二次根式教案(2)

数中，不含有1以外的自然数的平方数

按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学， 例2、先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0.01）

1 ；（3）0.001?0.5。49合理应用二次根式的性质，可以帮助我们简化实数的运算。按教师提问，学生回答，利用多媒体，教师板书解题过程交替的方式进行教学。

上述两个例题主要是为了让学生通过应用，及时巩固二次根式的两个性质的应用，并在应用中注意隐含条件和一般的化简要求、及作这类运算的注意事项、步骤、依据等。

具体地说：

（1）帮助学生理解每一步化简的依据（具体的性质）；

（2）总结出化简的步骤：①先进行观察，寻找平方因数、带分数、处理符号等；②确定运算的顺序，并应用性质进行变形；③作出化简后的结果；④再回顾题目中的要求（精确度等）或适当调整解答的顺序，寻找更为合理的解答方法。

（3）对二次根式化简结果的要求：①根号中不能含有除1以外的平方因数（能开得尽方的因式要尽量开出来）；②根号内的结果应该是自然数，即不能含有分母或小数；③分母中不能含有根号。

三、总结提高、课内练习

1、课本第9页1、2、3。第10页探究活动

（1）??18????24?；（2）1探究活动：化简下列两组式子: 242233?_____,2??_____;3?_____,3??_____; 33884455?_____,4??_____;5?_____,5??_____; 15152425n?2nnnn?2?n2(为自然数,且) n?1n?1你发现了什么规律?请用字母表示你所发现的规律,并与同伴交流. 请再任意选几个数验证你发现的规律.

8??2?2、化简??????

?13??13?223、化简：12；13；15；17；18；11111；；；；；

58237并要求学生在上述的解答后总结出自己的经验，一方面培养学生在学习中的观察、思考

与归纳的意识和能力；另一方面也可以得到另一个常用的性质：

11a1??(或a)；其中a?0。 aaaa4、补充练习若b>0，x<0，化简：?b4

(?x)2四、归纳小结，充实结构。（由学生总结，教师适当提问补充。）

谈一谈：本节课你有什么收获？

引导学生从下面的思路总结：二次根式的性质，各式子中的字母的取值范围，以及在应用时应该注意的问题，防止出错。

（让学生通过自我评价的方法来检查自己的学习任务有没有完成，便于学生调节自己的学习进度，培养学生养成良好的学习习惯，发挥自我评价的作用，增强学生学数学的信念）。 五、布置作业。

§1. 3二次根式的运算（第一课时）

教学目标：

1、了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的. 2、会进行简单的二次根式的乘除运算.

重点难点：

重点：二次根式的乘除运算法则。难点：例1（3），例2计算过程中涉及多种运算和运算法则，是本节的难点。

教学设想：首先复习二次根式的性质，并利用性质的复习引入应用，在应用中让学生

自己发现其中的问题，然后在问题的矫正中确立本类问题的解答思路与方法，提升学生的学习能力，确保课堂的效率。

教学过程：

一、引入新课

1、复习回顾：二次根式有哪些性质？

?a(a?0)11a1；??(或a)；a?0。 (a)2?a(a?0)；a2?|a|??aaaa?-a(a?0)ab?a?b(a?0,b?0)；a=a(a≥0，b＞0)

bb先结合书本的要求，开门见山地提出公式，帮助学生尽快建立本课的学习思路——应用公式进行二次根式的计算，将学生的思路从课外拉到课堂上。

2、你能计算：（1）0.1?10；（2）0.033吗？。

对于本类问题，学生可能会先分别化简或用计算器进行解答，再进行积和商是运算。因此教学时先让学生独立计算，教师进行观察约1.5分钟，主要目的是看学生起先的解题直觉：先化简还是先应用公式，检查学生的预习效率。

若学生有先化简的情况，结合此类学生的比例，适当地进行选择他们的方法并板书。然后提问：有否更为简便的方法？再应用解答简便的学生的方法进行类比学习，让学生在自己的比较中学习到两种不同的解题方法，并初步有灵活应用的意识。视学生对引题的处理，作出强调或完整处理以便对下面的题目起到示范作用。

3、结合法则用于二次根式的乘除运算。

你会计算吗？试一试? 第一组：(1)3221032?第二组： (1)12?3;(2)1000?0.1;(3) 23处理：让学生独立完成，然后师生共同评价并更正错误，要求尽量能选择应用合理的方

法进行解答。

二、例题分析：

(2)50；

5.2?107227例1、计算：（1）2?6 ；（2）1?；（3）

93101.3?10做一做：（1）24?3；（2）3?1052.7?103；（3）76

因为有上面的铺垫，对于这样的问题，需要学生的解答能尽量选正确的方法，快速准确。

乘除法运算的一般步骤是怎样的？（1）运用法则，化归为根号内的运算；（2）完成根号内的相乘、除（约分）运算；（3）化简二次根式。说明：（3）7还有没有其它的计算方

6法呢？由此可见，有时数学解题方法多样.

做一做：（1）23；（2）15 例1是为了及时巩固二次根式的运算法则，虽然比较简单，但对于以后的一些问题的解决，还是一个非常重要的基础，而且对于学生来说，注意其中隐含的解题思路与学习方法才是最重要的。所以，在教学中需要注意：

（1）总结解决此类问题的一般步骤：①应用性质，化归为根号内的实数运算；②完成根号内的乘除运算（一般要化得简单）；③化简二次根式。

（2）及时总结出如“76”的两种计算思路，及23和15等的解题思路。

例2：一个正三角形路标如图。若它的边长为22个单位，求这个路标的面积。

提示：1、根据题意要计算这个正三角形的面积，还要什么数据？这样，帮助学生形成整体的解题思路，确定解决本题的关键是先求出正三角形的高。

2、作辅助线——高线AD，由图形你说说如何求高AD的长？（说出其中的根据是勾股定理以及为什么能用勾股定理？）

3、有无更好的方法？如应用正三角形的面积计算公式。

边长为a的正三角形的面积为：S?32a。 4对于面积的公式，在以前的教学中曾提出过，但由于当时没有良好的记忆，一般学生早已忘记，因此在此处重申，一方面可以帮助学生提高对数学知识学习的意识，另一方面也可以促进学生掌握面积公式，为以后的学习打基础。

4、解题作提示外，在计算高AD时提醒学生注意运算顺序是怎样的？其中在学生的解答过程中注意强调22?，学生会遗忘。 ?的计算过程与方法。而依据是“积的乘方”

25、在求出正△ABC的面积后，也需要强调计算结果能化简的，应予以化简。而本题中

没有精确度的要求，结果可以用二次根式表示。

做一做。巩固知识 三、课堂小结

谈谈你今天的收获，教师帮助学生归纳总结。 四、布置作业

注意：对于分母有理化的问题，如“掌握，而对于“76、23和15”等，教材中有要求，需要学生56?1”等问题，由于要运用平方差公式，对学生来说，有一定的难度，但《新课标》中并没有这样的要求，可以不补充，在遇到的时候，可以要求学生按预定的精确度求出其近似值即可。

§1. 3二次根式的运算（第二课时）

教学目标：

1、会进行二次根式的四则混合运算

2、会应用整式的运算法则进行二次根式的运算 3、体验和掌握迁移、转化等数学思想与方法

重点难点：

教学重点：二次根式的四则混合运算是重点；教学难点：例5计算思路的形成比较困难，是教学的难点。

教学设想：本课在设计上体现了以下的特点：二次根式的加减和乘除混合运算，出现

了类似单项式乘以多项式、多项式乘以多项式（包括乘法公式、乘方）、多项式除以单项式的运算。课本中没有出现“同类二次根式”的概念，只是提到“类似于合并同类项”“相同二次根式的项”，这种类比的方法，学生是能够理解的，也能够与整式一样进行运算。首先复习二次根式的性质，并利用性质的复习引入应用，在应用中让学生自己发现其中的问题，然后在问题的矫正中确立本类问题的解答思路与方法，提升学生的学习能力，确保课堂的效率。

教学程序设计：

一、复习旧知，引出课题：

1、二次根式有哪些性质

1、a??2?a，（a?0）; 2、a2?|a|3、ab?a?b，（a?0,b?0） 4、a?b?ab，（a?0,b?0）5、7、aaaa?，（a?0,b?0） 6、?，（a?0,b?0）bbbb11a1??(或a（)a?0）aaaa2

2、已学过的整式的乘法公式和法则有哪些

8、9、?a?b??a?b??a2?b2;　　?a?b??a2?2ab?b210、?a?b??n?m??an?am?bn?bm

设计上述教学过程的目的是：

①复习公式，进一步梳理和巩固已生成的知识；

②通过纵览公式之间的区别与联系，一方面加强对公式的理解，另一方面使学生对本课所学知识的基础有一个感性的了解。

3、怎样化简下列二次根式：

化简：12，311，1，48，27。 33本题是让学生体验性质与公式的准确运用，为以下的问题解决打基础。

4、计算：（1）3x+2x；（2）3x-2x。（3）32?22；（4）32?22。

与合并同类项类似，我们可以把相同二次根式的项合并。 说明：（3）是二次根式的加法运算；（4）二次根式的减法运算

可见二次根式的加减类似于合并同类项，以前我们学过的整式运算的其它法则和方法也适用于二次根式的运算。

二、探究新知，体验成功：

铺垫（结合学生前一天的作业情况而设计）：小东在学习了ab?aaa和之?bbb?5后认为他们是一样的。因此他认为一个化简过程?20??20??5?4??5?4?4?2是

?5?5?5正确的。你认为他的化简正确吗？说说你的理由。

设计这一问题的目的是为二次根式有意义的隐含条件而设定。

例3、先化简，再求近似值（精确到0.01）：12?11?1 33审题：(1)题目要求先化简，再求出近似值（精确到0.01）

（2）能化简吗？（3）能做吗？学生说教师板书（板书时让学生注意（27）-（3?6?2），27化简，3?6?2如何乘。）

（4）若不要求先化简，只是计算求近似值，那么这个问题可以采取其它手段吗？（若用计算器，误差可能会偏大）

领悟先化简再象合并同类项那样进行运算来计算这一题，在教学中要注意帮助学生尽力规范书写的意识，知道运算程序引导、帮助学生审题。

教师对于学生的思考或在题后小结提问：本题共有哪几项组成？各包含了什么运算？各项都是二次根式吗？各项能否化简？在各二次根式化简之后，各项又有什么特点？如果把3前面的乘数看作是它的系数，整个算式又能否继续化简？这可以与我们以前学过的什么计算类似？

并帮助学生建立：对于二次根式的加减计算，可以在把每一个项都进行化简（化到最简）后，将被开方数相同的二次根式象合并同类项那样的合并起来。

解：原式?23?1212??3?3??2???3?3?1.73 3333??练习：课本14页课内练习第1题，在学生完成解题后出示答案。这样马上接着进

行训练，要让学生快速领悟方法，会正迁移。

例4、计算：?1?27?36?2； ?2??3?338??6； ?3??48?27??3 本题的设计主要是让学生确定运算顺序及运算律的运用。因此对于学生中可能出现的问题，教师应预先作出判断，也可以利用问题给学生以提示：对于（1）先算什么后算什么，第（2）（3）又该怎样呢

对于第一题先乘除后加减，在后合并第2题先去括号，再计算较方便第3题先把除法转化为乘法，后去括较方便，这样可以使学生对于具体的计算题会先设计计算程序，然后在思考计算，会正迁移，领悟方法与步骤。

其中：二次根式的加减计算，其运算顺序通常与以前所学的实数及整式的运算顺序类似，需要在进行合理的变形后确定整体的计算思路，这样往往可以使计算变得简便。

课堂练习：课本14页，课内练习2（学生完成后出示答案并纠正错误） 例5：计算?1?,22?3333?22；?2?,2?23?22

教师问：对于（1）相当于哪一个乘法公式的形式；对于（2）相当于整式乘法中哪一种运算形式。

师生共同得出解决本类问题的基本方法或思路：①用平方差公式；②多项式与多项式相乘。

还有别的解法吗？——让学生会用乘法公式和法则进行二次根式的计算，体验运算

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