第七章 刚体的平面运动

第七章 刚体的平面运动

第1节 刚体平面运动的基本概念

一、刚体平面运动

刚体运动时，若其上任一点至某个固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。 二、刚体平面运动的简化

如图7-1-1-1所示，用一个平行于固定平面 S 1 的平面 S 2 来截平面运动刚体，得截面S，它是一个平面图形。过平面图形上任意一点A作垂直于图形的直线 A 1 A 2 ，显然直线 A 1 A 2 作平移，因此A点的运动完全可以代表直线 A 1 A 2 的运动；平面图形S的运动也就代表了整个刚体的运动。因此，刚体的平面运动可简化为平面图形在其自身平面内的运动。

图7-1-1-1

三、刚体平面运动方程

如图7-1-1-2所示，为确定平面图形Ｓ在平面Ｏxy内的位置，只需给出图形内任一线段O’M的位置，而此线段的位置则可由其上任一点O’的两个坐标xO’、yO’以及线段O’M与x轴的夹角 ? 来表示，所以刚体的平面运动方程为

x O ′ = f 1 (t) y O ′ = f 2 (t) ?= f 3 (t) } 点O’称为基点。

图7-1-1-2

四、刚体平面运动的分解

引入以基点为原点的平动坐标系后，利用上一章点的合成运动的理论知识，平面图形的运动可以分解为随着这平动坐标系的平动（牵连运动）和绕这平动坐标系原点的转动（相对运动）。其中，平动部分的速度和加速度与基点的选择有关，而转动部分的角速度和角加速度则与基点的选择无关，称为刚体作平面运动的角速度和角加速度。

第2节 平面图形内各点速度的求解

一、基点法

如图7-2-1-1所示，可以证明平面图形上任一点B的速度等于基点A的速度与B点随图形绕基点A转动的速度的矢量和， 即

v B = v A + v BA

图7-2-1-1

其中 v BA =| AB |ω ，方向垂直于AB，并与平面图形的角速度ω的转向一致。 一般选取平面图形上速度已知或较容易求出的点作为基点。 二、速度投影法

将基点法得到的速度定理投影到AB方向，可得平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，这就是速度投影定理，即

( v A ) AB = ( v B ) AB

此定理对于任何形式的刚体运动都成立，该定理也反映了刚体不变形的特点。根据速度投影定理求速度的方法称为速度投影法。

三、速度瞬心法 1.速度瞬心

只要平面图形的角速度不为零，则此瞬时图形必定存在唯一的速度为零的点，称为平面图形的瞬时速度中心（简称速度瞬心）。如果取速度瞬心C为基点，则平面图形上任一点M的速度等于该点绕速度瞬心C的转动速度，即

v M =| MC |?ω

其方向垂直于CM，并与图形的转动方向一致。可见，只要知道某瞬时速度瞬心的位置和图形的角速度ω，就可以求出该瞬时图形上各点的速度，如图7-2-1-2所示，平面图形内各点的速度分布就像绕速度瞬心作定轴转动时的情形一样，其大小与各点到速度瞬心的距离成正比，这就是速度瞬心法。

图7-2-1-2

2.确定速度瞬心的方法

在几种不同情况下，速度瞬心C的位置可如下确定：

(1)如果已知图形上一点的速度vA和图形角速度w可以确定速度瞬心的位置C，如图7-2-1-3所示，C在vA绕A点顺w转向转 90 ° 的方向一侧，C到A的距离为

AC= v A ω ,AC⊥ v A

图7-2-1-3

(2)如果已知某瞬间平面图形上A、B两点速度 v A 和 v B 的方向，则过A 、B两点分别作速度 v A 和 v B 的垂线，交点C即为该瞬间的速度瞬心，如图7-2-1-4所示。

图7-2-1-4

(3)如果已知某瞬间平面图形上A、B两点速度 v A 和 v B 的方向及大小，且 v A ⊥AB, v B ⊥AB 则速度瞬心所在位置如图7-2-1-5和7-2-1-6所示。

图7-2-1-5

图7-2-1-6

(4)如果已知某瞬间平面图形上A、B两点速度 v A 和 v B 平行且相等，则速度瞬心在无穷远点，此时的平面运动称为瞬时平动，如图7-2-1-7所示，该瞬时图形上各点的速度均相同，但加速度不相同。

图7-2-1-7

(5)如果平面图形在固定面上作无滑动的滚动, 则图形与固定面的接触点C即为速度瞬心。

以上求平面图形上点的速度的三种方法，基点法是基本方法，不仅能求解平面图形上各点的速度，而且还能求出图形的角速度。速度投影法和瞬心法是由基点法推导出来的，利用速度投影法时不能求出图形的角速度；速度瞬心法既能求解平面图形上各点的速度，也能求出图形的角速度，但须先正确确定速度瞬心的位置。有些复杂机构，可将三种方法配合使用。

例1

如图7-2-1-8所示机构，已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄 OA以匀角速度 ω 转动。 求：当 φ= 45 ° 时, 滑块B的速度及AB杆的角速度。

图7-2-1-8

解： 法一：基点法

机构中，OA作定轴转动，AB 作平面运动，滑块B 作平动。 以为研究对象，取为基点，各速度满足速度合成定理

v B = v A + v BA

根据速度关系可画出B点的速度图如图7-2-1-9所示，其中 v A =lω 方向垂直于OA， v B 沿水平方向， v BA 垂直于AB。于是根据几何关系得到

v B = v A cos?? = 2 lω v BA = v A tan??=lω ω AB = v BA BA =ω

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