2024高考总复习步步高资料学案 (39)(2)

4.设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是( )

①若l1?α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线； ②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；

③若l1?α，l2?β，l1∥β，l2∥α，则α∥β； ④若α⊥β，l1?α，则l1⊥β. A.0 B．1 C．2 D．3

5.若直线a，b为异面直线，则分别经过直线a，b的平面中，相互平行的有( ) A.1对 B．2对 C.无数对 D．1或2对 二、填空题(每小题4分，共12分) 6.(2011·秦皇岛月考)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．

,

7.(2011·大连模拟)过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的有______条．

8.

如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，

a

B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，

3

Q在CD上，则PQ＝________.

三、解答题(共38分) 9．(12分)

如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点． 求证：MN∥平面AA1C1C.

10．(12分)(2010·湖南改编)

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． 在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

11．(14分)

(2011·济宁模拟)如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE，且点F在CE上．

(1)求证：AE⊥BE；

(2)求三棱锥D—AEC的体积；

(3)设点M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.

学案43 空间的平行关系

自主梳理

1．平行 相交 在平面内 平行 相交 2.(1)公共点 (2)a∥α (3)a∥β 3.a∥l 4.平行 相交 5.(1)公共点

(3)α∥β 6.a∥β a∥b 7.(1)a∥b (2)α∥β 自我检测

1．D 2.D 3.A 4.C 5．面ABC和面ABD 课堂活动区

例1 解题导引 证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．

证明

如图所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN. ∵矩形ABCD和矩形ABEF全等且有公共边AB，∴AE＝BD. 又∵AP＝DQ，∴PE＝QB， 又∵PM∥AB∥QN， PMEPQNBQPMQN∴＝，＝，∴＝. ABEADCBDABDC

∴PM綊QN，∴四边形PQNM为平行四边形， ∴PQ∥MN

又MN?平面BCE，PQ?平面BCE， ∴PQ∥平面BCE.

变式迁移1 证明 取PD中点F，连接AF、NF、NM. ∵M、N分别为AB、PC的中点，

11

∴NF綊CD，AM綊CD，∴AM綊NF.

22

∴四边形AMNF为平行四边形，∴MN∥AF. 又AF?平面PAD，MN?平面PAD， ∴MN∥平面PAD.

例2 解题导引 面面平行的常用判断方法有：

(1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

证明 方法一

如图所示，连接B1D1、B1C.

∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点， ∴PN∥B1D1. 又B1D1∥BD， ∴PN∥BD.

又PN?面A1BD， ∴PN∥平面A1BD.

同理MN∥平面A1BD.又PN∩MN＝N， ∴平面MNP∥平面A1BD. 方法二

如图所示，连接AC1、AC.

∵ABCD—A1B1C1D1为正方体， ∴AC⊥BD.

又CC1⊥面ABCD， BD?面ABCD，

∴CC1⊥BD，∴BD⊥面ACC1， 又∵AC1?面ACC1，∴AC1⊥BD. 同理可证AC1⊥A1B， ∴AC1⊥平面A1BD.

同理可证AC1⊥平面PMN， ∴平面PMN∥平面A1BD. 变式迁移2

(1)证明 如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1∶PD＝2∶3，

PG2∶PE＝2∶3，∴G1G2∥DE.

又G1G2不在平面ABC内，DE在平面ABC内， ∴G1G2∥平面ABC. 同理G2G3∥平面ABC. 又因为G1G2∩G2G3＝G2， ∴平面G1G2G3∥平面ABC.

PG1PG222

(2)解 由(1)知＝＝，∴G1G2＝DE.

PDPE3311

又DE＝AC，∴G1G2＝AC.

23

11

同理G2G3＝AB，G1G3＝BC.

33

∴△G1G2G3∽△CAB，其相似比为1∶3， ∴S△G1G2G3∶S△ABC＝1∶9.

例3 解题导引 近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明．

(1)证明 连接AC，过点C作CE⊥AB，垂足为E. 在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AD＝DC， ∴四边形ADCE为正方形． ∴∠ACD＝∠ACE＝45°.

1

∵AE＝CD＝AB，∴BE＝AE＝CE.∴∠BCE＝45°.

2

∴∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝45°＋45°＝90°. ∴AC⊥BC.

又∵BC⊥PC，AC?平面PAC，PC?平面PAC，AC∩PC＝C， ∴BC⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴PA⊥BC. (2)解 当M为PB的中点时，CM∥平面PAD.

取AP的中点F，连接CM，FM，DF.

1

则FM綊AB.

2

1

∵CD∥AB，CD＝AB，

2

∴FM綊CD.

∴四边形CDFM为平行四边形．∴CM∥DF. ∵DF?平面PAD，CM?平面PAD， ∴CM∥平面PAD.

变式迁移3 解 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA. ∵P、O为DD1、DB的中点， ∴D1B∥PO.

又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO， ∴平面D1BQ∥平面PAO. 课后练习区

1．A [①、②、③错，④对．]

2．D [注意命题之间的相互推出关系；易知选项D中，若两直线平行，则其与m所成的角相等，反之却不一定成立，故a、b与m所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件．]

3．D [A不正确，由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件b?α；B不正确，由两个平面平行的判定定理的条件，因a、b未必相交，而可能为两条平行直线，则α、β未必平行；C不正确，因有可能b?β；D正确，由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义知正确．]

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