五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．已知：抛物线2(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ． （1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线2(2)2y ax a x =+--在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤．
①求m 的取值范围；
②若点()2,N m k y +也在图象G 上，且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为 ．
24．如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，ABC α∠=. 过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD ．
图1 图2
（1）求证：AC AD =；
（2）点G 为线段CD 延长线上一点，将射线GC 绕着点G 逆时针旋转β，与射线BD 交于点E ．
①若βα=，2GD AD =，如图2所示，求证：2DEG BCD S S ??=；
②若2βα=,GD kAD =，请直接写出DEG BCD
S S ??的值（用含k 的代数式表示）．
25. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是0,2()，过点A 作直线l 垂直y 轴，点B 是直线l 上异于点A 的一点，且DOBA =a .过点B 作直线l 的垂线m ，点C 在直线m 上，且在直线l 的下方，DOCB =2a .设点C 的坐标为x ,y ().
（1） 判断△OBC 的形状，并加以证明；
量的取值范围）； （2） 直接写出y 与x 的函数关系式（不要求写自变
（3） 延长CO 交（2）中所求函数的图象于点D .
求证：
CD =CO ×DO .
海淀区九年级第二学期期末练习
数学试卷答案及评分参考
13.计算：2012tan 60(3)3π-???+
- ???
. 解：原式
921=- -------------------------
4分
10=-． ------------------------- 5分
14．解方程：2250x x --= .
解：225x x -=.
22151x x -+=+.
2(1)6x -=. ------------------------- 2分
1x -=------------------------- 3分
1x =±∴1211x x ==------------------------- 5分
15. 证明：∵DC ⊥AC 于点C ,
∴90.ACB DCE ∠+∠=?
∵90ABC ∠=?,
∴90.ACB A ∠+∠=?
∴.A DCE ∠=∠ -------------------------1分
∵DE ⊥BC 于点E ,
∴90.E ∠=?
∴B E ∠=∠.
在△ABC 和△CED 中，
,,,B E A DCE AC CD ∠=∠??∠=∠??=?
∴△ABC ≌△CED
.-------------------------4分
∴CE AB =. -------------------------5分
16.解：原式=224137x x x --+- ------------------------2分 =2338x x +-. ------------------------3分
∵26x x +=，
∴原式=23()8x x +-
=368?--------------------------4分
=10.-------------------------5分
17.解：（1）∵ 点)1(-，
m A 在一次函数2+=x y 的图象上， ∴ 3m =-. -------------------------1分
∴ A 点的坐标为(3,1)--.
∵ 点A (3,1)--在反比例函数x
k y =
的图象上， ∴ 3k =. -------------------------2分 ∴ 反比例函数的解析式为3y x
=
．-------------------------3分 （2）点P 的坐标为(0,0)或(0,4)．-------------------------5分 （写对一个给1分）
18. 解：设截至3月10日志愿者报名总人数为x 万人. -------------------------1分
依题意,得
3.6 2.6=1.5
x x -. -------------------------3分 解得 5.4x =. -------------------------4分
经检验， 5.4x =是原方程的解，且符合题意.
答：截至3月10日志愿者报名总人数为5.4万人. -------------------------5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB CD =，AB ∥CD ,AD BC =．
∵HG ⊥AB 于点G ，
∴90BGH H ∠=∠=?．
在△DHG 中，90H ∠=?，45GDH
∠=?，DG =
∴8DH GH ==．-------------------------1分
∵E 为BC 中点，10BC =，
∴5BE EC ==．
∵BEG CEH ∠=∠，
∴△BEG ≌△CEH ．
∴142
GE HE GH ==
=．-------------------------3分 在△EHC 中，90H ∠=?，5CE =，4EH =，
∴3CH =．-------------------------4分
∴5AB CD ==．
∴30AB BC CD
AD +++=．
∴ABCD 的周长为30．-------------------------5分
20. (1)证明：连接AF .
∵AB 为直径，
∴∠90AFB =?.
∵AE AB =，
∴△ABE 为等腰三角形.
∴∠12
BAF =∠BAC . ∵BAC EBC ∠=∠2
1， ∴∠BAF =∠.EBC -------------------------1分
∴∠FAB +∠FBA =∠EBC +∠90FBA =?.
∴∠90ABC =? .
∴BC 与⊙O 相切. -------------------------2分
(2) 解：过E 作EG BC ⊥于点.G
∠BAF =∠EBC ，
∴1
sin sin 4BAF EBC ∠=∠=.
在△AFB 中，∠90AFB =?，
∵8AB =，
∴BF AB =?sin ∠1
8 2.4BAF =?=--------------3分
∴24BE BF ==.
在△EGB 中，∠90EGB =?， ∴1
sin 4 1.4EG BE EBC =?∠=?=------------------4分
∵EG BC ⊥，AB ⊥BC ，
∴EG ∥.AB
∴△CEG ∽△.CAB ∴CE EG
CA AB =. ∴1
.88CE
CE =+ ∴8
.7CE = ∴864
8.77AC AE CE =+=+= -------------------------5分
21. 解：（1）如下图
: -------------------2分
（2）205575%=2740÷（万人）.
答：预计2020年北京市常住人口将达到2740万人.---------------------3分
（3）274018154011=32380?-?（万平方米）. 答：从2005年到2020年，北京市的公共绿地总面积需增加32380万平方米. ------5分
22.解： “Ω值”为10．---------------------2分
（1）是；--------------------3分 （2）最多有5个．--------------------5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23解：（1）∵抛物线2(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ，
∴93(2)24a a +--=．
解得 1a =．
∴抛物线的解析式为22y x x =--． --------------2分
（2）①当0y =时，220x x --=．
∴1x =-或2.
∴抛物线与x 轴交于点(1,0)A -，(2,0)B .-----3分
当2y =-时，222x x --=-．
∴0x =或1．
∴抛物线与直线2y =-交于点(0,2)C -, (1,2)D -.
∴C ,D 关于直线1y =-的对称点'(0,0)C ，'(1,0)D .----4分 ∴根据图象可得1-≤m ≤0或1≤m ≤2．----------------5分
②k 的取值范围为k ≥4或k ≤4-．----------------7分
24．解:(1) ∵BD 平分ABC ∠，
∴12∠=∠．
∵AD ∥BC ，
∴23∠=∠．
∴13∠=∠．---------------1分
∴AB AD =．
∵AB AC =，
∴AC AD =．---------------2分
（2）①证明：过A 作AH BC ⊥于点H ．
∴90AHB ∠=．
∵AB AC =，ABC α∠=，
∴ACB ABC α∠=∠=．
∴1802BAC α∠=?-．
由（1）得=AB AC AD =．
∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上． ∴1
2BDC BAC ∠=∠．
∴90GDE BDC α∠=∠=?-.----------3分 ∵G ∠=β=αABC =∠，
∴90G GDE ∠+∠=?．
∴90DEG AHB ∠=∠=?．
∴△DEG ∽△AHB ．------------------4分 ∵2GD AD =，AB AD =， ∴2
2DEG
AHB
S GD S BA ??==4．
∵AD ∥BC ，
∴2BCD ABC AHB S S S ???==．
∴2DEG BCD S S ??=．----------------------5分 ②2=DEG
BCD
S k S ??． -------------------------7分 25．解：（1）△OBC 为等腰三角形．---------1分 证明：如图1，∵AB BC ⊥，
∴90ABC ∠=?．
∵OBA α∠=，
∴90CBO α∠=?-．
∵2BCO α∠=，
∴90BOC CBO α∠=?-=∠．
∴BC OC =．
∴ △OBC 为等腰三角形．---------------2分
（2）y 与x 的函数关系式为y =-14x 2+1．----4分
（3）过D 作DF ^l 于F ，DG BC ⊥于G 交直线OA 于H .
∵C 为抛物线上异于顶点的任意一点，且BC OC =， ∴DO =DF ．-------------------------5分 设DO =DF =a ，BC =OC =b ,
则DF AH BG a ===，DC a b =+.
①当点C 在x 轴下方时，如图2,
∵2OA =
,
图 3 图
2
图
1
∴2,OH a CG b a =-=-.
∵OH ∥CG ，
∴△DOH ∽△DCG ． ∴OH DO
CG DC =． ∴2a a
b a a b -=
-+．
∴ab a b =+．
∴CD =CO ×DO .------------------------7分
②当点C 在x 轴上方时，如图3,2OH a =-，CG a b =-.同理可证CD =CO ×DO .
③当点C 在x 轴上时，如图4,2CO DO ==.
∴CD CO DO =?.
综上所述，CD CO DO =?.------------------8分
(注：本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分)
图
4
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