3《学习指南 试题精解》 第三章 动量守恒

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第3章 动量守恒 3.1

要求

1、 掌握质点的动量定理、动量守恒定律；

2、通过质点在平面内的运动情况，理解角动量（动量矩）和角动量守恒定律，并能用它们分析、解决质点在平面内运动时的简单力学问题。掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内的运动的力学问题。

3.2 内容提要

1、动量

质量为m的物体以速度v运动时，其动量为P?mv。

动量是矢量，它的方向与速度v的方向相同。动量是物体作机械运动的度量。动量的单位是kg?m/s。当物体作高速（接近光速）运动时，其动量为：

P?mv?m0v1?v/c22

式中m0为物体静止时的质量。

2、冲量：作用在物体上的力和力的作用时间的乘积称为在段时间内作用在物体上的冲量。冲量是矢量，只是恒力的冲量其方向才与力的方向一致， 恒力的冲量为

I?F?t?F(t2?t1)

冲量的单位是N?s。 变力的冲量为

t2I??Fdt

t1称为在该时间间隔内作用在该质点上的冲量。

2、 动量定理：合外力的冲量等于质点（或质点系）动量的增量称为动

量定理，即

t2?Fdt?Pt12?P1?mv2?mv1

它是牛顿第二定律的另一种表达形式，阐述力对时间累计效应的物理规律。 微分形式

Fdt?dP?dmv

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其中 P?mv；

4、动量守恒定律

系统所受合外力为零时，其总动量不随时间改变，即对系统：?Fi?0，则

i有

P??mvi=常矢量。

i5、对于惯性系中某一定点，力F的力矩

M?r?F。

3.3 解题思路

1、利用动量定理分析问题的方法和步骤，仍然是解题“三字经”： 认物体 认清题目内容后，要选一个物体（抽象为质点）作为分析的对象。如果问题涉及几个物体，则要依此选一个物体逐个进行分析，对每个物体要标出其质量；

看运动 对认定的物体要分析出题目給出的（或演示）的运动状况，包括其运动的轨迹、速度和加速度。同时涉及几个问题时，要逐个进行分析它们运动的状态，并还要找出它们速度和加速度的关系。要注明速度和加速度是相对什么参考系而言，一般都是对惯性系（如：地面、地心或把太阳都看成是惯性参考系）说的；

查受力 要找出被认定的物体所受的力，并用箭头标出其受的力，箭头的尾部画在物体的作用点上。物体对其他物体的反作用力与该物体的加速度无关，一般受到的力就是那几种常见的力。为做到清楚无误地分析物体的受力，要画出清晰的示力图和物体运动的轨迹，以及其速度和加速度的方向。特别要注意参考系，如果要用非惯性系解题，要事先明确所选的有加速度的参考物，然后在每一个分析对象上还要加上一个惯性力的作用；

不过有时直接用矢量表示式，根据矢量图的几何关系求解更为方便和直观。 2、应用动量守恒定律解题时，也用解题“三字经”，不过这里要注意：首先要认定相互作用的几个物体作为分析的对象，对它们的运动要分清初始和终了的两个状态。在分析力时，要特别分析系统所受的合外力（即系统内各物体所受系统外物体的外力的矢量和）是否为零？只有当合外力为零时，才能有总动量守恒的结果（有时外力可以忽略，也可以用动量守恒公式）。很多的情况是系统所受的合外力在某一方向上为零，则总动量沿这一方向的分量也守恒。 3、应用角动量定理时，首先要明确力矩和角动量的定义的矢量积的数学意义。例如，力矩并不简单地是力和位矢的乘积，角动量也不简单地是质量、位矢和速率的乘积。要明确它们都是由两个矢量定义的一个新的矢量；

4、应用角动量守恒定律于质点的运动时，首先要明确计算力矩和角动量时所采用的定点的位置。对于力矩，不但当F=0或r=0（即力的作用线通过定点）时，该力的力矩为零，而且力和质点的位矢平行和反平行时，该力的力矩也为零。

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对质点的角动量也应该注意：质点的速度和位矢平行和反平行时，质点对定点的角动量也为零。只有当质点的速度与位矢的方向垂直时，质点的角动量的大小才等于位矢和速度大小的乘积；

5、在用角动量守恒求解问题时，要注意参考系的确定，应以定点所在的参考系为准。

3.4 习题精解

3.1、一质量为1 kg的物体，置于水平地面上，物体与地面之间的静摩擦系数???＝0.20，滑动摩擦系数?＝0.16，现对物体施一水平拉力F＝t+0.96(SI)，则2秒末物体的速度大小v＝______________。

题意分析：在0?1 s内, F

解题思路：从题意分析中得出解题思路：由力对时间的积累，即力对时间的积分，求出冲量，再求速度。

解题：在1 s?2 s内,

2 I??(t?0.96)dt??mg(t2?t1)?0.89N?s

1由 mv – 0=I， 可得

v = I/m=0.89 m/s

3.2、假设作用在一质量为10 kg的物体上的力，在4秒内均匀地从零增加到50 N，使物体沿力的方向由静止开始作直线运动．则物体最后的速率v ＝_______________．

解题思路： 力在4秒内均匀地从零增加，可设

f(t)?kt，

4已知：?f(t)dt?50N，

04?0f(t)dt??mv，v?50?5m/s。 103.3、在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力） （A） 总动量守恒

（B） 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向的动量不守恒。 （C） 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒。 （D） 总动量在任何方向的分量均不守恒。 [ ]

解：取炮车和炮弹为一系统，发炮过程中，所受外力为重力和地面支持力，均是垂直方向，在水平方向不受外力作用，所以总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒，总动量不守恒。应选（C）。

3.4、设作用在质量为1kg的物体上的力F=6t+3（SI），如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0s的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小I = 。

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物体做直线运动，可标量运算

t2202I??Fdt??(6t?3)dt?(3t?3t)|?18(N).

t10020???3.5、一质量为m的物体，以初速v0成从地面抛出，抛射角??300，如忽略空气阻力，则从抛出到刚要接触地面的过程中

（1） 物体动量增量的大小为 。 （2） 物体动量增量的方向为 。 ????????提示：?p?p2?p1

mv0300 300 ???p mv0?p?mv0sin300???mv0sin300??mv0 图3.1 物体动量增量的方向为垂直向下。 3.6、质量为M=1.5kg的物体，用一根长为l?1.25m的细绳悬挂在天花板上，今有一质量为m?10g的子弹以v0?500ms的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v?30m/s，设穿透时间极短，求： （1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。 解：（1）取m+M为一个系统，因作 用时间极短，作用力极大，所以在水 ???v0平方向动量守恒，

m即

? M ?v mv0?mv?MV 图3.2 V?m?v0?v??3.13ms， MMV2T?Mg??26.5N

? （2）f?t?mv?mv0??4.7N.S，与v0反向.

3.7、物体m被放在斜面M上，如果把m和M看成一个系统。请问在下列情况下，系统水平方向分动量守恒：

（A）、m和M间无摩擦，而M与地面间有摩擦； （B）、m和M间有摩擦，而M与地面间无摩擦； （C）、两处都没有摩擦； （D）、两处都有摩擦。

解：由动量守恒定律：系统所受合外力为零时，其总动量不随时间改变，即对系统：?Fi?0，则有 P??mvi=常矢量；可以判断处：只有两处都没有摩

ii擦的情况下，系统水平方向分动量守恒。所以，选（C）

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3.8、一质量为m的炮弹竖直向上抛射，初速度V0在发射后，经过t秒在空中爆炸。假定分成质量相同的A、B和C三块碎片。其中A块的速度为零，B和C速度大小相等，且B的方向与水平成α角。求B和C两块的速度（大小和方向）？ 解题思路：炮弹在空中爆炸，所受的合外力为零，所以系统的动量守恒，可用动量守恒定律解此题。依题意作图图3.3： m(v0?gt) 1解：爆炸前的总动量的大小为 m(v0?gt)， mvB 3方向垂直向上；爆炸后B的动量的大小为 α X 1m(v0?gt)sin??mvB， 图3.3

33(v0?gt)vB?；

sin?同理可得

3(v0?gt)vC?，其方向与X轴（水平方向）的夹角为（90???).

cos?3.9、质量为m的一只狗，站在质量为M的一条静止在湖面的船上，船头垂直指向岸边，狗与岸边的距离为S0．这只狗向着湖岸在船上走过l的距离停下来，求这时狗离湖岸的距离S（忽略船与水的摩擦阻力）。

解：设v为船对岸的速度，u为狗对船的速度，由于忽略船所受水的阻力，狗与船组成的系统水平方向动量守恒： Mv?m(v?u)?0 即

?mv?u

M?m船走过的路程为

mmL??vdt?udt?l， ?M?mM?m00tt狗离岸的距离为

Ml。. M?m3.10、一块木料质量为45 kg，以8 km/h的匀速向下游漂动，一只10 kg的天鹅以 8 km/h的速率向上游飞动，它企图降落在这块木料上面．但在立足尚未稳时，它就又以相对于木料为2 km/h的速率离开木料，向上游飞去．忽略水的摩擦，木料的末速度为：________。

解题思路：分析天鹅和木料动量的变化（设向下游的方向为正方向）， 1、初态时，木料的动量为：mv?45?8?360，天鹅的动量为：-80

S?S0?(l?L)?S0?2、天鹅停留在木料上时的动量守恒：360-80=(45?10)v1 3、天鹅飞离木料时的动量守恒：55v1?45v2?10?2

280?20?6.7km/h. 453.11、一个人站在平板车上掷铅球，人和车总质量为M，铅球的质量为m，平板车可沿水平、光滑的直轨道移动．设铅直平面为xy平面，x轴与轨道平行，

4、联立上述各方程，解得：v2?

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