二次根式教案(3)

法则的互通，通过观察思考，形成悱、愤的学习状态。

练习：分组交流，合作完成 课本14页，课内练习3，4 三、归纳小结，充实结构

谈一谈：本节课你有什么收获或困惑？ 由学生总结，教师适当提问补充： 二次根式的四则混合运算中： ①能化简的先化简；

②当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并；

③在二次根式的运算中要注意运用乘法公式和乘法法则，使运算简便。

这样，让学生通过自我评价的方法来检查自己的学习任务有没有完成，便于调节自己的学习进度，培养学生养成良好的学习习惯，发挥自我评价的作用，增强学生学数学的信念。

以下作为课内的补充练习，视时间情况选择性地教，若整体的教学时间比较紧张，则把以下的问题作为学生的课外练习。

1、下列计算哪些正确，哪些不正确？并适当地说明理由：

①3?2?5；②a?b?a?b；③a?b?ab； ④aa?ba?(a?b)a；⑤113a?2a?a?a?0。 322、探究：比较6?14和7?13的大小。

本题设计的目的是为了让学生了解对实数的大小比较的方法，并利用题目中数据的特点进行学习思路的培养。通过学生的配合，教给学生利用平方法比较两个实数大小的方法与思路，在教学中主要作如下处理：

（1）先让学生说说怎么比较。——作差或作商都不行时怎么办？

（2）这两个都是正数，能否发现上述两个问题中的特点。——两个被开方数的和相等：6+14=7+13。

（3）二次根式大小比较常采用的方法——“平方法”进行介绍。——教师板书；利用完全平方后对计算结果进行大小比较，并与学生一起得出“实数越大，其算术平方根也就越大”的解题依据。

（4）拓展：若两个都是负数呢？其中的计算是减法？ 3、探究：

?1?已知x?3，求代数式?x?2???x?2??x?2??23的值。

2本题主要是先化简后求值的方式进行。

其中（1）先化简再代入；（2）a?b的值或a?b的值或ab的值特殊，所以对代数式怎么处理可以用上这些中一个或几个特殊值，目的是使解题更方便。

对于（2），由于a和b的值的特殊性，其实求出a?b、a?b、ab的值，将代数式进行化简后代入比直接代入就往往会更为简单。因此通过本题可以培养学生合理思考该类化简问题的方法与意识。

(2)已知a?3?2，b?3?2，求a2?ab?b2的值.

§1. 3二次根式的运算（第三课时）1

教学目标

1、会运用二次根式解决简单的实际问题.

2、进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.

重点难点

重点：二次根式及其运算的实际应用.

难点：例6涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂，是本节教学的难点.

教学设想：本课时是二次根式运算的应用。

其主要知识体系为：

例6的数字看上去比较复杂，其目的是为了二次根式的运算的应用，是对二次根式知识的综合运用。提出应用二次根式及其运算解决简单实际问题主要表现在两个方面：1、通过二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；2、通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简。

教学程序设计：

一、引入新课：

与学生一起复习在二次根式运算应注意的问题：

教师把握：二次根式的四则混合运算中，要注意的是： 第一方面——与实数或代数式的运算的顺序进行类比：

1、在实数范围内，乘法分配律，乘法法则及乘法公式仍然成立，在二次根式的混合运算中均可运用。

2、在进行二次根式的加减乘除混合运算时，先运用乘法分配律(如果是除法，先转化为乘法)进行二次根式的乘法运算，再进行二次根式的加减运算。在进行二次根式的和与差的乘法运算时，可以直接运用完全平方公式进行计算，根据所给题目的特点，可灵活运用公式进行计算.

3、在进行二次根式的混合运算时，先进行乘法运算，把所得的积化为最得二次根式后，再进行加减运算。

第二方面——具体对二次根式化简中的特点： ①能化简的先化简；

②当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并；

③在二次根式的运算中要注意运用乘法公式和乘法法则，使运算简便； ④结果能简化的要化简。（注意化简的要求）。 二、知识应用：

1、练习：一道斜坡的坡比为1：10，已知AC＝24m。求斜坡的长。 设计在此处安排一个练习，一方面，解释概念（坡比——可以参考教材中的注释，也可以直接给出坡比（坡度）=铅直高度：水平宽度），并出示答案（标准的解题过程与格式），让学生从简单的入手进行深入的学习；再者，先巩固已有知识，便于向新知识过度。

2、解释应用情境：扶梯AB的坡比(BE与AE的长度之比)为1：0.8，已知AE=2米，一男孩从扶梯底部A走到顶部B，他升高了多少米？（他经过了多少路程？）

(斜坡的竖直高度和对应的水平宽度的比叫做坡比。)

给出知识的应用情境，先让学生有充分的时间阅读并理解题意（主要是与坡比相关的竖直高度、水平宽度在图形中的表示）。他升高了多少米可以用什么来反映？（线段

BE）再让学生看一遍题然后让学生独立去解题，并展示学生解题过程，并评价。

在日常生活和生产实际中，我们在解决一些问题，尤其是涉及直角三角形边长计算问题时，经常用到二次根式及其运算。

例6、如图，扶梯AB的坡比(BE与AE的长度之比)为1：0.8，滑梯CD的坡比为1：1.6，AE=2米，BC=

1CD。一男2孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过了多少路程?(结果精确到0.01米)

本题与前面引例一起，构建了解决数学实际问题的一种思路：先有情境，然后将实际的图形抽象出几何图形，并应用几何图形进行解决问题。

而对于那些不能很快建立思路的学生，教师在个别辅导时注意把握： （1）所求的路程是那些线段的和？

（2）计算AB和引题一样——求BC得先求出CD；CD能求吗?——根据滑梯CD的坡比为1：1.6米，说明哪两条线段的比是已知的？（CF：FD=1：1.6）因为CF=2.5（米），就可以求出哪一条线段的长度？（FD）那么我们可以求CD了吗？

而在讲解时则要注意：

（1）让学生有充分的时间阅读问题，理解问题，分清已知哪些量，所求量是什么。 （2）帮助学生根据图形，寻找所求的量和已知量之间的关系。 或启发学生：

（1）所求的路程是哪些线段的和？

（2）AB，BC，CD这三条线段中，哪些线段的长度是已知的，哪些线段的长度是未知的？

（3）题设中已知线段AB的破比为1：08，说明哪两条先点的比是已知的？根据AE=3/2米，你可以先求出哪一条线段的长度？

（4）AB与AE，BE有怎样的关系？据此你能求出AB吗？是否可以类似地求出CD的长？

（5）观察AB+BC+CD的算式中含有哪些运算，能化简吗？ 由学生来完成，教师评价。 做一做：P17课内练习1 三、课堂小结

①回顾二次根式的性质，二次根式的运算法则（由学生总结，教师适当提问补充。） 1、二次根式的运算结果能简化的要简化

2、体验体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值 3、实际问题要注意分析

②引导学生从下面的思路总结（应用二次根式及其运算解决简单实际问题主要表现）：

1、通过二次根式或含二次根式的代数式表示未知量； 2、通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简。 四、布置作业：作业本

§1. 3二次根式的运算（第三课时）2

教学目标

1、会运用二次根式解决简单的实际问题.

2、进一步体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值.

重点难点

重点：二次根式及其运算的实际应用.

难点：例7涉及多方面的知识和综合运用，思路比较复杂，是本节教学的难点.

教学设想：本课时是二次根式运算的应用（原教材中1.3第三课时的下半部分）。因

为例7有一定的难度，因此为了帮助学生的学习，这里将例7单独列为1课时进行教学。例7综合运用了直角三角形的有关知识、图形的分割、面积的计算等，其解答过程较长，也是对二次根式知识的综合运用。在这里，对李7进行教学后进行适当的拓展，提高学生的综合解题能力。

教学程序设计：

一、引入新课

例7、如图是一张等腰三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上的高CD四等分，然后裁出3张宽度相等的长方形纸条。（1）分别求出3张长方形纸条的长度。（2）若用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），如右图，正方形美术作品的面积最大不能超过多少cm2。

① ②

在讲解本题之前，结合学生的理解水平和一般的思考问题的思路，我先和部分学生（兴趣小组）一起准备了图形等腰直角三角形①和②；并将等腰直角三角形①再变成画线图和裁减图若干份，并将部分图贴在纸板上，每个学习小组都有至少2份，让学生在观察与操作中理解题意，并帮助学生建立解题思路。

在对学生进行解释时，教师注意把握：

a、3张长方形的长度也就是哪三条线段的长度？

b、已知的是什么？——△ABC是什么三角形？AC=BC=40cm，CD是斜边上的高且CD被分成四条相等的线段（四等分）。

c、CD是斜边上的高，又可以看作是什么？（斜边上的中线）

d、你能求出EF、GH、MN的长吗？（学生讨论，教师帮助引导）

——对于求出长方形纸条的长，可以有2种思路，其一是结合教材中的方法，利用CD，通过长方形纸条的上边EF、GH、MN来求；当然还可以利用长方形纸条的下边。即利用AB、MN、GH分别减去2个小等腰直角三角形的边（纸条的宽度）来计算。在教学时教师注意结合学生的思考作适当的点拨。

e、每条纸条的长度与所有纸条的总长度有什么关系？1。纸条的宽度是多少？

4解法启发：

针对第一小题：

（1）这张纸条的长可以看做哪一个三角形的一条边长？这个三角形有什么特征？ （2）三角形的斜边与等腰直角三角形ABC的斜边AB有什么关系？所以和ABC

的AB边上的高CD有什么关系？CD也平分这个直角三角形的斜边？为什么？由此你求出这个直角三角形的斜边的长吗？

（3）最上面的长方形纸条的以后，用类似的方法求出其他长方形纸条的长。 针对第二小题分析如下：

启发学生找出课本图1-6中每条纸条的长度与课本图1-5所有纸条总长度的关系，这样根据纸条的宽度为1/4CD，就不难算出4张纸条所围成的正方形的面积，所以找出它们的关系是解决问题的关键。

第一题、先取最上面的长方形纸条进行分析

1、这张纸条的长可以看做哪一个三角形的一条边长？这个三角形有什么特征？ 2、这个三角形的斜边与原三角形的斜边有何关系？与原三角形的高有何关系？能否求这个三角形的斜边的长？

第二题、启发学生找出每纸条的长度与所有纸条的总长度的关系，进而算出4张纸条所围成的正方形的面积．

体验二次根式及其运算的实际意义和应用价值。 二、拓展：

1、若给你一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm。你会怎么裁剪？

——学生可以裁剪出图①中的第二、第三两图。这样，可以帮助学生提高对实际问题中方案设计的思考能力和动手操作的能力。

CEGMCFHND...D.E..FDHMNCFEA①②③ 2、现有一张等腰直角三角形彩色纸。AC=BC=40cm。要求裁出来的长方形纸条的

BABAHMNKB宽度相等，且都为52cm，则这3种裁法哪种裁出来的长方形纸条总长度更长呢？

——这是题1的延伸，对于在第1题中的三种裁剪方案，进行比较，可以培养学生更好地思考问题的能力。

3、能不能用其他的几何图形来镶边呢？

——其实，在日常生活中的的图形镶边，还可以有图③的方案，而显然图③的镶边比图②更能“物尽其用”，这里也可以介绍给学生，提高他们的生活知识的应用能力。

三、课堂小结

①怎样快速准确地进行二次根式的混合运算？

二次根式的混合运算是本章学习的落脚点，是前面学过的二次根乘法、除法及加减法的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：

1、二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．

2、二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． 3、在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

四、布置作业：作业本

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