微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用,本节我们将集中讨论微分方程的实际应用,尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力
三、价格调整模型
在本章第一节例3已经假设, 某种商品的价格变化主要服从市场供求关系. 一般情况下,商品供给量S是价格P的单调递增函数, 商品需求量Q是价格P的单调递减函数, 为简单起见, 分别设该商品的供给函数与需求函数分别为
S(P) a bP,Q(P) P (8.6)
其中a,b, , 均为常数, 且b 0, 0.
当供给量与需求量相等时, 由(8.6)可得供求平衡时的价格
Pe
并称Pe为均衡价格.
a
b
一般地说, 当某种商品供不应求, 即S Q时, 该商品价格要涨, 当供大于求, 即
S Q时, 该商品价格要落. 因此, 假设t时刻的价格P(t)的变化率与超额需求量Q S成
正比, 于是有方程
dP
k[Q(P) S(P)] dt
其中k 0,用来反映价格的调整速度.
将(8.6)代入方程, 可得
dP
(Pe P) (8.7) dt
其中常数 (b )k 0,方程(8.7)的通解为
P(t) Pe Ce t
假设初始价格P(0) P0,代入上式, 得C P0 Pe,于是上述价格调整模型的解为
P(t) Pe (P0 Pe)e t
由于 0知, t 时, P(t) Pe.说明随着时间不断推延, 实际价格P(t)将逐渐趋近均衡价格Pe.
四、人才分配问题模型
每年大学毕业生中都要有一定比例的人员留在学校充实教师队伍, 其余人员将分配到国民经济其他部门从事经济和管理工作. 设t年教师人数为x1(t),科学技术和管理人员数目
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