实变函数复习题

一、计算或证明下面各题 1、设An是如下一点集：

1??...，，m?0,1,2， A2m?1??0,2??2m?1??1??...，，m?1,2， A2m??0,1??2m??试确定?An?的上极限和下极限。

2、证明：lim???Am与lim???Am。

n??n?1m?n????n??n?1m?n3、证明：单调集列是收敛的，若?An?增加，则limAn??An；若?An?减少，

n??n?1? 则limAn??An。

n??n?1??n?1?4、设?An?是一列集合，作A1?B1，Bn?An???B??，n?1。证明：?Bn?是一

??? 列互不相交的集，而且?B???A?，1?n??。

??1??1??5、设F1、F2是R1中两个互不相交的闭集。证明：存在两个互不相交的开集G1、

G2,使G1?F1、G2?F2。

6、证明：设S1、S2都可测，则S1?S2也可则，并且当Si?Sj??时，对于任意

??? 集合T总有m?T??S1?S2???m?T?S1??m?T?S2?。

7、证明：设?Si?是一列互不相交的可测集，则?Si也是可测集，且

i?1?????m??Si???mSi。 ?i?1?i?18、证明：设E是任一可测集，则一定存在G?型集G，使G?E，且m?G?E??0。 9、设S1,S2,...,Sn，是一些互不相交的可测集合，Ei?Si,i?1,2,3,...,n。求证：

m??E1?E2?...?En??m?E1?m?E2?...?m?En。

10、设A,B?RP且m*B???，若A是可测集，证明：

m*(A?B)?mA?m*B?m*（A?B）。

11、证明：若E可测，则对于任意??0，恒有开集G几闭集F，使F?E?G,而

m?G?E???，m?E?F???。

12、证明：设E?Rq，存在两侧两列可测集{An}，{Bn},使得An?E?Bn 且

m?Bn?An??0?n???，则E可测。

1?， 13、设E是?0,1?中可测集，若m?E??1，证明：对任意可测集A??0，m?E?A??m?A?。

14、证明：设mE??,{fn(x)}是E上一列a.e.收敛于一个a.e.有限的函数f(x)的 可测函数,则对???0,存在子集E??E, 使{fn(x)}在E?上一致收敛,且

m(E\\E?)??。

15、设?fn?x??是E上一列a.e.有限的可测函数，则对???0,存在闭子集F??E, 使f(x)在F?上一致收敛,且m(E\\F?)??。 16、写出并证明上述定理的逆定理。

17、设函数列?fn?x???n?1,2,...?在有界集E上“基本上”一致收敛于f?x?，证 明：?fn?a.e.收敛于f。

18、设函数列?fn?在E上依测度收敛于f，且fn?x??gn?x?a.e.与E，n?1,2,...。

试证：f?x??g?x?在E上几乎处处成立。

19、设在E上fn?x??f?x?，且fn?x??fn?1?x?几乎处处成立，n?1,2,...，则几乎 处处有fn?x?收敛于f?x?。

20、设在E上fn?x??f?x?，且fn?x??gn?x?a.e.成立，n?1,2,...，则有

gn?x??f?x?。

21、设mE??，几乎处处有限的函数列fn?x?和gn?x?，n?1,2,...，分别依测度 收敛于f?x?和g?x?，证明：fn?x??gn?x??f?x??g?x?。 22、设在E上?fn?x??依测度收敛于f?x?，则存在子列

?f?在E上a.e.收敛于f。

ni23、证明：设mE??，fn?x?是E上a.e.有限的可测函数列，fn?x?在E上a.e.收 敛于a.e.有限的函数f，则fn?x??f?x?。

24、设fn?x??f?x?，fn?x??g?x?，则f?x??g?x?在E上几乎处处成立。 25、设E?R1,f?x?是E上a.e.有限的可测函数。证明：存在定义在R1上的一列

连续函数?gn?，使得limgn?x??f?x?a.e.E。

n??26、设mE??,f(x)在E上可积，en?E(|f|?n)，则limn?men?0。

n27、设?fn?是E上的可测函数列，则其收敛点集与发散点集都是可测的。 28、若E?Rn，对???0，存在开集G, 使得E?G且满足 m*(G?E)??， 证明E是可测集。

二、用集合表示下面的结论：

?x:fn?x?有界?： ?x:fn?x?有界?：

?x:limf?x??0?：

?x:limf?x??0或不存在?：

n??nn??n

三、写出下列定义或定理： 上极限： 下极限：

P0的?领域： 紧集： 自密集： 完备集：

L外侧度：

外侧度的三条基本性质:

E的L测度：

?代数：

由?生成的?代数：

G?型集： F?型集：

可测函数： 简单函数：

可测函数与简单函数的关系：

叶果洛夫定理：

鲁津定理：

函数列?fn?依测度收敛于f：

非负简单函数的勒贝格积分：

非负可测函数的勒贝格积分：

列维定理：

逐项积分定理：

法图引理：

一般可测函数勒贝格积分：

积分绝对连续性：

积分的可数可加性：

勒贝格控住收敛定理：

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