习题11
11-1．直角三角形ABC的A点上，有电荷C
10
8.19
1
-
?
=
q，B点上有电荷C
10
8.49
2
-
?
-
=
q，试求C点的电场强度(设0.04m
BC=，
0.03m
AC=)。
解：1q在C点产生的场强：
1
12
4
AC
q
E i
r
πε
=
，
2
q在C点产生的场强：
2
22
4
BC
q
E j
r
=
，
∴C点的电场强度：44
12
2.710 1.810
E E E i j
=+=
?+?；
C点的合场强：4
3.2410V
E m
==?，
方向如图：
1.8
arctan33.73342'
2.7
α===。
11-2．用细的塑料棒弯成半径为cm
50的圆环，两端间空隙为cm
2，电量为C
10
12
.39-
?
电场强度的大小和方向。
解：∵棒长为2 3.12
l r d m
π
=-=，
∴电荷线密度：91
1.010
q C m
l
λ--
==??
可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去m
d02
.0
=长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在O点产生的场强。
解法1：利用微元积分：
2
1
cos
4
O x
Rd
dE
R
λθ
θ
πε
=?
，
∴2
000
cos2sin2
444
O
d
E d
R R R
α
α
λλλ
θθαα
πεπεπε
-
==?≈?=
?1
0.72V m-
=?；
解法2：直接利用点电荷场强公式：
由于d r
<<，该小段可看成点电荷：11
2.010
q d C
λ-
'==?，
则圆心处场强：
11
91
22
2.010
9.0100.72
4(0.5)
O
q
E V m
R
πε
-
-
'?
==??=?
。
方向由圆心指向缝隙处。
i
x
11-3．将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀
分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强。
解：以O 为坐标原点建立xOy 坐标，如图所示。 ①对于半无限长导线A ∞在O 点的场强：
有：00(cos cos )42(sin sin )42Ax A y E R E R λπππελπππε=-=-?
???
???
②对于半无限长导线B ∞在O 点的场强：
有：00(sin sin )42(cos cos )42B x B y E R E R λπππελπππε=-=-?
???
???
③对于AB 圆弧在O 点的场强：有：
20
00
2000cos (sin sin )442sin (cos cos )442AB x AB y E d R R E d R R π
π
λλπθθππεπελλπθθππεπε==-=??????=--???
∴总场强：
04O x E R λπε=
，04O y E R λπε=，得：0()
4O E i j R λ
πε=+。
或写成场强：04E R λ
πε==
，方向45
。
11-4．一个半径为R 的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为λ，求环心处O 点的场强E 。 解：电荷元dq
产生的场为：
204d q
d E R πε=
；
根据对称性有：0y d E =?，则：
20
0sin sin 4x R d E dE d E R πλθθθπε===???
02R λ
πε=
，
方向沿x 轴正向。即：02E i R
λ
πε=
。
11-5．带电细线弯成半径为R 的半圆形，电荷线密度
λ
x
y
E
为0sin λλ?=，式中0λ为一常数，?为半径R 与x 轴 所成的夹角，如图所示．试求环心O 处的电场强度。
解：如图，02
0sin 44d dl
dE R R λ??λπεπε==， cos sin x y dE dE dE dE ?
?==?????考虑到对称性，有：0=x E ；
∴
200000000sin (1cos 2)sin 4428y d d E dE dE R R R π
πλ??λλ??
?πεπεε-=====
???
?，
方向沿y 轴负向。
11-6．一半径为R 的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心O 处的电场强度。
解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为d l Rd θ=，所带电荷：2dq r d l πσ=。
利用例11-3结论，有：3
32
22
024()
x dq r xdl
d E x r σππε?
=
=
+∴
32
22
02cos sin 4[(sin )(cos )]
R R Rd dE R R σπθθθ
πεθθ???=
+，
化简计算得：2
01sin 2224E d πσσθθεε=
=?
，∴
4E σ
ε。
11-7．图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即x E -图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板)。
解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面1S 为高斯面，
当2d x ≤时，由
1
2S E dS E S ?=???和2q x S ρ=?∑， 有：
0x E ρε=
； 当
2d x >
时，由2
2S E dS E S ?=???和2q d S ρ=?∑， x
有：0
2d E ρε=。图像见右。
11-8．在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面(如图
所示)，
平面到q 的距离为d ，试计算通过该平面的E 的通量. 解：通过圆平面的电通量与通过与A 为圆心、AB 为半径、圆的平面
为周界的球冠面的电通量相同。
【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为r
球冠面一条微元同心圆带面积为：2sin dS r πθ=?∴球冠面的面积：
200cos 2sin 2cos S r rd r θθπθθπθ=?=?22(1)d r r π=-】 ∵球面面积为：
24S r π=球面，通过闭合球面的电通量为：0q εΦ=闭合球面，
由：S S Φ=Φ球冠球面球面球冠
，∴001(1)(122d q q r εεΦ=-?=-球冠。
11-9．在半径为R 的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为ρ，求圆柱体内、外的场强分布，并作E ~r 关系曲线。
解：由高斯定律01i S S E dS q ε?=∑??内，考虑以圆柱体轴为中轴，半
径为r ，长为l 的高斯面。
（1）当r R <时，202r l r l E ρππε?=，有02E r ρε=；
（2）当r R >时，20
2R l r l E ρππε?=，则：E =即：020()2()2r r R E R r R r ρερε???； θr
图见右。
11-10．半径为1R 和2R （21R R <）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量λ和λ-，试求：（1）1R r <；（2）21R r R <<；（3）2R r >处各点的场强。
解：利用高斯定律：
1
i
S
S E dS q
ε?=
∑??内
。
（1）1r R <时，高斯面内不包括电荷，所以：10E =；
（2）12R r R <<时，利用高斯定律及对称性，有：
202l r l E λπε=
，
则：
202E r λ
πε=
；
（3）2r R >时，利用高斯定律及对称性，有：320rlE π=，则：30E =；
即：11202
?20
E r R E r R r R r E r R E λπε?=
?
=<
==>?。
11-11．一球体内均匀分布着电荷体密度为ρ的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为r 的一个小球体，球心为O '，两球心间距离d O O ='，
如图所示。求：
（1）在球形空腔内，球心O '处的电场强度0E ；
（2）在球体内P 点处的电场强度E ，设O '、O 、P 三点在同一直径上，且d OP =。
解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为ρ的大球和带有电荷体密度为ρ-的小球的合成。
（1）以O 为圆心，过O '点作一个半径为d 的高斯面，根据高斯定理有： 1
3043S E d S d ρπε?=
??
?
003d E ρε=，方向从O 指向O '；
（2）过P 点以O 为圆心，作一个半径为d 的高斯面。根据高斯定理有：
1
3043S E d S d ρπε?=
??
?
103P d E ρε=，方向从O 指向P ，
过P 点以O '为圆心，作一个半径为d 2的高斯面。根据
高斯定理有：
2
3
043S E d S r
ρπε?=-??
?
32203P r E d ρε=-， ∴1
2
3
20
()
34P P r E E E d d ρε=+=-，方向从O 指向P 。
11-12．设真空中静电场E 的分布为E cxi =，式中c 为常量，求空间电荷的分布。
解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，有：0S E d S cx S ?=????
由高斯定理：
1
S
S E d S q
ε?=
∑??内
，
设空间电荷的密度为()x ρ，有：
()x x Sd x cx S ρε???=
?
∴0
000()x x x d x cd x
ρε=??，可见()x ρ为常数?0c ρε=。
11-13．如图所示，一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别
为1R 和2R ，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 的电势．(以无穷远处为电势零点) 解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为x 轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半
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