听课正文-第四单元-平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四单元 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第24讲 平面向量的概念及其线性运算

课前双击巩固

1.向量的有关概念及表示

名称 向量 定义 在平面中,既有 又有 的量 向量a的 ,也就是表示向量 的 (或称向量的模 a的有向线段????模) 零向量 长度为 的向量 用 表示 用e表示,|e|= 表示 ,???? ,…表示 用a,b,c,…或???? 或 单位向量 长度等于 个单位的向量 平行向量 方向 或相反的非零向量(或称共线向量) a∥b a=b 向量a的相反向量是 相等向量 相等且方向 的向量 相反向量 相等,方向 的向量 说明:零向量的方向是 、 . 规定:零向量与任一向量 . 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 的运算 法则 (1)加法交换律:a+b= ; (2)加法结合律:(a+b)+c= 法则 减去一个向量相当于加上减法 这个向量的 a-b= 法则 (1)|λa|= . (2)当λ>0时,λa与a的方(1)对向量加法的分配律: 实数λ与向量a的积是一个 ,这种运算叫作λ(a+b)= ; 向 ;当λ<0时,λa与a的数乘 向量的 , (2)对实数加法的分配记作 律: 方向 ;当λ=0(λ1+λ2)a= 时,λa= 3.向量的共线定理

向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的实数λ,使 . 常用结论

1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 的向量,即??1??2+??2??3+??3??4+…+????-1????=??1????.特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.

=1(???? + 2.若P为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则????????).

2

+???? =0?P为△ABC的重心. +????3.若A,B,C是平面内不共线的三点,则????

4.在△ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G(如图4-24-1所示),易知G为△ABC的重心,则有如下结论: + +???? =0; (1) ???????? =1(???? +???? ); (2) ????

3

=1( +???? ),???? =1(???? +???? ). (3)????????26

图4-24-1

=λ (λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1. 5.若????????+μ????

题组一 常识题

- -???? +???? = . +???? + +????1.[教材改编]????????????

;(2)???? 与 =????2.[教材改编] 如图4-24-2,D,E,F分别是△ABC各边的中点,给出下列结论:(1)???? 是相反向量;(4) =1|???? |.其中错误结论的序号是 . 共线;(3) 与????????????????2

图4-24-2

=a,???? =b,则 3.[教材改编]M是△ABC的边BC的中点,????????= .

4.[教材改编] 向量e1与e2不共线,若a=e1-e2与b=-2e1+λe2共线,则λ= . 题组二 常错题

◆索引:向量概念不清致误;向量相等的隐含条件挖掘不全致误.

+???? =2 ;②已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的5.给出下列结论:①????????方向相同;③设a0为单位向量,则平面内向量a=|a|·a0.其中正确结论的序号是 .

1

且|???? |=| |,则四边形ABCD的形状是 . 6.若四边形ABCD满足 ????=2????????

7.已知向量a,b,若|a|=2,|b|=4,则|a-b|的取值范围为 .

课堂考点探究

探究点一 平面向量的基本概念

1(1)设a,b都是非零向量,下列条件中一定能使|??|+|??|=0成立的是 ( ) A.a=2b B.a∥b (2)给出下列说法:

C.a=--3b D.a⊥b

1

??

??

①若|a|=|b|,则a=b; ②若a∥b,b∥c,则a∥c;

③a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;

与???? 共线,则A,B,C三点在同一条直线上. ④若????

其中错误说法的序号是 .

[总结反思] 对于平面向量的有关概念应注意以下几点:

(1)平行向量就是共线向量,二者是等价的,它们均与起点无关;非零向量的平行具有传递性;相

等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量;相等向量具有传递性.

(2)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负数,可以比较大小. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.

(4)非零向量a与|??|的关系:|??|是与a同方向的单位向量. 式题(1)如图4-24-3,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是

( ) ??

??

A. ????=???? = B.????????

=???? C.???? =???? D.????

图4-24-3

=???? 是四边形ABCD为平行四边形 (2)给出下列说法:①若A,B,C,D是不共线的四个点,则 ???? 与???? 相等;④若a=b,b=c,则a=c.其中正的充要条件;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量????确说法的序号是 ( ) A.①④ B.③④ C.②③ D.①②

探究点二 平面向量的线性运算考向1 平面向量加减法的几何意义

=???? +2???? ,则△AOB与△2(1)[2017·南昌重点学校模拟] 已知O为△ABC内一点,满足4????

AOC的面积之比为

A.1∶1 C.1∶3

B.1∶2 D.2∶1

( )

+???? |=|???? -???? |,则△ABC的形状为 . (2)已知△ABC,若|????

[总结反思] 利用向量加减法的几何意义解决问题通常有两种方法:

(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形,再结合其他知识求解相关问题;

(2)平面几何中如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形的问题,可考虑利用向量知识来求解.

考向2 平面向量的线性运算

3(1)[2017·西宁一模] 如图4-24-4所示,

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