浅谈函数在数学解题中的应用

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浅谈函数在数学解题中的应用

作者：金建忠

来源：《职业·下旬》2010年第04期

思维品质是个体思维活动特殊性的外部表现,它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维

的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线,贯穿于整个高中

数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一,函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的,然而在解决问题时如不加以注意,则会使人“误入歧途”。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响,对于提高学生的数学思维品质是十分有益的。

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则,所以在求函数的关系式时,必须要考虑所求函数关系式的定义域,否则所求函数关系式可能是错误的。

例1:某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为100 m,求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式。

解:设矩形的长为x米,则宽为(50-x)米,由题意得

S=x(50-x)

故函数关系式为S=x(50-x) 。

如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量的范围。因为当自变量取负数或不小于50的数时,S的值是负数,即矩形的面积为负数,这与实际问题相矛盾,所以还应补上

自变量的范围:0

S=x(50-x)(0

这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点,就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化,就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数的最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域,将会导致最值的错误。

例2:求函数y=x2-2x-3在[-2,5]上的最值。

龙源期刊网 7a832a4379563c1ec5da7187 解:∵y=x2-2x-3=(x2-2x+1)-4=(x-1)2-4

∴当x=1时,ymin=-4

初看结论,本题似乎没有最大值,只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路,而没有注意到已知条件。这是思维呆板性的一种表现,也说明学生思维缺乏灵活性。

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在R上适用,而在指定的定义域区间[p,q]上,它的最值应分如下情况:

1)当时,y=f(x)在[p,q]上为单调递增函数, f(x)min=f(p)f(x)max=f(q)

2)当时,y=f(x)在[p,q]上为单调递减函数, f(x)max=f(p)f(x)min=f(q);

3)当时,y=f(x)在[p,q]上最值情况是

f(x)min=f()=,f(x)max=max{f(p)f(q)}

即最大值是f(p),f(q)中最大的一个值。

故本题还要继续做下去:

∵-2≤1≤5

∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3

f(5)=52-2×5-3=12

∴f(x)max=max{f(-2)f(5)}=f(5)=2

函数y=x2-2x-3在[-2,5]上的最小值是-4,最大值是12。

这个例子说明,在函数定义域受到限制时,若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响,并在解题过程中加以注意,便体现出学生思维的灵活性。

三、函数的值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合,当定义域和对应法则确定时,函数值也随之而定。因此在求函数值域时,应注意函数定义域。

例3:求函数y=4x-5+ 的值域。

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