251111
31° 39° 22 10 O 2 （第19题）
黄 绿 黄 绿 （第18题） 绿 绿 红 绿 黄 绿 y/m l1 l2 x/s A B C （第20题）
E 2014 第4页（共7页）
21．（本小题满分8分）
已知：如图，□ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E． （1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC，DE，当∠B?∠AEB? °时，
四边形ACED是正方形？请说明理由．
22．（本小题满分10分）
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价
应控制在什么范围内？（每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
A D O B C （第21题）
E 23．（本小题满分10分） 数学问题：计算
111?2?3?mmm?1（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）． mn探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方
形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算
111???22223?1． 2n1； 2第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为
11第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为?2；
22第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
2014 第5页（共7页）
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和
为
第1次分割
111???22223?11，最后空白部分的面积是． 2n2n第3次分割 第n次分割
第2次分割
1 21 221 21 221 21231 2 …
1 22123 … 1n111根据第n次分割图可得等式：?2?3?222探究二：计算?11?n＝1?n． 222 12n
111??33233?1． 3n2； 322?2； 33 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……； ……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和
为?
第1次分割
2322?3?233?21，最后空白部分的面积是． nn33第3次分割 第n次分割
第2次分割
2 32 32 3…
2332 32 322 32 2 32… 23n233 13n22221
根据第n次分割图可得等式：?2?3??n＝1?n，
33333
111111两边同除以2， 得?2?3??n＝?． n333322?3
111探究三：计算?2?3?4441?n． 4第n次分割
（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写
出探究过程）
2014 第6页（共7页）
解决问题：计算
111?2?3?mmm?1． mn（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空） 根据第n次分割图可得等式： ， 所以，
第n次分割
111?2?3?mmm?1＝ ． mn5?152?153?1拓广应用：计算 ?2?3?555
24．（本小题满分12分）
5n?1?n ． 5已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝12cm，BD＝16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t(s)（0＜t＜8）．解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？
（2）设四边形APFE的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE∶S菱形ABCD＝17∶40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E
两点间的距离；若不存在，请说明理由．
C （第24题）
A P B O Q E D
F
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