数学建模微分方程的应用举例(3)

微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用,本节我们将集中讨论微分方程的实际应用,尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力

的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.

下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.

人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家Verhulst提出一个人口模型

dy

y(k by),dt

其中k,b的称为生命系数.

y(t0) y0 (8.3)

我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.

有生态学家估计k的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得b 2,从而估计得:

(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.

后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t时刻的销量为x(t),由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t时刻产品销售的增长率虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明

dx

,与x(t)成正比, 同时, 考dt

dx

与尚未购买该产品的潜在顾客的数量dt

N x(t)也成正比, 于是有

dx

kx(N x) dt

其中k为比例系数. 分离变量积分, 可以解得

(8.4)

x(t)

由

N

1 Ce kNt

(8.5)

dxCN2ke kNtd2xCk2N3e kNt(Ce kNt 1) , , kNt22 kNt2dt(1 Ce)dt(1 Ce)

*

dxNd2x*

0,即销量x(t)单调增加. 当x(t) 0;当当x(t) N时, 则有时, 2dt2dtNNd2x

x(t) 时, 2 0;当x(t*) 时, 即当销量达到最大需求量N的一半时, 产品最为

22dt

*

畅销, 当销量不足N一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.

国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.

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