高考专题 等差数列、等比数列(押题专练)高考理数二轮复习精品资(2)

????11

∵＝＝＝为常数，且a2－a1＝1， 11122an＋1－2anan＋1－2anan＋1－2an

?1?1

∴数列?an＋1－2an?是以1为首项，2为公比的等比数列．

?

?

an（an＋1）*

17．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N)． 2(1)求证：数列{an}是等差数列； 1

(2)设bn＝S，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.

n

an（an＋1）*

(1)证明： Sn＝(n∈N)，① 2an－1（an－1＋1）Sn－1＝(n≥2)．② 2

2

a2n＋an－an－1－an－1

①－②得：an＝(n≥2)， 2

整理得：(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋an－1)(n≥2)． ∵数列{an}的各项均为正数， ∴an＋an－1≠0， ∴an－an－1＝1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝1，

∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列． n2＋n(2)解：由(1)得Sn＝2，

1?22?1

∴bn＝2＝＝2n－n＋1，

n＋nn（n＋1）??

??1??11??11?∴Tn＝21－2＋2－3＋3－4＋…＋ ???????

?1－1??＝2?1－1?＝2n. ?nn＋1???n＋1?n＋1

18．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.

19．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(an，an＋1)在双曲线y2－x2＝1上．在数列1

{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．

2

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{bn}是等比数列； (3)若cn＝anbn，求证：cn＋1

解：(1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1. ∴数列{an}是一个以2为首项，公差为1的等差数列． ∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.

2?1?n－12

(3)证明：由(2)可知bn＝·＝n.

3?3?32

∴cn＝an·bn＝(n＋1)·n. 3

22

∴cn＋1－cn＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n 33＝＝33

n＋1[(n＋2)－3(n＋1)]

22

n＋1(－2n－1)<0.

∴cn＋1

20．在等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，a1，a5的等比中项为16. (1)求数列{an}的通项公式；

111

(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得＋＋＋…＋

S1S2S3

1

解：(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16， 因为a3－a2＝8，则a2＝8， 所以q＝2，a1＝4， 所以an＝2n1.

＋

故存在k＝3时，对任意的n∈N*都有 1111＋＋＋…＋<3. S1S2S3Sn

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