真题2024年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷(含解析)(3)

，则线段BC的长为 4 ．

【解答】解：设EF=x，

∵点E、点F分别是OA、OD的中点， ∴EF是△OAD的中位线， ∴AD=2x，AD∥EF， ∴∠CAD=∠CEF=45°，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=2x， ∴∠ACB=∠CAD=45°， ∵EM⊥BC， ∴∠EMC=90°，

∴△EMC是等腰直角三角形， ∴∠CEM=45°， 连接BE， ∵AB=OB，AE=OE ∴BE⊥AO ∴∠BEM=45°， ∴BM=EM=MC=x， ∴BM=FE，

易得△ENF≌△MNB， ∴EN=MN=x，BN=FN=

，

Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2， ∴x=2

，

或﹣2

（舍），

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∴BC=2x=4故答案为：4

． ．

三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分)

21．（7.00分）先化简，再求代数式（1﹣a=4cos30°+3tan45°．

【解答】解：当a=4cos30°+3tan45°时， 所以a=2原式===

22．（7.00分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；

（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2

的等腰三角形ABE，点E在

）÷的值，其中

+3 ?

小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．

【解答】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；

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（2）如图△ABE即为所求，CE=4．

23．（8.00分）为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中，你最喜爱哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图；

（3）若军宁中学共有960名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？

【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为24÷20%=120人；

（2）“书法”类人数为120﹣（24+40+16+8）=32人， 补全图形如下：

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（3）估计该中学最喜爱国画的学生有960×

=320人．

24．（8.00分）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE． （1）如图1，求证：AD=CD；

（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．

【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF， ∴∠ADE=∠CGF， ∵AC⊥BD、BF⊥CD，

∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF， ∴∠DAE=∠GCF， ∴AD=CD；

（2）设DE=a，

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则AE=2DE=2a，EG=DE=a， ∴S△ADE=AE?DE=?2a?a=a2， ∵BH是△ABE的中线， ∴AH=HE=a， ∵AD=CD、AC⊥BD， ∴CE=AE=2a，

则S△ADC=AC?DE=?（2a+2a）?a=2a2=2S△ADE； 在△ADE和△BGE中， ∵

，

∴△ADE≌△BGE（ASA）， ∴BE=AE=2a， ∴S△ABE=AE?BE=S△ACE=CE?BE=S△BHG=

HG?BE=

?（2a）?2a=2a2，

?（2a）?2a=2a2， ?（a+a）?2a=2a2，

综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．

25．（10.00分）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元． （1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；

（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？

【解答】解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得：

，

解得：

，

答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；

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（2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20a+12×（75﹣a）≤1180， 解得：x≤35，

答：最多可以购买35个A型放大镜．

26．（10.00分）已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在DE，点F在∠EDF．

（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；

（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；

（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为

，求线段BR的长．

上，连接BE、

上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分

【解答】（1）证明：如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ABC=90°， ∵∠F=∠A=90°， ∴∠F=∠ABC， ∵DA平分∠EDF， ∴∠ADE=∠ADF， ∵∠ABE=∠ADE， ∴∠ABE=∠ADF，

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∵∠CBE=∠ABC+∠ABE，∠DHG=∠F+∠ADF， ∴∠CBE=∠DHG；

（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M， ∵∠F=90°， ∴HF⊥FD， ∵DA平分∠EDF， ∴HM=FH， ∵FH=BP， ∴HN=BP， ∵KH∥BN， ∴∠DKH=∠DLN， ∴∠ELP=∠DLN， ∴∠DKH=∠ELP， ∵∠BED=∠A=90°， ∴∠BEP+∠LEP=90°， ∵EP⊥BN，

∴∠BPE=∠EPL=90°， ∴∠LEP+∠ELP=90°， ∴∠BEP=∠ELP=∠DKH， ∵HM⊥KD，

∴∠KMH=∠BPE=90°， ∴△BEP≌△HKM， ∴BE=HK；

（3）解：如图3，连接BD， ∵3HF=2DF，BP=FH， ∴设HF=2a，DF=3a， ∴BP=FH=2a，

由（2）得：HM=BP，∠HMD=90°， ∵∠F=∠A=90°，

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