高考专题训练(六) 三角函数的图象与性质

高考专题训练(六) 三角函数的图象与性质

A级——基础巩固组

一、选择题

1．(2014·全国大纲卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝( ) 4A.5 3C．－5

3B.5 4D．－5 －44

解析 cosα＝22＝－5.X Kb1.C om ?－4?＋3答案 D

2．(2014·四川卷)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点( )

1A．向左平行移动2个单位长度 1B．向右平行移动2个单位长度 C．向左平行移动1个单位长度 D．向右平行移动1个单位长度

1??解析 ∵y＝sin(2x＋1)＝sin2?x＋2?，∴只需把y＝sin2x图象上所有的

??1

点向左平移2个单位长度即得到y＝sin(2x＋1)的图象．

答案 A

π

3．(2014·北京东城一模)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )

3πA.4 πC.4

πB.2 πD．－4 解析 y＝sin(2x＋φ)错误!sin错误!＝sin错误!是偶函数，即错误!＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)?φ＝kπ＋π4(k∈Z)，当k＝0时，φ＝π4，故选C.

答案 C

4．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?

??

A>0，ω>0，|φ|<π?2??的部分图象如图所示，若x，x???

－ππ?

12∈6，3??

，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )

A．1 B.12 C.22 D.32

解析 观察图象可知，A＝1，T＝π， ∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．

将??π??π??－6，0??代入上式得sin??－3＋φ??

＝0， 由|φ|<ππ2，得φ＝3， 则f(x)＝sin?

?π??

2x＋3??

.

ππ－6＋3

π

函数图象的对称轴为x＝2＝12.

?ππ?

又x1，x2∈?－6，3?，

??

x1＋x2π

且f(x1)＝f(x2)，∴2＝12， π

∴x1＋x2＝6，

ππ??3

∴f(x1＋x2)＝sin?2×6＋3?＝2.故选D. ??答案 D

π5．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<2)的最小正周期是π，若其图象向右π

平移6个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( ) ?π?A．关于点?12，0?对称 ???π?C．关于点?6，0?对称 ??π

B．关于直线x＝12对称 π

D．关于直线x＝6对称

2π解析 ∵T＝ω＝π，∴ω＝2. π∴f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移6个单位， π???得y＝sin2x－3＋φ?为奇函数， ??π

∴－3＋φ＝kπ(k∈Z)， π

∴φ＝3＋kπ(k∈Z)， π??π

∴φ＝3，∴f(x)＝sin?2x＋3?.

?

?

ππ???∵sin2×12＋3?＝1， ??

x kb 1π

∴直线x＝12为函数图象的对称轴．故选B. 答案 B

π???6．已知函数f(x)＝cos2x＋3?－cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：??①函数f(x)是最小正周期为π的奇函数；②函数f(x)图象的一条对称轴是直?5π?2π

?线x＝3；③函数f(x)图象的一个对称中心为12，0?；④函数f(x)的递增区??π2π

间为kπ＋6，kπ＋3，k∈Z.则正确结论的个数是( ) A．1 C．3

B．2 D．4 π??ππ

解析 由已知得，f(x)＝cos?2x＋3?－cos2x＝cos2xcos3－sin2xsin3－

??π???2π??4ππ?2π

cos2x＝－sin?2x＋6?，不是奇函数，故①错；当x＝3时，f?3?＝－sin?3＋6????

?

?

?

?5π?5ππ＝1，故②正确；当x＝12时，f?12?＝－sinπ＝0，故③正确；令2kπ＋2≤2x

??π3π2

＋6≤2kπ＋2π，k∈Z，得kπ＋6≤x≤kπ＋3π，k∈Z，故④正确．综上，正确的结论个数为3. 答案 C 二、填空题

?π?1?π????7．若sin3＋α＝3，则sin6＋2α?＝________. ????

?π??ππ??2π??2?π???????解析 sin6＋2α＝－cos2＋6＋2α＝－cos3＋2α＝2sin3＋α?－1????????

7

＝－9.

7

答案 －9 8．(2014·江苏卷)已知函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的π

图象有一个横坐标为3的交点，则φ的值是________．

解析 利用函数y＝cosx与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的图象交点横坐标，列方程求解．

π??π

由题意，得sin?2×3＋φ?＝cos3，

??

x k b 1 . c o mπ

因为0≤φ<π，所以φ＝6.π答案 6 http://www. xkb1.c om

9．(2014·北京卷)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若

?ππ??π??2π??π?

f(x)在区间?6，2?上具有单调性，且f?2?＝f?3?＝－f?6?，则f(x)的最小正周期

????????

为________． ?ππ??π??π?

解析 由f(x)在区间?6，2?上具有单调性，且f?2?＝－f?6?知，f(x)有对

???????π??π??2?1?π2?7

称中心?3，0?，由f?2?＝f?3π?知f(x)有对称轴x＝2?2＋3π?＝12π，记T为最小

????????

1ππ27πT

正周期，则2T≥2－6?T≥3π，从而12π－3＝4，故T＝π.

答案 π 三、解答题

新课标第一网

ππ

10．(2014·重庆卷)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－2≤φ<2)的图π

象关于直线x＝3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求ω和φ的值；

2π?3π??α??3?π

(2)若f?2?＝4?6<α<3?，求cos?α＋2?的值．

??????解 (1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π， 2π所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝T＝2. π

又因f(x)的图象关于直线x＝3对称， ππ所以2·＋φ＝kπ＋1，±2，…. 32，k＝0，±πππ2ππ因－2≤φ<2得k＝0，所以φ＝2－3＝－6. ?α??απ?3????2·－(2)由(1)得f2＝3sin26＝4， ????

π?1???＝. α－所以sin6??4π2πππ

由6<α<3得0<α－6<2， π??所以cos?α－6?＝ ????π?1－sin?α－6?＝

??2??1?215

1－?4?＝4. ??

π?π?3π????因此cos?α＋2?＝sinα＝sin??α－6?＋6?

????

π?ππ?π??＝sin?α－6?cos6＋cos?α－6?sin6 ????3＋1513151＝4×2＋4×2＝. 811．(2014·山东菏泽一模)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋23sin2ωx－3(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数f(x)的单调增区间；

π

(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的

最小值．

解 (1)由题意得f(x)＝2sinωxcosωx＋23sin2ωx－3＝sin2ωx－3π??

??， 2ωx－cos2ωx＝2sin3??

由最小正周期为π，得ω＝1， π??

?所以f(x)＝2sin2x－3?， ??

πππ

由2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，k∈Z， π5π

整理得kπ－12≤x≤kπ＋12，k∈Z， 所以函数f(x)的单调增区间是 π5π??

?kπ－，kπ＋?，k∈Z.

1212??

π

(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin2x＋1的图象， 所以g(x)＝2sin2x＋1. 7π11π

令g(x)＝0，得x＝kπ＋12或x＝kπ＋12(k∈Z)，

所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，11π59π

则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π＋12＝12. B级——能力提高组

π???1．设函数f(x)＝3cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)|φ|<2?，且其图象关于直线x??＝0对称，则( )

π??

?A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在0，2?上为增函数 ??

π???B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在0，2?上为减函数 ??π??π

?C．y＝f(x)的最小正周期为2，且在0，4?上为增函数 ??π??π

?D．y＝f(x)的最小正周期为2，且在0，4?上为减函数 ??解析 f(x)＝3cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ) π??

＝2sin?2x＋3＋φ?，

?

?

∵其图象关于x＝0对称，∴f(x)是偶函数． ππ

∴3＋φ＝2＋kπ，k∈Z. ππ

又∵|φ|<2，∴φ＝6.

ππ??

∴f(x)＝2sin?2x＋3＋6?＝2cos2x. 新-课-标-第-一-网

??

π??

易知f(x)的最小正周期为π，在?0，2?上为减函数．

??答案 B

?ππ?

2．(2014·全国大纲卷)若函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间?6，2?是减函数，

??

则实数a的取值范围是________．

?1?

解析 f(x)＝1－2sinx＋asinx＝－2sinx＋asinx＋1，sinx∈?2，1?，令t

??

2

2

?1??1?a12

＝sinx∈?2，1?，则y＝－2t＋at＋1在?2，1?是减函数，∴对称轴t＝4≤2，????

∴a≤2.

答案 (－∞，2]

3．(2014·湖北卷)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：

ππ

f(t)＝10－3cos12t－sin12t，t∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；

(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？

?3π??ππ1π?

???t＋解 (1)因为f(t)＝10－2cos12t＋2sin12t＝10－2sin123?，2????

xkb1.comw!w!w.!x!k!b!1.com

πππ7π

又0≤t<24，所以3≤12t＋3<3，新-课-标-第-一-网 π??π?t＋－1≤sin123?≤1. ??

π??π

当t＝2时，sin?12t＋3?＝1；

?

?

π??π

当t＝14时，sin?12t＋3?＝－1.

?

?

于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温． π??π?由(1)得f(t)＝10－2sin12t＋3?， ??π??π?故有10－2sin12t＋3?>11， ??π??π1??t＋即sin123<－2. ??7πππ11π又0≤t<24，因此6<12t＋3<6，即10

在10时至18时实验室需要降温．

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