云南省曲靖市师宗县五龙民族中学2024秋九年级数学上册 24.1 圆((2)

（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示 ∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB

∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=

1

∠AOC 2

12

（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC=

∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．

老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角， 那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．

（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=

1

2

∠AOC吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=

111

∠AOD-∠COD=∠AOC 222

现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C， 同样可证得它等于同弧上圆心角一半，

因此，同弧上的圆周角是相等的． 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．

例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？

分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点， 只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可． 解：BD=CD

理由是：如图24-30，连接AD ∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD

三、巩固练习

1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展

例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半

abc===2R． sinAsinBsinC

abcabc

分析：要证明===2R，只要证明=2R，=2R，=2R，

sinAsinBsinCsinAsinBsinC

abc

即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明显要在直角三

2R2R2R

径为R，求证：

角形中进行．

证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接

DB

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