2024年湖南省常德市中考数学试卷及答案(3)

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（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果数为2， 所以抽取的两人恰好是甲和乙的概率= 24．

【解答】证明：（1）连接OD， ∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆， ∴∠OAC=30°，∠BCA=60°， ∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠BCA=60°，

∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°， ∴AE是⊙O的切线；

（2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°， ∵A、B、C、D四点共圆， ∴∠ADF=∠ABC=60°， ∵AD=DF，

∴△ADF是等边三角形， ∴AD=AF，∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD， 即∠BAF=∠CAF， 在△BAD和△CAF中， ∵

，

=．

∴△BAD≌△CAF， ∴BD=CF．

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七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分） 25．

【解答】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3， ∴B点坐标为（6，0），

设抛物线解析式为y=ax（x﹣6），

把A（8，4）代入得a?8?2=4，解得a=， ∴抛物线解析式为y=x（x﹣6），即y=x2﹣x； （2）设M（t，0），

易得直线OA的解析式为y=x， 设直线AB的解析式为y=kx+b， 把B（6，0），A（8，4）代入得∴直线AB的解析式为y=2x﹣12， ∵MN∥AB，

∴设直线MN的解析式为y=2x+n，

把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t， ∴直线MN的解析式为y=2x﹣2t，

，解得

，

解方程组得，则N（t，t），

∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM =?4?t﹣?t?t =﹣t2+2t

=﹣（t﹣3）2+3，

当t=3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）； （3）设Q（m，m2﹣m）， ∵∠OPQ=∠ACO， ∴当

=时，△PQO∽△COA，即=，

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