高中文科数学立体几何部分整理(2)

所以根据球的体积公式知3433

R V π==球，故B 为正确答案． 第二章 点、直线、平面之间的位置关系

（一） 平面的基本性质

1.平面——无限延展，无边界

1.1三个定理及三个推论

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。(用于证明直线在平面内)

公理2：不共线．．．

的三点确定一个平面. (用于确定平面) 推论1：直线及直线外的一点确定一个平面.

推论2：两条相交直线确定一个平面.

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1 / 1 推论3：两条平行直线确定一个平面.

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.

用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.

（二）空间图形的位置关系

1.空间直线的位置关系：???共面:a b=A,a//b

异面:a与b异面

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1 / 1 1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表述：//,////a b b c a c ?

1.2等角定理：如果一个角的两边及另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

1.3异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

（2）判定定理：连平面内的一点及平面外一点的直线及

这个平面内不过此点的直线是异面直线。

图形语言：

符号语言：PA a P A a A a ααα???∈?????

???

与异面 1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈??；（2）作异面直线所成的角：平移法.

如右图，在空间任取一点O ，过O 作

'//,'//a a b b ，则','a b 所成的θ角为异面直线,a b 所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的

特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.

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1 / 1 2.直线及平面的位置关系： //l l A l l α

ααα???=???????

3.平面及平面的位置关系：αβαβαβ??????⊥??

平行：//斜交：=a 相交垂直： （三）平行关系（包括线面平行，面面平行）

1.线面平行：

①定义：直线及平面无公共点.即//l l αα=??.

②判定定理：////a b a a b ααα????????

（线线平行?线面平行） ③ 性质定理：////a a a b b α

β

αβ??????=?

（线面平行?线线平行） ④////a a αββα????? (面面平行?线面平行)； ⑤//b a b a a ααα⊥??⊥?????

（用于判断）；

2.线面斜交：l A α=

①直线及平面所成的角（简称线面角）：若直线及平面斜交，则平面的斜线及该斜线在平面内射影θαA O

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1 / 1 的夹角。【如图】 PO α⊥于O ，则AO 是PA 在平面α内的射影， 则PAO ∠就是直线PA 及平面α所成的角。

范围：[]0,90θ∈??，

注：若//l l αα?或，则直线l 及平面α所成的角为0?；若l α⊥，则直线l 及平面α所成的角为90?。

3.面面平行：

①定义：//αβαβ=??；

②判定1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；

符号表述：,,,//,////a b a b O a b ααααβ?=? （如图一）

判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥?.【如图二】

O b a

βα

图一 图二 ④面面平行的性质：（1）////a a αββα?????

（面面平行?线面平行）； （2）////a a b b αβαγβγ??=???=?

；（面面平行?线线平行）

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（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）

1.线面垂直

①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意,a α?都有l a ⊥，且l α?，则l α⊥.

②判定定理：,a b a b O l l l a l b ααα??

?=????⊥??⊥?⊥??

（线线垂直?线面垂直）

③证明或判定线面垂直的依据：（1）

//a b b a αα??⊥?⊥?

（较常用）；（2）//a a αββα??⊥?⊥? ④性质：（1）,l a l a αα⊥??⊥（线面垂直?线线垂直）；（2）,//a b a b αα⊥⊥?

3.2面面斜交

①二面角：（1）定义：【如图】

,OB l OA l AOB l αβ⊥⊥?∠-是二面角－的平面角

范围：[0,180]AOB ∠∈??

②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三

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1 / 1 垂线法（常用）；（3）垂面法.

3.3面面垂直

（1）定义：若二面角l αβ--的平面角为90?，则αβ⊥；

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. a a ααββ???⊥?⊥?（线面垂直?面面垂直）

（3）性质：①若αβ⊥，二面角的一个平面角为MON ∠，则90MON ∠=?； ②a AB a a a AB αβββα⊥?

?=??⊥???

?⊥?

（面面垂直?线面垂直）；

③A a A a a αβααβ⊥??∈????∈?

?⊥?

. ④

//a a a αβααβ⊥????⊥?

或

高中文科数学立体几何部分整理（一）、立体几何网络图：

1、线线平行的判断：

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（1）、平行于同一直线的两直线平行。

（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

（12）、垂直于同一平面的两直线平行。

2、线线垂直的判断：

（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

3、线面平行的判断：

（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

（5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

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【实战真题】

1、如图，在四棱锥ABCD P 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点

求证：

（1）直线EF ∥平面PCD ；

（2）平面BEF ⊥平面PAD

2、四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE ∥AB 。

（I ）求证：CE ⊥平面PAD ；

（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD 的体积

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3．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =12

PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；

（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积及棱锥P —DCQ 的体积的比值．

4．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平

行四边形，60DAB ∠=?，2AB AD =，PD ⊥底

面ABCD ．

（I ）证明：PA BD ⊥；

（II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高．

5.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，

分别是棱1BC CC ，上的

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