二次根式教案

浙江版数学八年级下教案——第一章《二次根式》

§1.1二次根式

教学目标：

1、经历二次根式概念的发生过程； 2、了解二次根式的概念；

3、理解二次根式何时有意义，无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围； 4、会求二次根式的值。

重点与难点：本节教学的重点是二次根式的概念。例1的第（2），（3）题学生不容易理解，是本节教学的难点。

教学设想：课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫二次根式，在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。因此在教学中我采用基本按照教材的主体设计意图，按教材的步骤进行教学，让学生在自主学习的基础上，发现教材中的学习重点，概括学习所得，提升学生的学习能力。 教学过程：

一、引入（合作学习）：

根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空：

直角三角形的斜边长是____________； 正方形的边长是____________； 等边三角形的边长是_________。

首先是让学生进行自主学习，并在实际情境中写出表示算术平方根的式子。 提问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么？

1、表示的是算术平方根；2、根号内含有字母的代数式。

在学生自主学习的基础上，要求学生对上述答案进行解释。其中学生对于答案3，等边三角形的边长为2s，一些学生会采用教材中以下的答案抄写，而不知该答案得到的原因。因此首先选不同程度的几名学生回答，鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评。对于该题的答案的得到过程可以用几何的推理的方法，即画出其中一条高后利用勾股定理进行计算的方法或利用公式S正?＝３a2（a为该三角形的边长）的方法得到。

４补充练习：判断，下列各式中哪些是二次根式？

7；

12；

x2y(y?0)；x2?y2；?3；a；a（a＜0＝；

二、新课讲授

1、二次根式的概念：

（1）引导学生概括二次根式的定义：像a2?4,b?3,2s这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如1）3,2也叫做二次根式。??即一个非负数的算术平方根。

（2）概念深化：

提问：a?1是不是二次根式？a?1呢？9呢？??学生对于上述的问题，在判断上会产生一定的歧义，此时应按照教参的要求进行教学：a?1、9是二次根式，而a?1不是二次根式，只能称为含有二次根式的代数式。此外对于2x?2x?3这样的代数式，他们的系数或常数项是二次根式，而整个代数式仍看做是整式。

2议一议：二次根式a?1表示什么意义？此算术平方根的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需满足什么条件？为什么？??经学生讨论后，指定一名学生回答，在指定一名学生点评。教师总结：强调二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方式（数）大于或等于零（非负）。 三、讲解例题：

例1、求下列二次根式中字母a的取值范围：（因学生学习的需要，将例题进行适当改变，并进行一定增加。）

①?3a；②1；③1?2a(a?3)2；④x?3；⑤23?4x；⑥?5x；⑦|x|?1。

练习1：当下列各题的字母取何值时，下列各式为二次根式： （1）a2?b2 (2) ?3x (3)

12x (4)

?32?x

按提问→回答→板书→独立解答的方式教学，问题设计如下： 被开方式需满足什么? 由此可得怎样的不等式？ 第（1）（2）两题可以转化为解怎样的不等式？第（3）题不解不等式就能确定a的取值范围吗？

教师总结：从整体上来说，求二次根式中字母的取值范围主要是应用整个被开方式大于等于0这一结论。二次根式的本质是数的算术平方根，这是解决有关二次根式的一系列问题的最根本的依据。属于此类问题的基础条件。这类问题可以化归为解决开方数（或式）不小于零的不等式.但是，这类问题还需要顾及其他代数式的条件.

练习2：求下列二次根式中字母的取值范围：（1）a?3；（2）?13?a2a?1. ；（3）例2 当x=4时，求二次根式1?2x的值.

1、引导学生回顾代数式的值的概念和如何求代数式的值.2、指出二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同. 四、课堂练习：

1、完成课本“课内练习”.

2、物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式 h=5t2来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间，（1）把这个公式变形成用h表示t的公式；（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1 秒）?

3、已知a.b为实数，且满足a?2b?1?1?2b?1求a 的值 4、按下列程序运算，全班分成4个组，当x=1时，每人做一步，看哪一组完成得快.x 取其他数试一试.

五、小结

师生共同完成：通过今天的学习，你有哪些收获或困惑？ 六、布置作业

课本“作业题”及作业本。

§1.2二次根式的性质（第一课时）

教学目标：

1、经历二次根式的性质：

?a?2?a(a?0)?a?a?0?、a2?a??的发现过程，体验归

?-a(a?0)纳、猜想的思想方法。

2、了解二次根式的上述两个性质。 3、会运用上述两个性质进行有关计算。

重点与难点：

本节教学重点：是理解二次根式的上述两个性质；教学难点：是灵活运用上述两个性质进行有关计算。

教学设想：在教学中首先是进一步梳理和巩固已生成的知识，引入二次根式的性质1与

平方根的关系。并从学生熟悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一。先练习、再观察发现总结规律得出性质二。再通过梳理知识使条理清楚，并及时练习巩固，运用二次根式的两个性质解决基础的运算问题。其间还要求规范书写知道运算程序、强调性质运用的条件，二次根式运算顺序。

教学过程：

1、动动脑筋：（利用教材中的例子）。

你能把一张三边分别为5、5、10的三角形纸片放入4×4方格内，使它的三个顶点都在方格的顶点上吗?

2、利用教材中的填空：

①图1中正方形的边长是_________。（a） ②参考图2，完成以下填空：2??2=______；7??2?=_________；???12????2=_________。

（将教材中的直观图形[正方形]作适当拓展，启发诱导数形结合思想，目的是从熟

悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一。）

你发现什么规律？

归纳二次根式性质1：?a?2?a?a?0? 3、巩固新学知识，抢答： 13(1)(3)2?___；(2)(3)2?____(3)(?5)2?____；(4)(?2)2?____

22；。

4、合作学习：

232?____；3?____。(?5)?____；?5?__。02?__；0?__。

并猜想：a2??

此处的“合作学习”包含着两个过程：一是比较左右两边的式子的结果，得到基本形状a2=a。二是比较右边的式子，得到绝对值的解答结果。

你发现什么规律？对于学生不能回答回思路不明时，则如下点拨：

比较a2和a有何关系？当a≥0时，a2＝_____；和a﹤0，a2＝_____。 归纳二次根式性质2：5、看谁的正确率高？

21(1)(?1)2?____； (2)()2?____；(3)(?2)2?____；(4)(?3)2?_____；

53(5)数a在数轴上的位置如图，则a2?_____。

6、例1、计算：

a-2 -1 0 1 (1)(?10)2?(15)2；

(2)[2?(?2)2]?2?22；

22(3)3(3?1)?3；(4)(?5)?16?(?2) 处理：本题关键是先化简后计算，讲解时边引导学生分析边板书.尤其是（3）在计算时应用结合律。对学生的要求是能领悟方法，会正迁移。

当堂练习：

（1）??17??2?（2）?3?13；

???2??3?2??3?23 ??在本环节教学中评价及强调性质运用的条件及部骤，要求能书写a2＝a的过程。

2例2、计算：（1）(2?2)?|1?2|；（2）(?)2?352342? 53观察与思考，一名学生板演，其余自己练习，比较先算括号

里与直接利用二次根式性质的优劣强调先判断a2中a的符号。而对于本题2，学生可能会先算减法，后开方。因此增加了（1），这样处理的目的是：（1）学生去做只能先化简，接下来引导学生去分析如何去绝对值，后计算。（2）有（1）做铺垫学生多数（设想）会应用二次根式的性质化简（不会先减掉），但最后说明这种题目这样做不用通分，明显简便。

例3、如图，P是直角坐标系中一点。（1）用二次根式表示点P到原点O的距离。（2）如果x?2,y?7，求点P到原点O的距离。 结合坐标轴灵活运用二次根式的两个性质。

练习：如图，P?5,2是直角坐标系中一点，求点P到原点的距

? y2 0 P离。

7、课堂练习：课本8页 作业题1～6

巩固和运用二次根式的两个性质，练习，自由到黑板上解题 8、课堂小结：谈谈你今天的收获，教师帮助归纳。 （在学生自由回答的基础上帮助他们梳理和巩固知识。）

9、布置作业： 10、动动脑筋

你能把一张三边分别为5、5、10的三角形纸片放入4×4方格内，使它的三个顶点都在方格的顶点上吗?

?5,2?5x

§1.2二次根式的性质（第二课时）

教学目标：

1、经历二次根式的性质ab=a.b(a≥0，b≥0)；a=ba(a≥0，b＞0)的发现b过程，体验归纳、类比的思想方法。

2、了解二次根式的积、商的算术平方根的两个性质。 3、会用二次根式的性质将简单二次根式化简。

重点与难点：

教学重点：二次根式的积和商的性质。教学难点：例3第（4）题和探究活动涉及较复杂的化简过程和一些技巧的运用，是本节教学的难点。

教学设想：通过学生自己的动手操作，在回顾旧知的基础上，探究二次根式的乘法和

除法的性质，并在应用中注意对限制条件和总体思路及注意事项的归纳，真正地让学生掌握方法，提升学习能力。

教学过程：

一、合作学习，引出课题

1、复习旧知：二次根式：（1）定义：a(a?0)

（2）两个基本性质：①(a)2?a(a?0)；②a2?a???a(a?0)

?-a(a?0)2、合作学习：我们继续来探究二次根式的其他性质：填空（可用计算器计算） 4?9?_____，4?9?_____；4?5?_____，4?5?____；100?0.01?____，100?0.01?___；916 ?_____，9?16?____；3?___，3?2?___；2比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？

（教材采用的不是证明的方法，而是归纳、类比，容易使学生接受。所以教学中要引导学生通过观察，从中得到二次根式的乘法、除法性质，尽量鼓励学生用自己的语言总结出性质，然后作适当点评，从而引出课题）。 二、探究新知，体验成功

1、积的算术平方根的性质。

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积（各因式必须是非负数）。即

ab?a?b(a?0,b?0)。

在此时，由于学生还没有真正地经历过运用，因此他们对于a?0,b?0的条件的应用还是会存在一定的错误，可能会出现(?4)?(?9)??4??9的错误。因此这里我尽量提早的“预防”。将上述的解题过程出示给学生判断，加深对于a?0,b?0的条件的印象。

2、商的算术平方根的性质。

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数）。即a?a(a?0,b?0).运用以上式子可以进行简单的二次根式的

bb除法运算。

3、例题讲解：

52 例3、化简：（1）121?225；（2）42?7；（3）；（4）；97注意：一般地，二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数，且在该自然数的因

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