥AC于N，则四边形HMCN是

正方形，设边长为a，利用解直角三角形求出AB的长，用含a的代数式分别表示BH、AH的长，再根据AB=AH+BH，就可求出a的值，从而求出BH的值即可；如图2中,当DG∥AB时,易证GH1⊥DF，得出此时BH1的值最小，求出BH1的值，再求出BH2的值，然后求值在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长即可。

三、解答题题

19. 先化简，再求值：（

﹣

）÷

，其中a=2sin60°﹣tan45°．

【答案】解：原式=[ ﹣ ]?（a﹣1） = ?（a﹣1）

=

=2× 当a=2sin60°﹣tan45°﹣1= ﹣1时，

原式= =

【解析】【分析】将原式括号内通分、将除法转化为乘法，再计算减法，最后约分即可化简原式，根据特殊锐角三角函数值求得a的值，代入即可．

20.为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45° 的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．（结果保留整数，参考数据：

，

）

【答案】解：依题可得：AB=200米，∠PAC=60°，∠PBD=45°，令PG=x米，作PG⊥l，

∴∠PAG=30°，∠PBG=45°， ∴△PBG为等腰直角三角形， ∴BG=PG=x, 在Rt△PAG中， ∴tan30°= 即 ∴x=100（

, ， +1）≈273

答：凉亭P到公路l的距离是273米．

【解析】【分析】令PG=x米，作PG⊥l，根据题意可得△PBG为等腰直角三角形，即BG=PG=x,在Rt△PAG= 中，根据锐角三角函数正切定义可得tan30°

,代入数值解方程即可.

21.如图，湛河两岸AB与EF平行，小亮同学假期在湛河边A点处，测得对岸河边C处视线与湛河岸的夹.问湛河的宽度角∠CAB=37°，沿河岸前行140米到点B处，测得对岸C处的视线与湛河岸夹角∠CBA=45°=0.80，tan37°=0.75) 约多少米?(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°

【答案】解：过C作CD⊥AB于点D，

设CD=x米．

在Rt△BDC中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，∴BD=CD=x ．

在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=37°，∴AD= ∵AB=AD+DB=140，∴ 答：湛河的宽度约60米．

，∴x=60．

．

【解析】【分析】过C作CD⊥AB于点D，设CD=x米，在Rt△BDC中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，根据等腰三角形的性质可得BD=CD=x ，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=37°，由tan∠CAD=tan37°=解得x=60．

22.已知:在平面直角坐标系中,点0为坐标原点,点A在x轴的负半轴上,直线 轴分别交于B、C两点,四边形ABCD为菱形.

与x轴、y

,所以AD=

,而由题意得AB=AD+DB=140，所以

++ x = 140，

（1）如图1，求点A的坐标；

,点E在线段AP（2）如图2,连接AC,点P为△ACD内一点,连接AP、BP,BP与AC交于点G,且∠APB=60°,求AF +EF 的值; 上,点F在线投BP上,且BF=AE.连接AF、EF,若∠AFE=30°（3）如图3在(2)的条件下,当PE=AE时,求点P的坐标. 【答案】（1）解：如图1∵ :BO=

，CO=

在R△BCO中

∴四边形ABCD为菱形∴AB=BC=7 ∴AO=AB-BO= ∴

（2）解：如图2

∵AO= =BO，CO⊥AB∴AC=BC=7

AB=AC=BC∴△ABC为等边三角形∴∠ACB=60° ,∠APB=60°∴∠APB=∠ACB

∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB ∵∠PAG=∠CBG连接CE、CF ∵AE=BF∴△ACE≌△BCF ∴CE=CF∠ACE=∠BCF

∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60° △CEF为等边三角形

∴∠CFE=60°EF=FC∵∠AFE=30°∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°

222222

在Rt△ACF中∴AF+CF=AC=7=49∴AF+EF=49

（3）解：如图

由(2)知△CEF为等边三角形

∠CEF=60°EC=EF延长CE、FA交于点H ∵∠AFE=30°∠CEF=∠H+∠EFH

∠H=∠CEF-∠EFH=30°∴∠H=∠EFH∴EH=EF EC=EH连接CP∵PE=AE∠CEP=∠HEA △CPE≌△HAE∴∠PCE=∠H:CP∥FH ∠HFP=∠CPF在BP上截取TB=AP

连接TC由(2)知∠CAP=∠CBT∵AC=BC∴,△ACP≌△BCT

CP=CT∠ACP=∠BCT∴∠PCT=∠ACP+∠ACT=∠BCT+∠ACT=∠ACB=60 △CPT为等边三角形∴CT=PT∠CPT=∠CTP=60°

CP∥FH∴∠HFP=∠CPIT=60°∵∠APB=60°∴∠APB=∠AFP∴AP=AF △APF为等边三角形∴∠CFP=∠AFC-∠AFP=90°-60°=30° ∴∠TCF=∠CTP-∠TFC=60°-30°=30°∴∠TCF=∠TFC∴TF=TC=TP 连接AT则AT⊥BP设BF=m则AE=PE=m PF=AP=2m.TF=TP=m TB=2m BP=3m 在Rt△APT中AT=

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