导学与练习习题解答（全）(2)

水流速度u?BC120??0.2m

s10min10?60s222(1)(v??12.5?60)?(0.2?12.5?60)?(v??10?60)

1??10?60?200 mv??m 河宽AB?vs3AB2004（2）第二次渡河时船的速度v???m

12.5min12.5?6015s

（3）水流速度u?BC120??0.2m

s10min10?60s 6

第2章 牛顿运动定律

2.1 牛顿运动定律

???221、质量为2kg的质点的运动方程为r?(6t?1)i?(3t?3t?1)j，式中t的单位为s，r的单位为m，求该质点所受力的大小和方向。

解：

???????d2r?a?2?12i?6j F?ma?24i?12j F?242?122?125(N)

dttan??FyFx?0.n5(?是F与x轴的夹角) ?0.5 ??arcta??????2、一个4kg质量的物体受两个力F1?2i?3j和F2?4i?11j的作用，当t=0时物体静止于原点，试求：（1）物体加速度的矢量表达式；（2）加速度的大小和方向；（3）当t=3秒时物体位置矢量的表达式；（4）当t=3秒时物体位置矢量、速度和加速度的大小与方向。

解：(1)F?F1?F2?6i?14jN a?Fm2 ?1.5i?3.j5sms2 (2)a?1.52?(?3.5)2?14.5?3.81m

tan??ayax???2.33 ??arctan(?2.33)(?是a与x轴的夹角)

(3)t=3s时,r?12at?6.75i?15.75jN 2(4)rt?3s?6.752?(?15.75)2?17.2m

5?10.jm5 vt?3s?at?4.is tan??ryrx???2.33 ??arctan(?2.33)(?是vt?3s与x轴的夹角)

vt?3svy?m?11.4 tan ??arctan(?2.33)(?是vt?3s与x轴的夹角) ????2.33svx at?3s?3.81m

s -7-

tan??ayax???2.33 ??arctan(?2.33)(?是a与x轴的夹角)

3、物体在液体中由静止下落，该液体对物体的阻力与物体速度的成正比（f??kv），试推导任意时刻的速度方程。

解： mg?kv?mdvmdv,dt?,且t?0,v?0 dtmg?kv

?t0dt??v0mdvm??ln?mg?kv?,mg?kvk0kv

?t?mg?m??1?e v?? k???2.2 动量定理 动量守恒定律

【练习题】

1、一质量为1kg的物体置于水平面上，初始条件x0?0,v0?0，物体与平面间的摩擦系数??0.1。当物体受到沿水平方向的拉力F?3?2t（SI）作用时，求该物体第2秒末的速度和加速度。 解：a?F合m?3?2t?1?9.8?0.1?2.02?2t

t?2s2 at?2s?6.0ms2 vt?2s?t?00?a?dt?8.04ms

2、一个质量为m的物体，开始时静止，在时间间隔0?t?2T内，受力

??t?T?2?4F0TF?F0?1? 作用，试证明，在t=2T时物体的速率为。 ?23mT??证明:

?V0dV??2T022TF?F0??t?T?3??Ft?T??0dt???1??dt??t??220mm?mT3T???02T=

4F0T 3m V=

4F0T3m

2.3 动能定理

【练习题】

1、从10m深的井中，把10kg的水匀速上提，若每升高1m漏去0.2kg水（1）画出示意

8

图，设置坐标轴后，写出外力所作元功dA的表达式；（2）计算把水从水面提到井口外面外力所作的功。

解：(1)F?(10?0.2x)g dA?F?dx?(10?0.x2g)? x1010 (2)A?dA?(10?0.2x)g?dx?882J

00??2、一个开始时在x0处的静止物体，在力F??在x处的速度为v?2k的作用下沿一直线运动。试证明物体x22k11(?)。 mxx0解： （1） 力F所作的功为

A??F?dx???x0x0xxk11?dx?k(?) 2xxx0 （2） 由动能定理:

111212mv?mv0 ?k(?)

xx022 v0?0 得到 v?★

2k11(?) mxx03、一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体位于原点，速率为零。

（1）如果物体在作用力F=(3+4t)(F的单位为N)的作用下运动了3s，它的速度和加速度各为多少？（2）如果物体在作用力F=(3+4x)(F的单位为N)的作用下运动了3m，它的速度和加速度各为多少？

解：（1） at?3?Ft?315??1.5m/s2 m10 a?F?0.3?0.4t m23?v0dv??adt

03t?0.t2? v?0.302.7 m/sFx?3?1.5m2/ smFdvdvdxdvdx?0x. 4 a????vadx?dv?dv v a??0.3mdtdxdtdxdtv3312v?0.3x?0.2x2v?2.3m/s ?vdv??adx0002（2） ax?3?

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第3章 运动的守恒定律

3.1 功能原理 机械能守恒定律

1、质量为m的地球卫星，在地球上空高度为2倍于地球半径的圆轨道上运动，试用m、R、常量G和地球mE来表示：（1）卫星的动能；（2）卫星的引力势能；（3）卫星的总能量

解：（1）万有引力提供向心力

m?mm?mv2 m ?GE2 mv2?GE3R3R(3R) Ek?m?m12mv?GE 26RmE?m 3R （2） Ep??G （3） E?Ek?Ep??GmE?m 6R2、一个小球系在细绳上，并使其在竖直平面内旋转，试证明小球在最低点时，细绳中张力与小球在最高点时细绳中张力之差为小球所受的重力的6倍。

解：首先，我们对小球在最高点和最低点处进行受力分析。得:

2v上 T上?mg?m ①

R2v下 T下?mg?m ②

R又有小球在从最高处运动到最低处这一段时间内机械能守恒。 ∴

1212 ③ mv上?mg2R?mv下22

②-①代入③得：

T下?T上?6mg

3、如图所示，劲度系数为k的轻弹簧水平放置，一端固定、另—端系一质量为m的物体，物体与水平面间的摩擦系数为μ，开始时，弹簧不伸长，现以拉力F将物体从平衡位置开始向右拉动，求弹簧的最大势能为多少？

解：(F??mg)x?12kx 210

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