2024年湖南省湘潭市中考真题数学试卷及答案(word版)(3)

26．（本题满分10分）

解：（1）A（6，0），B（0，6） ……………………1分 连结OC,由于∠AOB=90，C为AB的中点，则OC?所以点O在⊙C上（没有说明不扣分）．

过C点作CE⊥OA，垂足为E，则E为OA中点,故点C的横坐标为3． 又点C在直线y=－x+6上，故C（3，3） ……………………2分 抛物线过点O，所以c=0,

o

1AB， 2又抛物线过点A、C，所以

?3?9a?3b10?36a?6b，解得：a??,b?2

3

所以抛物线解析式为

1y??x2?2x

3o

…………………3分

（2）OA=OB=6代入OB2=OA·OD，得OD=6 ……………………4分 所以OD=OB=OA，∠DBA=90． ……………………5分 又点B在圆上，故DB为⊙C的切线 ……………………6分 （通过证相似三角形得出亦可）

（3）假设存在点P满足题意．因C为AB中点,O在圆上,故∠OCA=90,

要使以P、O、C、A为顶点的四边形为直角梯形，

则 ∠CAP=90或 ∠COP=90, ……………………7分 若∠CAP=90,则OC∥AP，因OC的方程为y=x,设AP方程为y=x+b． 又AP过点A（6，0），则b=－6, ……………………8分 方程y=x－6与

o

o

o

o

x2??3x1?612y??x?2x联立解得：y1?0，y2??9，

3?? 故点P1坐标为（－3，－9） ……………………9分 若∠COP=90,则OP∥AC，同理可求得点P2（9，－9） (用抛物线的对称性求出亦可)

故存在点P1坐标为（－3，－9）和P2（9，－9）满足题意．…………10分

o

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