高中数学解题思想方法技巧
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【分析】 本题化指数不等式为整式不等式是不难的
问题是下一步应当怎样走！你是以x为主
讨论二次不等式？还是以a为主
讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的.
【解答】 y=为R上的减函数
∴由原不等式得：x2+ax>2x+a+1.
即a(x-1)+(x2-2x-1)>0当a∈［-1
1］时恒成立.
令f (a)=a(x-1)+(x2-2x-1).
只须(-∞,-1)∪(3,+∞)即为所求.【例3】 求函数y=的最大值与最小值.
【解答一】 设tan=t
则y=
即t2(y-3)-2t+3y-3=0 ①
∵t=tan∈R, ∴关于t的方程①必有实数根, ∴ Δ= 4-4·3(y-3)(y-1)≥0.
即3y2-12y+8≤0
解得：2-≤y≤2+.
即ymax =2+
ymin =2-.
【解答二】 原式变形：sin x-y cos x=2y-3
sin (x+φ)=2y-3.
∵ |sin (x+φ)|≤1
∴≤|2y-3|.
平方化简得：3y2-12y+8≤0.(下略)
【点评】 本例中y是x的函数
而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数,
按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域
可是本例的两种解法都是"反客为主"
或
通过转化为关于t的方程必有实数解
或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域
理
由是:这样解法简单
而且同样能达到目的.
【例4】 若cos2θ+2m sinθ-2m-2<0恒成立
试求实数m的取值范围.
【解答】 反客为主
不看成关于sinθ的二次式
而看成关于m的一次式.
原不等式即：2m(sinθ-1)<1+sin2θ,
如sinθ=1
则0<1恒成立
此时m∈R.
如sinθ≠1
∵sinθ∈［-1,1］
只能sinθ∈［-1,1)
于是sinθ-1<0.
∴2m>2-
∵ (1-sinθ)+≥2.
当且仅当1- sinθ=
即sinθ=1-时
=2,
∴=2-2.
为使2m>恒成立,只需2m>2-2
∴m>1-.
综合得：所求m的取值范围为：m∈(1-
+∞).
【例5】 已知动点P为双曲线=1的两个焦点
F1
F2的距离之和为定值
且cos∠F1PF2的最小值为.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若已知D(0,3)
M、N在动点P的轨迹上
且=λ
求实数λ的取值范围.
【思考】 (1)动点的轨迹为椭圆
当P在椭圆上时
由cos∠F1PF2=<0
知∠F1PF2必为钝角且为最大角
则P应为短轴端点(须证明),据此可
求出椭圆方程.
(2)M、N在椭⊙上,=λ时,
与必共线,可用设参、消参 例5题图
的方式确定λ的范围.
【解答】 (1)设P(x,y)为轨迹上一点
命|PF1|= r1
|PF2|= r2
∵r1+r2=2a为定值
且
F1(,0)
F2(
0)为定点.
∴点P的轨迹为椭圆
已知(cos∠F1PF2)min=.
而cos∠F1PF2=
这里>0
且r1r2≤=a2
∴≥
从而
cos∠F1PF2≥-1=1-,
当且仅当r1=r2
即P为短轴端点时,1-=
∴a2=9
∵c2=5
∴b2=4.
∴所求动点P的轨迹方程为：=1.
(2)由(1)知点D(0,3)在椭圆外
设M(m
s)
N(n
t)在椭圆上.
∵=λ
即(m
s-3)=λ(n
t-3),
∴ ∴
消去n2得：
化简得：(13λ-5)(λ-1)=6tλ(λ
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