2024高考数学压轴卷辽宁省瓦房店市高级中学2024届高三上学期12月

高三模拟考试数学（理）参考答案

一、选择题：

1-5 BACCB 6-10 ACDCB 11-12 BD 二、填空题： 13、

728? 14、22017?2 15、125 16、 63三、解答题：

17.解：（1）f?x??cos?2x???π?132?2cosx?cos2x?sin2x?1?cos2x ?3?22?33π??sin2x?cos2x?1?3sin?2x???1，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 223??2π?π.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 2∴函数f?x?的最小正周期为T?（2）g?x??2f?x?????π?π?π??6?2?23sin2x??????6 ??4?4?3???π???23sin?2x???6，

6??由g?x??0得， sin?2x???π?2，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 ???6?2当x???∴2x?π?5ππ??ππ?,?时， 2x????,?，

6?63??34?π3πππ??或2x???， 64647ππ即x??或x??.

24247ππ?ππ?∴函数g?x?在??,?上的零点是?和?.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

2424?34?18.解:（1）证明：取

的中点，连接

，

因为分别是的中点，所以且，

因为又

平面

，所以平面

且，所以

，所以平面

,

.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分

（2）以为坐标原点，不妨设

，

所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

,

设平面的一个法向量为，则，

令，得，

同理可求平面的一个法向量为，

平面和平面为同一个平面， 的余弦值为

.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

所以二面角

19. 解（1）由题意可知， ???a5?a7?22?2a1?10d?22，则 ?，

??a2a5?a1a14??a1?d??a1?4d??a1?a1?11d?解得??a1?1，?an?2n?1┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分

?d?2（2）?Sn?n2，

当n?1,115?2?1?┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分S113

当n?2时，?114441??1?2?2?2?=2???， Snn4n4n?1?2n?1??2n?1??2n?12n?1????11??11?1111???1?????1?2??????????????? S1S2Sn?2n?12n?1????35??57?225??，得证┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 32n?13?1?x220．解（1）?c?2，a?3，?b?1，?椭圆方程为?y2?1，

3准圆方程为x2?y2?4． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 （2）（ⅰ）因为准圆x2?y2?4与y轴正半轴的交点为P?0，2?， 设过点P?0，2?且与椭圆相切的直线为y?kx?2，

y?kx?2，所以由{x23?y2?1，22得1?3kx?12kx?9?0.

??因为直线y?kx?2与椭圆相切，

22所以??144k?4?91?3k?0，解得k??1， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分

??

所以l1，y??x?2． l2方程为y?x?2，?kl1?kl2??1， ?l1?l2． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分

（ⅱ）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在， 则l1： x??3，

当l1： x?3时，与准圆交于点

?3，1，3，?1，

???此时l2为y?1（或y??1），显然直线l1，l2垂直；

同理可证当l1： x??3时，直线l1，l2垂直┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分

22②当l1，l2斜率存在时，设点P?x0,y0?，其中x0?y0?4.

设经过点P?x0，y0?与椭圆相切的直线为y?t?x?x0??y0，

y?t?x?x0??y0，所以由{ x22?y?1，32得1?3t??x2?6t?y0?tx0?x?3?y0?tx0??3?0.

，

2由??0化简整理得

2222t2?2x0y0t?x0?3?0. 因为x0?y0?4，所以有3?x0????设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆相切，

22t2?2x0y0t?x0?3?0， 所以t1，t2满足上述方程3?x0????所以t1?t2??1，即l1，l2垂直． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分

综合①②知：因为l1，N，且l1，l2经过点P?x0，l2垂直. y0?，又分别交其准圆于点M，所以线段MN为准圆x2?y2?4的直径， MN＝4，

所以线段MN的长为定值． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 21.解：（1）?对?x?0， f?x??0恒成立

? k?xex，对?x?0恒成立

令g?x??xe，则g'?x???x?1?e，

xx易知： g?x?在???,?1?上递减，在??1,0?上递增.

11??? g?x?min?g??1???， ? k的取值范围是???,??┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分

ee??（2）f?x?有两个零点，等价于y?k与y?g?x??xe有两个不同的交点，

x由 （1）知， k???,0?. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 （3）证明：由（2）知：不妨设x1??1?x2?0， 则x1ex1?k?0， x2ex2?k?0，即g?x1??g?x2??k 令h?x???x?2?e?x?2?1?e???xex， x???1,0?

h'?x???x?1?ex?e?x?2?0，即h?x?为增函数

??? h?x??h??1??0，即xex???x?2?e?x?2

因为x2???1,0?，故g?x2??g??x2?2? 由g?x1??g?x2?，得g?x1??g??x2?2? 由（1）知g?x?在???,?1?上递减，

故x1??x2?2，即： x1?x2??2┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分

22. 解：（1）把x??cos?，y??sin?代入y?xtan?得tan??tan?， 所以l极坐标方程是???(??R,π???π)． 2C1的普通方程是x2?y2?2ax?0，其极坐标方程是??2acos?．┅┅┅┅┅5分

（2）C1：??cos?，C2：??2sin?，???分别代入C1，C2得|OM|??cos?，

|ON|?2sin?．

22所以2|OM|?|OM||ON|?2cos??2cos?sin??π2sin(?2?)?1．

4π7π2???π，当??时，所以2|OM|?|OM||ON|取最大值2?1??10分 28bb23.解：（1）法一：f(x)?|x?a|?|2x?b|=|x?a|?|x?|?|x?|，

22因为

∵|x?a|?|x?bbbb|?|(x?a)?(x?)|?a?且|x?|?0， 2222∴f(x)?a?bbb，当x?时取等号，即f(x)的最小值为a?， 222∴a?b?1，2a?b?2. 2b， 2法二：∵?a????3x?a?b,x??a?b?∴f(x)?|x?a|?|2x?b|=??x?a?b,?a?x?，

2?b?3x?a?b,x???2

高三模拟考试数学(理科)

时间：120分钟 满分：150分

一、选择题（共12小题，每题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）

4?x1?0}， B?{x|?2x?4}，则A?B=（ ） 1．已知集合A?{x?Z|x?24A. {x|?1?x?2} B. ??1,0,1,2? C. ??2,?1,0,1,2? D. ?0,1,2?

2．已知i为虚数单位， z为复数z的共轭复数，若z?2z?9?i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

????1?2sincos，那么是（ ）

22222A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

4．下图的程序框图表示求算式\?3?5?9?17\之值，则判断框内可以填( )

3.若?为第二象限角，且cos??sin?

A. k?10 B．k?16 C．k?17 D．k?34 5．在?ABC中，

sinA2sinC?3cosA，是角A，B，C，成等差数列的（ ） ?cosA3sinA?2cosCA. 充要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件 D. 既不充分也必要条件 6．锐角三角形中， a,b,c分别是内角A,B,C的对边，设B?2A，则是（ ）

?32?A. ??3,2?? B.

??a的取值范围b?2,2 C.

??（0，2）2,3 D.

?7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是 （ ）

A.

?8???33 B. ?8?2??63 C.

?8???63 D. ?4???33 8．在?ABC中，点O是BC的三等分点（靠近点B），过点O的直线分别交直线AB，

?????????????????11AC于不同两点M，N，B?mAM， AC?nAN， m,n均为正数，则?的若Amn最小值为（ ） A. 2 B. 1?9．设?an?为等差数列，若

22322 C. 1? D. 1?333

a11??1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得a10最小正值时的n值为（ ）

A. 18 B. 19 C. 20 D. 21

10．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A. 720 B. 768 C. 810 D. 816

x2y211．已知双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)的右顶点为A，抛物线C:y2?8ax的焦点

ab为F，若在E的渐近线上存在点P使得PA?FP，则E的离心率的取值范围是（ ）

?32??32?1,,??A. ?1,2? B. ? C. D. 2,?????????4???4?12．设f?x?是定义在???,0???0,??的奇函数，其导函数为f??x?，且当x??0,?????时， f??x?sinx?f?x?cosx?0，则关于x的不等式f?x??2f??sinx的解集为

?6?( )

????????????A.??,0???0,? B. ???,????0,?

6??6??6??6??????????????C. ???,????,?? D. ??,0???,??

6??6???6??6?二、填空题（共4小题，每题只有一个正确答案，每小题5分，共20分） 13．已知曲线y?x， y?2?x，与x轴所围成的图形的面积为S，则

S?__________．

14．已知an?logn?1?n?2??n?N*?，观察下列算式：

a1?a2?log23?log34?lg3lg4??2；lg2lg3lg3lg4lg8?????3；? lg2lg3lg7

a1?a2???a6?log23?log34???log78?若a1?a2?a3???am?2017，则m的值为_____________________．

15.若（1?x)(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a8x8，则a1?a2???a7的值______．

CA?PC?2，则该三棱锥16.三棱锥P?ABC中， PC?平面ABC，且AB?BC?的外接球的表面积是_________________．

三、解答题（共6小题，17—21题12分，选做题10分共70分）

?????????217．设向量a??cos?2x??,2?,b?1,cosx，其中x?R，且函数f?x??a?b.

3??????（1）求f?x?的最小正周期；

???????（2）设函数g?x??2f?x???6?2，求f?x?在??,?上的零点.

4???34?18．如图，五面体P?ABCD中，CD?平面PAD,ABCD为直角梯形，

?1?BCD?，PD?BC?CD?AD,AP?PD.

22（1）若E为AP的中点，求证：BE//平面PCD； （2）求二面角P?AB?C的余弦值.

19.已知在公差不为零的等差数列?an?中， a5和a7的等差中项为11，且

a2a5?a1a1，其前n项和为Sn． 4（1）求?an?的通项公式an；

（2）求证：

1115?????． S1S2Sn3x2y22220．给定椭圆C:2?2?1(a?b?0)，称圆心在原点O，半径为a?b的圆是椭圆C的

ab“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F?2，0，其短轴上的一个端点到F的距离为3. ?

（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；

（2）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1,l2交“准圆”于点M,N. ①当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1,l2的方程并证明l1?l2； ②求证：线段MN的长为定值.

k21．已知函数f?x??ex?， k?R.

x(1)如果对任意x?0， f?x??0恒成立，求k的取值范围； (2)若函数f?x?有两个零点，求k的取值范围； (3)若函数f?x?的两个零点为x1,x2，证明： x1?x2??2.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4-4：坐标系与参数方程

π在平面直角坐标系xOy中，直线l的普通方程是y?xtan?(???π)，曲线C1的参

2?x?a?acos?数方程是?（?为参数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的

?y?asin?极坐标系中，曲线C2的极坐标方程是??2bsin?．

（1）写出l及C1的极坐标方程； （2）已知a?1，b?1，l与C1交于O,M两点，l与C2交于O,N两点， 2求2|OM|2?|OM||ON|的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲

已知a?0,b?0，函数f(x)?|x?a|?|2x?b|的最小值为1. （1）求证：2a?b?2；

（2）若a?2b?tab恒成立，求实数t的最大值.

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