空间向量知识点归纳（期末复习）(2)

(1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，

?????DP·n＝0，?－y＋2z＝0，由????即? ?23x＋3y＝0，?n＝0，?DA·

令y＝2，得n＝(－3，2,1)．

?????33

CM＝－3×＋2×0＋1×＝0， ∵n·

22

?????∴n⊥CM.又CM?平面PAD，

∴CM∥平面PAD.

(2)如图，取AP的中点E，连接BE，

????则E(3，2,1)，BE＝(－3，2,1)．

∵PB＝AB，∴BE⊥PA.

????????DA＝(－3，2,1)·又∵BE·(23，3,0)＝0，

????????∴BE⊥DA.∴BE⊥DA.

又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD. 又∵BE?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD.

9. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点． (1)求直线AD和直线B1C所成角的大小； (2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD.

解：不妨设正方体的棱长为2个单位长度，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

6

根据已知得：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)．

????????DA·CB1????????????????2????????＝. (1)∵DA＝(2,0,0)，CB1＝(2,0,2)，∴cos〈DA，CB1〉＝

|DA||CB1|2π

∴直线AD和直线B1C所成角为.

4

(2)证明：取B1D的中点F，得F(1,1,1)，连接EF. ∵E为AB的中点，∴E(2,1,0)， ????????∴EF＝(－1,0,1)，DC＝(0,2,0)， ????????????????DC＝0，EF·∴EF·CB1＝0， ∴EF⊥DC，EF⊥CB1.

∵DC∩CB1＝C，∴EF⊥平面B1CD.

又∵EF?平面EB1D，∴平面EB1D⊥平面B1CD.

10． 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.

(1)求证：AB⊥DE；

(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；

EF

(3)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，请说明EA理由．

解：(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO. 因为EB＝EA，所以EO⊥AB. 因为四边形ABCD为直角梯形． AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，

所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD. 因为EO∩DO＝O，

所以AB⊥平面EOD，所以AB⊥ED.

(2)因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB， 所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.

由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

7

因为三角形EAB为等腰直角三角形， 所以OA＝OB＝OD＝OE， 设OB＝1，

所以O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，

????D(0,1,0)，E(0,0,1)．所以EC＝(1,1，－1)，

????平面ABE的一个法向量为OD＝(0,1,0)．

设直线EC与平面ABE所成的角为θ，

????????????????OD||EC·3

?????＝， 所以sin θ＝|cos〈EC，OD〉|＝???|EC||OD|3即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为11.

3. 3

(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．

(1)求证：平面PDC⊥平面PAD； (2)求点B到平面PCD的距离． 21.

(1)证明 如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)， C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)． →→→

∴PD＝(4,0，－2)，CD＝(0，－2,0)，PA＝(0,0，－2)． 设平面PDC的一个法向量为n＝(x，y,1)，

则

??－2y＝0??

????1??4x－2＝0?x＝，

y＝02

?

1

，0，1?. 所以平面PCD的一个法向量为??2?∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，

又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.

→

∴平面PAD的法向量为AB＝(0,2,0)．

→→∵n·AB＝0，∴n⊥AB. ∴平面PDC⊥平面PAD.

8

n525?(2)解 由(1)知平面PCD的一个单位法向量为＝?，0，.

|n|?55?∴

525??45＝， ，0，55????5

45

∴点B到平面PCD的距离为.

5

12． 如图所示，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互

? ＝??4，0，0?·

相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.

(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值； (2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1； (3)在(2)的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值．

解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(2a，0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)．

??????????(1)∵AB1＝(－a，a，a)，DD1＝(0,0，a)，

???????????AB1·DD1???????????3

???????＝， ∴|cos〈AB1，DD1〉|＝?????|DD1|?3?|AB1|·

∴异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为

3

. 3

????????????(2)证明：∵BB1＝(－a，－a，a)，BC＝(－2a,0,0)，FB1＝(0，a，a)，

?????????BB1＝0，?FB1·∴???????? ?BC＝0，??FB1·

∴FB1⊥BB1，FB1⊥BC.

∵BB1∩BC＝B，∴FB1⊥平面BCC1B1. ????(3)由(2)知，FB1为平面BCC1B1的一个法向量．

9

设n＝(x1，y1，z1)为平面FCC1的法向量，

?????????∵CC1＝(0，－a，a)，FC＝(－a,2a,0)，

?n·CC1＝0，??－ay1＋az1＝0，∴????得? ??－ax＋2ay＝0.?11FC＝0，?n·

?????

令y1＝1，则n＝(2,1,1)， ????nFB1·????3

∴cos〈FB1，n〉＝????＝，

|FB1|·|n|3∵二面角F-CC1-B为锐角， ∴二面角F-CC1-B的余弦值为3

. 3

13． 如图， 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．

(1)证明：B1C1⊥CE;

(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值．

(3)设点M在线段C1E上， 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为AM的长．

解：法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．

?????????(1)证明：易得B1C1＝(1,0，－1)，CE＝(－1,1，－1)，于是

?????????CE＝0，所以B1C1⊥CE. B1C1·

?????(2) B1C＝(1，－2，－1)．

设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

??????m·B1C1＝0，??x－2y－z＝0，

?则????即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法??－x＋y－z＝0.?CE＝0，?m·

2

，求线段6

向量为m＝(－3，－2,1)．

?????由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故B1C1＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．

?????m·B1C1?????－427?????＝于是cos〈m，B1C1〉＝＝－，

714×2|m|·|B1C1|

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