江苏省邗江区实验学校2024届九年级第三次中考模拟考试数学试题(2)

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26．（本题满分10分） （1）问题背景

如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB＝AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证：2PA＝PB＋PC．

A

⌒

小明同学观察到图中自点A出发有三条线段

Q AB，AP，AC，且AB＝AC，这就为旋转作了铺垫．于

O 是，小明同学有如下思考过程： C B 第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°

至△QAB（如图①）；

P 第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原m 题得证. ①

请你根据小明同学的思考过程完成证明过程． （2）类比迁移

如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值． A A

C C

B O O B

② ③

（3）拓展延伸

4

如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB＝AC，AB⊥AC，

3垂足为A，则OC的最小值为 ．

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27．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图． （1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式； （2）⊙O的半径为

，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩

形”为正方形，求m的取值范围．

28．（本题满分12分）已知抛物线y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=﹣

x+b与抛物线的另一个交点为D．

（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；

（2）若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；

（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒

个单位的速度运动到点D

后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？

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九年级数学三模参考答案 2018.5[来源:Zxxk.Com]

一、选择题

题号 答案 二、填空题

9． 1.05×10 10． 4（a+2）(a-2) 11. x≤1且x≠﹣2 12. -2\\_-1等 13.

4

1 C 2 D 3 D 4 B 5 C 6 A 7 C 8 D 2 3

14. 1cm或7cm 15. 3.6 16. ﹣3＜x＜1 17. 三、解答题

19、（1）解：原式=2+2﹣1+1=4． （2）

解①得：x≤1， 解②得：x＞﹣2，

则不等式组的解集是：﹣2＜x≤1． 20、解：原式===当x=

，

﹣1时，原式=

．

?

?

，

5?1 18. 2

21、解：（1）设本次测试共调查了x名学生． 由题意x?20%=10， x=50．

∴本次测试共调查了50名学生．

（2）测试结果为B等级的学生数=50﹣10﹣16﹣6=18人． 条形统计图如图所示，

（3）∵本次测试等级为D所占的百分比为

=12%，

∴该中学八年级共有900名学生中测试结果为D等级的学生有900×12%=108人．

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22.（4+4=8分） （1）16种 (2)

1 4 点E的坐标 。

；

23.（本题满分4+6=10分）（1）k的值 （2）直线

的解析式为

24．（10分） 66.7 25（3+3+4=10分）

(1)w??2x?140x?2000

(2)30或40

(3)37≤X≤40,X=37时w最大=442

26、（1）证明：∵BC是直径 ∴∠BAC＝90° ∵AB=AC ∴∠ACB=∠ABC=45°

由旋转可得∠QBA＝∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB ∵∠PCA+∠PBA＝180° ∴∠QBA+∠PBA＝180° ∴Q，B，P三点共线

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°

2222

∴QP=AP+AQ=2AP

∴QP=2AP=QB+BP=PC+PB ∴2AP=PC+PB

（2）解：连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ ∵AB⊥AC∴∠BAC＝90°

由旋转可得 QB=OC，AQ=OA，∠QAB＝∠OAC∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90° ∴在Rt△OAQ中，OQ=32，AO=3 ∴在△OQB中，BQ≥OQ－OB=32－3 即OC最小值是32－3 3（3）

2

27、解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）

由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1， ∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；

②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线， 又∵点A，C的“相关矩形”为正方形 ∴直线AC与x轴的夹角为45°， 设直线AC的解析为：y=x+m或y=﹣x+n 把（1，0）分别y=x+m，

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2∴m=﹣1，∴直线AC的解析为：y=x﹣1， 把（1，0）代入y=﹣x+n， ∴n=1，∴y=﹣x+1,

综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1； （2）设直线MN的解析式为y=kx+b， ∵点M，N的“相关矩形”为正方形，

∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°， ∴k=±1， ∵点N在⊙O上，

∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形， 当k=1时，

作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，

其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B， 连接OA，OC，

把M（m，3）代入y=x+b， ∴b=3﹣m，

∴直线MN的解析式为：y=x+3﹣m ∵∠ADO=45°，∠OAD=90°， ∴OD=

OA=2，

∴D（0，2）

同理可得：B（0，﹣2）， ∴令x=0代入y=x+3﹣m， ∴y=3﹣m， ∴﹣2≤3﹣m≤2， ∴1≤m≤5，

当k=﹣1时，把M（m，3）代入y=﹣x+b， ∴b=3+m，

∴直线MN的解析式为：y=﹣x+3+m，

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同理可得：﹣2≤3+m≤2， ∴﹣5≤m≤﹣1；

综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1 28、解：（1）∵y=a（x+3）（x﹣1），

∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0）， ∵直线y=﹣∴b=﹣3∴y=﹣

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