2024年数学中考专题复习(锐角三角形函数(含答案)

2013年数学中考分类复习（ 锐角三角形函数）

一、选择题 1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树 的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m

C 30°

A B D E

（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）

3533（53?）m ?）m B．

32253C． m D．4m

3【答案】A 2．（2010山东日照）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90o，AC=6，D是AC上一点，若

A．（tan∠DBA=

1，则AD的长为 5

（A） 2 （B）3 （C）2 （D）1 【答案】A

3．（2010四川凉山）已知在△ABC中，?C?90，设sinB?n，当?B是最小的内角时，

?n的取值范围是

A．0?n?231 B．0?n? C．0?n? 232D．0?n?【答案】A

3 2 - 1 -

4．（2010四川眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为

CABA．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】C 5．（2010 浙江省温州）如图，已知一商场自动扶梯的长z为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于(▲)

【答案】A

6．（2010 浙江台州市）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N．则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）(▲)

NDMAaC（第9题） B

234 A．a B．a C．a D． a

225【答案】C

7．（2010 黄冈）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ A．

4，则tanB＝ （ ） 54334 B． C． D． 3455【答案】B

8．（2010年贵州毕节）在正方形网格中，则cos?B的值为（ ） △ABC的位置如图所示，

A．

1 2B．2 2C．3 2D．3 3 - 2 -

【答案】B.

9．（2010湖北荆门）计算2sin45°的结果等于（ ）

A．2

B．1 C．

2 2 D．

1 2【答案】B 10．（2010湖南常德）在Rt△ABC中,∠C=90°,若AC=2BC,则sin A的值是( )

51 B．2 C．

52【答案】C

A．

11．（2010湖南怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=

D．5 24，则cosB的值等于（ ） 5A．

5343 B. C. D.

5554【答案】B

12．（2010湖北随州）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ A．

4，则tanB＝ （ ） 54334 B． C． D． 3455??【答案】B

13．（2010黑龙江哈尔滨）在Rt?ABC中,?C?90,?B?35,AB?7，则BC的长为

（ ） （A）7sin35 （C）7cos35

??（B）

7 ?cos35?（D）．7tan35

【答案】C

14．（2010 福建三明）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD=CD cos?DCA?BC=10，则AB的值是（ ）

A．9 B．8 C．6 D．3

4，5

【答案】D 15．（2010 山东东营）如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝?，那么AB等于（ ）

(A) m·sin?米 (B) m·tan?米

- 3 -

(C) m·cos?米 (D)

A m

C m米 tan?? B

(第8题图)

【答案】B 16．（2010 湖北孝感）如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tan?A的值是 （ ）

A．

6 5210 3B．

5 6310 10

C．D．

【答案】A

17．（2010 天津）sin30?的值等于 1 2【答案】A

（A）（B）2 2（C）3 2（D）1

18．（2010 内蒙古包头）已知在Rt△ABC中，?C?90°，sinA?A．

4 3 B．

4 5 C．

5 43，则a（ ） tnB的值为53 D．

4【答案】A

19．（2010 广西钦州市）如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O点20 m的

点A处，测得楼顶B点的仰角∠OAB＝65°，则这幢大楼的高度为 （结果保留3个有效数字）． （A）42.8 m A65oO第16题

（B）42.80 m （C）42.9 m （D）42.90 m

B【答案】C 20．（2010新疆维吾尔自治区新疆建设兵团） 如图（1）是一张Rt△ABC纸片，如果用两张

- 4 -

相同的这种纸片恰好能拼成一个三角形，如图（2），那么在Rt△ABC中，sin∠B的值是（ ） A.

313 B. C. 1 D.

222

【答案】B

21．（2010年山西）在Rt?ABC中,?C?90，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则

∠A的正弦值 （ ）

A．扩大2倍 C．扩大4倍

B．缩小2倍 D．不变

?

【答案】D

22．（2010广东茂名）已知∠A是锐角，sinA=

A．4 B．3 C．【答案】A

23．（2010广东肇庆）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9．sin∠B=

3，则5cosA= 515 D．5 43,则AB=（ ） 5A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】A．

24．（2010黑龙江绥化）直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，AD=DC=22，

则BC的长为（ ） A.3 【答案】C

25. （2010四川攀枝花）如图４，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=点E，满足AE:CE=2:3则tan∠ADE的值是（ ） A．

B.42

C. 32

D.23 3,AC上有一43847 B． C． Ｄ． 5959 - 5 -

A E B D 图4 【答案】B 二、填空题

C 1．（2010江苏南通）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N 两点关

于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN= ▲ ． A D

·M

B N

· C

（第17题）

【答案】

4 32．（2010四川凉山）如第14题图，?1的正切值等于 。

【答案】

3．（2010四川眉山）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，

AD=4，AB=33，则下底BC的长为 __________．

A30°BD60°C

【答案】10

- 6 -

4．（2010浙江宁波） 如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是 ▲ 米(精确到0.1米) .

ABC

【答案】11.2 5．（2010浙江绍兴）水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部

包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度?（?指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则?的余弦值为 .

第16题图

【答案】

1 2?

6．（2010 浙江义乌）课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为24米，则旗杆AB的高度约是 ▲ 米．（结果保留3个有效数字，3≈1.732）

【答案】13.9 7．（2010 福建晋江）如图，?BAC位于6?6的方格纸中，则tan?BAC＝ . B

A C

第13题图

【答案】

B 30° A C 32

- 7 -

8．（2010江苏宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AM是BC边上的中线，

sin?CAM?3，则tan?B的值为 ▲ ． 5

【答案】

2 329．（2010 四川南充）如果方程x?4x?3?0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】

21或

4310．（2010江西）计算：sin30o·cos30o－tan30o＝ （结果保留根号）

【答案】?3 1211．（2010江苏常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanB= ，sinA= 。 【答案】

12．（2010山东潍坊）直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，

点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使得B点与D点重合，则∠BCE的正切值为 ．

【答案】

1． 24，则513．（2010广东中山）如图，已知RtΔABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=AC= ．

- 8 -

【答案】5

14．（2010湖南怀化）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=【答案】30

15．（2010湖北荆州）如图，在△ABC中，∠B=45°，cos∠C=面积用含ａ的式子表示是 ．

?1，则∠A= ． 23，AC=5a，则△ABC的5

【答案】14a

16．（2010湖北省咸宁）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的

距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直 线上，则sin?? ．

A B

2l1

l

A D 2l3 C l4

α（第14题）

【答案】

5 517．（2010云南红河哈尼族彝族自治州） 计算：12+2sin60°= 33 【答案】33

18．（2010广东东莞）如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝＝ ．

45，则AC

- 9 -

A

Ｂ

Ｄ Ｃ

【答案】5 19．（2010湖北襄樊）在△ABC中，AB=8，∠ABC=30°，AC=5，则BC=__________．

【答案】43+3或43－3

20．（2010 广东汕头）如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝则AC＝_________．

A 4， 5B

C D

第11题图

【答案】5

21．（2010四川 泸州）如图3，PA与⊙O相切点A，PC经过⊙O的圆相交于两点B、C，若PA=4，PB=2，则sinP= ．

3【答案】

522．（2010 天津）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上

的点，AD?BE，AE与CD交于点F，AG?CD于点G， 则

AG的值为 ． AFC F A E G D 第（17）题

B

【答案】

3 2- 10 -

23．（2010 内蒙古包头）如图，已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图（1）中的△ACB绕点C顺时

针方向旋转到图（2）的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为 cm（保留根号）． A A E E G B

D B D C (F) C (F)

图（1） 图（2） 【答案】 19

53 224．（2010 广西玉林、防城港）有四个命题：①若45?＜?＜90?，则sin?＞cos?；②已知两边及其中一连接对角能作出唯一一个三角形；③已知x1、x2中关于x的方程2x＋px＋P＋1＝0的两根，则x1＋x2＋x1x2的值是负数；④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂两个），则经过2小时它由1个分裂为16个。其中正确命题的序号是 （注：把所有正确命题的序号都填上）。 【答案】①④ 25．（2010 山东荷泽）如图，在正方形ABCD中，O是CD边上一点，以O为圆心，OD为

半径的半圆恰好与以B为圆心，BC为半径的扇形的弧外切，则∠OBC的正弦值为 ． A D O

2B

17题图

C

【答案】

3 526．（2010 湖北咸宁）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的

距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直 线上，则sin?? ．

A B l1

l

A D 2l3 C l4

α（第14题）

- 11 -

5 527．（2010吉林）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是

2

_________cm。

【答案】

【答案】

3 3 ，cos210°=﹣ ，所以cos210°=cos（180°+30°）22

28．（2010广东湛江）因为cos30°=＝﹣cos30°＝﹣

3 2 2

，因为cos45°= ，cos225°＝﹣ ，所以cos225°＝cos2222

，猜想：一般地，当α为锐角时，有cos（180°+α）＝﹣cosα，由2

（180°+45°）＝﹣此可知cos240°的值等于 . 1【答案】：﹣

2三、解答题

1．（2010辽宁丹东市）计算：2(2cos45??sin60?)?

【答案】解：

原式?2(2?2?3)?26

22424． 4?2? ?2

66? 222．（2010甘肃兰州）（本题满分10分）已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10， BD=8．

（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积 ；

（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60，求四边形ABCD的面积；

（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=?

AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含?，a，b的代数式表示）．

- 12 -

?

第【答案】解：（1）∵AC⊥BD

∴四边形ABCD的面积=40

（2）过点A分别作AE⊥BD，垂足为E

∵四边形ABCD为平行四边形

11AC?5BO?DO?BD?422

AEsin?AOE?AO 在Rt⊿AOE中，

AO?CO? ∴

AE?AO?sin?AOE?AO?sin60o?5?353?22 ????4分

113OD?AE??4??5?53222 ∴ ????????????5分

S?4S?AOD?203??????????????6分

∴四边形ABCD的面积

S?AOD? (3）如图所示过点A,C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E,F ????7分

AEAO 在Rt⊿AOE中，

∴AE?AO?sin?AOE?AO?sin?

sin?AOE?

同理可得

????????????8分

∴四边形ABCD的面积

CF?CO?sin?COF?CO?sin?

11BD?AE?BD?CF22S?S?ABD?S?CBD??1BDsin?(AO?CO)21?BD?ACsin?21?absin? 2

3．（2010 重庆）已知：如图，在Rt△ABC中，?C?90?，AC?3．点D为BC边上一

点，且BD?2AD，?ADC?60?．求△ABC周长．（结果保留根号）

ABDC20题图

【答案】

- 13 -

解：在Rt?ADC中，

AC3AC，∴AD???2．

sin?ADCsin60?AD∴BD?2AD?4

∵sin?ADC? ∵tan?ADC?AC3AC，∴DC???1．

tan?ADCtan60?DC∴BC?BD?DC?5．

在Rt?ABC中，AB?AC2?BC2?27．

∴?ABC的周长?AB?BC?AC?27?5?3 4．（2010年上海）如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交

于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P. （1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长； （2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值； （3）若tan?BPD?

图9 图10(备用) 图11(备

用)

1，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式. 3

ADDECPB图2HADEPB图3HAEB图1CCP

【答案】解：（1）如图1，∵∠ACB=90°, ∠B=30°,∴∠BAC=60°,∵AD=AE=1∴ΔADE为等边三角形，∴∠ADE=∠AED=60°,∴∠BDE=∠AEP=120°,∠CEP=60°,∴∠EPC=30°=∠B,

∴ΔBDP为等腰三角形，∵ΔAPE与ΔBPD相似，∴ΔAPE为等腰三角形，AE=EP=1, 11∴CE=EP=．

22（2）设BC=BD=x，∠ACB=90°,∴(x?1)2?x2?32，∴x=4 ，BC=BD=4， 过D作DH⊥BC交BC于H,如图2，∴DH∥AC,∴

BDDH4DH12,∴?,∴DH?, ?BAAC535 - 14 -

同理可得CH?CPCEPC24?,∵DH∥AC,∴,,∴CP=4, ∵∠ECP=90°,∴?DHPH12CP?45551tan?BPD=．

2（3）如图3，当tan?BPD?时，设CE=x，∴CP=3x,由（2）∴设BD=m，∴DH?13CEPCBDDH， ??DHPHBAACm(x?1)3m(x?1)3m?3x，PH?，CH?，BC?3m?3x， m?1m?1m?1∴(m?1)2?(3m?3x)2?(x?1)2，∴m1?x(舍),m2?5x?1，∴y=m＋1＋x＋1＋3m－3x=3x＋3． 45．（2010 四川巴中）已知如图8所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝8，∠B

＝60°，连接AC．

（1）求cos∠ACB的值

（2）若E、F分别是AB、DC的中点，连接EF，求线段EF的长。

ADBC

【答案】（1）∵∠B＝60°，∴∠BCD=60°，又∵AB＝AD＝DC，∴∠DAC=∠DCA，∵AD

∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠DCA=∠BCA，∴∠ACB=30°，cos∠ACB=cos30°=

3。 2（2）AB＝AD＝DC＝8，∠ACB=30°，∴BC+2AB=16，∵E、F分别是AB、DC的中点， ∴EF=

11(AD?BC)?(8?16)=12。 226．（2010黑龙江哈尔滨） 已知：在△ABC中AB＝AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，∠BAE＝∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE＝∠DBM．

（1）如图1，当∠ABC＝45°时，求证：AE＝2MD；

（2）如图2，当∠ABC＝60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。

（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP＝BM，连接CP，若AB＝7，AE＝27，

求tan∠ACP的值．

- 15 -

（1）证明：如图1 连接AD

∵AB=AC BD=CD ∴AD⊥BC 又∵∠ABC=45°?BD?AB?cos?ABC即AB?2BD

??BAE??BDM∠ABE=∠DBM ∴△ABE∽△DBM

?AEDM?ABDB?2?AE?2MD （2）AE=2MD

（3）解：如图2 连接AD、EP ∵AB=AC

∠ABC=60°D ∴△ABC为等边三角形 又∵D为BC中点 ∴AD⊥BC ∠DAC=30

BD=DC=

12AB ∵∠BAE=∠BDM ∠ABE=∠DBM ∴△ABE∽△DBM ?BEBM?ABDB?2 ∠AEB=∠DMB ∴EB=EBM 又∵BM=MP ∴EB=BP 又∵∠EBM=∠ABC=60° ∴△BEP为等边三角形

∴EM⊥BP ∴∠BMD=90° ∴∠AEB=90°

在Rt?AEB中,AE?27AB?7?BE?AB2?AE2?21?tan?EAB?32∵D为BC中点 M为PB中点 ∴DM//PC ∴∠MDB=∠PCB ∴∠EAB=∠PCB

?tan?PCB?32 - 16 -

【答案】

732 77在Rt?NDC中ND?DC?tan?NCD?3?NA?AD?ND?344在Rt?ABD中AD?AB?sin?ABD?过N作NH⊥AC，垂足为H 在Rt?ANH中NH?17AH?328AH?AN?cos?NAH?21 8?CH?AC?AH?353?tan?ACP?. 857．（2010年山西）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E

是⊙O一点，且∠AED=45

（1）试判断CD与⊙的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为3cm，AE=5cm，求∠ADE的正弦值。

【答案】解：（1）CD与⊙O相切。 ????1分 理由是：连接OD，

则∠AOE=2∠AED=2×45°=90° ????2分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB//DC， ∴∠CDO=∠AOD=90°，????3分

∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切 ????4分 （2）连接BE，则∠ADE=∠ABE。 ????6分

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，AB=2×3=6(cm). ????7分

在Rt?ABE中,sin?ABE?AE5?, AB65?sin?ADE?sin?ABE?. ????8分

68．（2010湖北宜昌）如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，?B?90°。以边AC上的点O为圆心、OA为半径的⊙O与EC相切，D为切点，AD//BC。 （1）用尺规确定并标出圆心O；（不写做法和证明，保留作图痕迹） （2）求证：?E??ACB

[来源:Zxxk.Com]（3）若AD=1，tan?DAC?2，求BC的长。（8分） 2 - 17 -

CDEAB

【答案】（1）（提示：O即为AD中垂线与AC的交点或过D点作EC的垂线与AC的交点等）.

能见作图痕迹，作图基本准确即可,漏标O可不扣分 ········ 2分 （2）证明:连结OD．∵AD∥BC ， ∠B=90°，∴∠EAD=90°．

∴∠E+∠EDA=90°，即∠E=90°－∠EDA． 又圆O与EC相切于D点，∴OD⊥EC． ∴∠EDA+∠ODA=90°，即∠ODA=90°－∠EDA．

[来源:Z_xx_k.Com]

∴∠E=∠ODA ························· 3分 （说明：任得出一个角相等都评1分）

又OD=OA，∴∠DAC=∠ODA，∴∠DAC=∠E． ··········· 4分 ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠E=∠ACB． ··········· 5分 （3）Rt△DEA中，tan∠E=

2DA，又tan∠E=tan∠DAC= ，

2EA∵AD=1∴EA=2． ······················ 6分 Rt△ABC中，tan∠ACB=

AB， BC又∠DAC=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠DAC． ∴

2AB=，∴可设AB?2x,BC?2x． 2BC∵AD∥BC，∴Rt△EAD∽Rt△EBC． · 7分

21EAAD，即． ??EBBC2?2x2x∴x?1，∴BC?2x?2. 8分

∴

9．（2010年福建省泉州）如图，在梯形ABCD中，?A??B?90?，AB?52，点E在

AB上， ?AED?45?，DE?6,CE?7.

求：AE的长及sin?BCE的值．

- 18 -

【答案】解：（1）如图，在Rt?DAE中，?A?90?,?AED?45?,DE?6

∵cos?AED?AE????????????????（2分） DE

??????????????（4分） ??????????????（5分）

∴AE?DE?cos?AED??????????????（3分）

=6?cos45? =32

（2）∵BE?AB?AE

??????????????????（6分）

∴BE?52?32?22 ?????????????????（7分） 在Rt?BCE中，EC?7,sin?BCE?BE CE???????（8分）

=

22 ??????????????????（9分）710．（2010内蒙呼和浩特）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，与BC相交于点D，且AB＝43，求AD的长．

A C

【答案】解：在Rt△ABC中 ∵ ∠B＝30° ∴ AC＝

D

B

11AB＝×43＝23 22∵ AD平分∠BAC

∴ 在Rt△ACD中，∠CAD＝30° ∴ AD＝

23AC＝＝4 cos30?32- 19 -

11．（2010内蒙赤峰）关于三角函数有如下的公式：

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如

根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面实际问题：

如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α为60°，底端C点的俯角β为75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42米，求建筑物CD的高。

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【答案】解:过点D作DE⊥于E,依题意,在Rt△ADE中,∠ADE=∠α=60, AE=ED·tan60=BC·tan60=423. 在Rt△ACB中,∠ACB=∠β=75.AB=BC·tan75

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tan45.?tan30.3?3∵tan75=tan(45+30)===2+31?tan45?tan303?3∴AB=42×(2+3)=84+423

CD=BE=AB－AE=84+423－423=84(米) 答:建筑物CD的高为84米.

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