新航道江苏专转本高等数学 导数计算及应用 例题加习题(5)

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围成正方形的长度为a?x，而面积记为S2， S(x)?S1(x)?S2(x)=?(x2?2)?(2a?x42)

2=

S?(x)?S??(12?x?1814?x?(a?x)16，(0?x?a)

2?a(x?a)?0，得x?2?a8?2?8?2?， 2?a8?2?)?0，故S()?Smax。 56．解：设圆桶底面半径r，为油桶高为h，则 2?rh?2?r?A， 2解得h?A2?r2?r， 2V(r)??r?h??r(A2?r?r)?Ar2r ??r， 3h V'(r)?A2?3?r?0，得r?2A6? ?V\???A???0，取 r?6???A6?时容积最大， 图示2.9 此时，h?13A?。 57．解：设BD?x，则OD?15? 总费用Z(x)?2?105?x?2?(15?4x?25 x?25)?6?10?2?10(10x?90?6x?25) 24422? Z'(x)?210?(10504x6?2x?25，) 0解得 x??12.5（公里），唯一驻点即为所求。 - 68 -

第二章 导数计算及应用

58．设切点为(X,Y)?(X,1?4X2)，由4x2?y2?1 ，求导得

dydxdydx4xy4XY4X1?4X2 8x?2y?0,??，k????

yA B O 4x?y?1 22x图示2.10 切线方程为y?1?4X2??4X1?4X4X222(x?X)， 令x?0得y?1?4X2??11?4X2。 1?4X令y?0得x?X?1?4X4X2?14X2，S(X)?12?11?4X2?14X， 求S(X)的最小即求X1?4XF'?X的最大，令F?X??X1?4X12 ??1?4X2?X?4X1?4X2?0，解得X?唯一驻点，即为所求。 22此时切点坐标为??1?22,1??。 2?59、解：（1）利润函数 R?x??xp?c?x??tx?x?7?0.2x???3x?1??tx??0.2x??4?t?x?1

2R'?x???0.4x??4?t??0得x?52?4?t?，唯一驻点，即为所求。

52（2）政府税收总额Q?t??tx?

52?4?t?t，Q'?- 69 -

?4?2t??0，t?2

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唯一驻点，即为所求。

章节测试答案 1．0,a0n!

2．3x2?3xln3?xx(lnx?1) 3. x?y??2 4. 2x 5. a?2 6. ?1,3? 7. y?1水平渐近; x?1垂直渐近; y?1 8、Ｂ 9、Ａ 10、Ｃ 11、Ｄ 12、Ｃ 13、Ｃ 14、Ｃ 15、Ａ 16、Ｃ 17、Ｂ 18、Ｂ 19．原式=lim 20．y??1?1? ????2?2?2x1?x??1??1????x?1sinx?xxsinxx?0?limsinx?xx2x?0?limcosx?12xx?0?lim?sinx2x?0?0 21．y??2arcsinx2?11?x2?12?24?x2arcsinx2 422．lny?arctanxln?1?x2?,y???1?x1y?y?11?x2ln?1?x2??arctanx2x1?x2 2?arctanx?ln?1?x2??2x??arctanx? 2?1?x2?1?x??23．y??2cosxln2?secx?tanx,dy?2secxsecx?tanx?ln2dx x?0??2x,?24．f??x??? x，x?0?arctanx?21?x?f???0??limf???0??limf?h??f?0?hf?h??f?0?hh?0??lim?limharctanh?0h?h?0h2h?0??0

h?0?h?0??0,?f??0??0

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第二章 导数计算及应用

??n??nn2x，而f25．f?x???n????1?n?0?x???n?0f?n??0?n!nx，

故

f?0?n!???1?2，所以fnn?n??0????1?1n2n!

n26．y?arctan1x?12xlnx，y??1111?1?1 ???lnx???lnx??22?1?x222?1??x?21??2??x?y???2x?1?x?22?12x 27．y??21?2x，y????4?1?2x?y?y2，y????16?1?2x?11?1x3，y????0??16 28．lny?xln(1?1x)， ?ln(1?1x)?x(?1x)?ln(1?21x)?11?x y??(1?1x)(ln(1?1x1x)?11?x)

??2?1??1?1???f????1???ln?1?2??11?2????1??2??212(sin?lnx??cos?lnx?)?12x2??????2??3?ln3?? 3??29．y??[cos?ln(x)??121x?sin?ln(x)??121x] =y''?(sin?lnx??cos?lnx?)?cos?lnx???1 sin?lnx??sin(lnx) cos?lnx?x?x， ?y''(1)??x?1?1?x2cos0130．y'?1?x2?arccosxx21?x2?1x

??1x1?x2?arccosxx2?1?xx2?1?x2?1x

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lim111?1]31．原式=ex?0x[ln(1?x)x?ex?0limxln(1?x)?1xlimln(1?x)?xx2?ex?0?e?11?xlimx?02x1?e?12

132．原式=limxlnxx???(lnx?1)a?1ax?lim2lnx?1axlnxax????0

2233．y??2x1?x2，y???2(1?x)?2x?2x(1?x)22?2?2x2(1?x)

y??0,y???0 解得 x?0,x??1 x y? y?? y ???,?1? ? ? ?1 ??1,0? ? 0 ?0,1? ? ? ?? 1 ?1,??? ? ? ?? 拐点 极小值 拐点 x?1??ln2 ? ?? ?? y??1??ln2 y?0??0

34．解f??(0)?lim?x?0f(h)?f(0)hf(h)?f(0)?lim?x?0e?1he?hh?1 ??1 f??(0)?lim?x?0h f?(0)不存在，即不可导 ?lim?x?0?1hx?x?0?e, f?(x)?? 可知，x?0时，y取极小值y(0)?1 ?x???e,x?035．解：平均成本c(x)? c?(x)??100x2100x?x4?6 ?14?0 x??20（负号舍去） c??(20)?0，所以当x?20时，c?x?的最小值 cmin?100?14?20?6?20?320（万元/单位） 236．解：设销售量为x百台，c(x)?2?x

1212??4x?x?2?x?3x?x,0?x?4利润函数L(x)?R(x)?c(x)?? 22?8?2?x?6?x,x?4?

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