【南方凤凰台】(江苏专用)2024版高考数学大一轮复习 第九章 立体

第50课 线面平行与面面平行

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1.(必修2P41练习2改编)若直线a∥b，且b?平面α，则直线a与平面α的位置关系为 . 【答案】a∥平面α或a?平面α

2.(必修2P45习题9改编)已知α，β，γ是三个不重合的平面，α∥β，β∥γ，那么α与γ的位置关系为 . 【答案】平行

3.(必修2P41练习1改编)已知两个命题：

p： 平行于同一条直线的两个平面平行； q： 垂直于同一条直线的两个平面平行.

则真命题为 ，假命题为 . 【答案】q p

4.(必修2P32练习3改编)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1与平面ABC的位置关系是 ；AA1与平面BCC1B1的位置关系是 ；AC与平面ACC1A1的位置关系是 .

(第4题)

【答案】平行 相交 线在面内

【解析】直线与平面的位置关系有三种：平行、相交、线在面内.

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1.一条直线和一个平面的位置关系 位置关系 公共点 符号表示 图形表示 2.直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.

3.两个平面的位置关系

位置关系 公共点 符号表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面相交 有一条公共直线 α∩β=a 直线a在平面α内 有无数个公共点 直线a与平面α相交 有且只有一个公共点 直线a与平面α平行 没有公共点 a?α a∩α=A a∥α 图形表示

4.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.

【要点导学】

要点导学 各个击破

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线面基本位置关系的真假判断 例1 (2014·常州模拟)给出下列命题：

①若线段AB在平面α内，则直线AB上的点都在平面α内； ②若直线a在平面α外，则直线a与平面α没有公共点；

③两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； ④设a，b，c是三条不同的直线，若a⊥b，a⊥c，则b∥c. 其中为假命题的是 .(填序号)

【思维引导】判断命题的真假与否的前提是正确理解各个定理，关键在于灵活转化各种线面关系，还要熟悉各种关于线面的常见关系.解决问题时不要先“想当然”，而要多些“逆反思维”.

【答案】②③④

【解析】易知①正确；对于②，直线a可能与平面α相交，此时它们有公共点；对于③，两个平面平行的必要条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面；对于④，b与c还可能相交或异面.

【精要点评】判断此类命题真假的常见方法有：(1)根据一些已有定理直接进行判定或证明；(2)利用常见模型进行判断；(3)举反例判断.

变式 (2015·镇江期末改编)设α，β为互不重合的平面，m，n是互不相同的直线，给出下列四个命题：

①若m∥n，n?α，则m∥α；

②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β； ③若α∥β，m?α，n?β，则m∥n； ④若m?α，m∥β，α∩β=n，则n∥m. 其中正确的命题为 .(填序号) 【答案】④

【解析】对于①，直线m可能在平面α内，故①错误；对于②，没有m与n相交的条件，故②错误；对于③，m与n还可能异面，故③错误.

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线面平行的判定与证明

例2 如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E，F分别为棱AB，PC的中点，求证：

EF∥平面PAD.

(例2)

【思维引导】证明线面平行可以取PD的中点M，构造平行四边形AEFM；也可以构造三角形，找到中位线，再找平行关系；还可以先证明面面平行，再证线面平行.

【解答】方法一：如图(1)，取PD的中点M，连接FM，AM， 因为点F为PC的中点，所以FM∥CD，

1且FM=2CD.

因为四边形ABCD为平行四边形，E为AB的中点，

1所以EA∥CD，且EA=2CD，

所以FM∥EA，且FM=EA， 所以四边形AEFM为平行四边形， 所以EF∥AM.

又AM?平面PAD，EF?平面PAD， 所以EF∥平面PAD.

图(1) 图(2)

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(例2)

方法二：如图(2)，连接CE并延长交DA的延长线于点N，连接PN. 因为四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC， 所以∠BCE=∠ANE，∠CBE=∠NAE. 又AE=EB，所以△CEB≌△NEA. 所以CE=NE.

又点F为PC的中点，所以EF∥NP. 又NP?平面PAD，EF?平面PAD， 所以EF∥平面PAD.

【精要点评】(1)线面平行?线线平行.(2)找平行关系时，常借助三角形的中位线与边的平行关系，或借助平行四边形边的平行关系.有时还可以借助两平面平行的关系来证明线面平行.(3)证明线面平行时务必要说清三点：两线平行；一线在面外；一线在面内.

变式1 (2015·南京、盐城一模改编)如图(1)，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O，E分别

为B1D，AB的中点.求证：OE∥平面BCC1B1.

(变式1(1))

【解答】如图(2)，连接BC1，B1C， 设BC1∩B1C=F，连接OF.

因为O，F分别是B1D和B1C的中点，

(变式1(2))

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1所以OF∥DC，且OF=2DC.

又因为E为AB的中点，

1所以EB∥DC，且EB=2DC，

从而OF∥EB，且OF=EB， 即四边形OEBF是平行四边形， 所以OE∥BF.

又因为OE?平面BCC1B1，BF?平面BCC1B1， 所以OE∥平面BCC1B1.

变式2 (2015·宿迁一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形.若平面PBC与

平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.

(变式2)

【解答】因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.

因为AD?平面PAD，BC?平面PAD， 所以BC∥平面PAD.

又因为BC?平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l， 所以BC∥l.

面面平行的判定与证明

例3 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平面BDC1∥平面AB1D1.

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(例3)

【思维引导】要证明面面平行可以寻找线线平行和线面平行，即由判定定理，在一个平面内找两条相交线平行于另一个平面.

【解答】在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AD1∥BC1，AD1?平面BDC1，BC1?平面BDC1， 所以AD1∥平面BDC1. 同理可证，B1D1∥平面BDC1.

又因为AD1∩B1D1=D1，AD1，B1D1都在平面AB1D1内， 所以平面AB1D1∥平面BDC1.

【精要点评】(1)把面面平行问题转化为线面平行问题，利用面面平行的判定定理来证明面面平行.(2)在立体几何中，常常通过线线、线面、面面间位置关系的转化，使问题得到解决.熟练掌握这种转化的思想方法，往往能找到解决问题的突破口.(3)证明面面平行的方法：①面面平行的定义；②面面平行的判定定理；③a⊥α，a⊥β β∥γ

变式 如图(1)，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点.求证：平面EB1D1∥平面FBD.

?α

∥β；④α∥γ，

?α

∥β.

(变式(1))

【解答】如图(2)，取B1B的中点G，连接EG，C1G. 因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，

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(变式(2))

所以四边形EGC1D1是平行四边形， 所以C1G∥ED1.

又四边形GBFC1也是平行四边形， 所以C1G∥BF，所以ED1∥BF， 又ED1?平面FBD， BF?平面FBD， 所以ED1∥平面FBD.

又B1D1∥BD，且B1D1?平面BDE，BD?平面BDE， 所以B1D1∥平面FBD. 又因为ED1∩B1D1=D1， 所以平面EB1D1∥平面FBD.

直线与平面平行的探索问题

例4 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥平面BCC1B1.设E是B1C1上的一

B1EEC1的值为多少时，A1E∥平面ADC1?请给出证明.

点，当

(例4)

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【思维引导】对于求某个特殊位置上的点这类问题，一种办法是先猜想出定点的位置，然后证明；另一种办法是可先假定存在这个点，然后再根据点的特点找到这个点所满足的条件.

B1EEC1=1，即E为B1C1的中点时，

【解答】当

A1E∥平面ADC1.证明如下： 由AD⊥平面BCC1B1，得AD⊥BC. 在正三角形ABC中，D是BC的中点. 在正三棱柱ABC-A1B1C1中， 四边形BCC1B1是矩形， 且D，E分别是BC，B1C1的中点， 所以B1B∥DE，B1B=DE. 又B1B∥AA1，且B1B=AA1， 所以DE∥AA1，且DE=AA1. 所以四边形ADEA1为平行四边形， 所以EA1∥AD.

又EA1?平面ADC1，AD?平面ADC1， 所以A1E∥平面ADC1.

【精要点评】“探索”在于由未知到已知，由变化到确定.找平行关系时多借助中点、中位线、平行四边形等图形或关系的平行性质.题目的本质仍是线与面的平行关系.

变式 如图(1)，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC=2FB=2.问：当点M在什么位置时，BM∥平面AEF?

(变式(1))

【解答】如图(2)，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M. 因为侧棱A1A⊥底面ABC，AA1?平面A1ACC1，

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所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.

(变式(2))

又平面ABC∩平面ACC1A1=AC，OM⊥AC，所以OM⊥底面ABC. 又因为EC=2FB=2，

所以OMFB

12EC，

所以四边形OMBF为矩形， 故BM∥OF. 又BM?平面AEF， OF?平面AEF， 所以BM∥平面AEF， 此时点M为AC的中点.

1.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系可能是 . 【答案】平行或异面

【解析】因为AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面.

2.(2015·安徽卷改编)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是 .(填序号)

①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行； ②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；

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③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线； ④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面. 【答案】④

【解析】①中平面α与β还可能相交；②中直线m与n可以平行、相交或异面；③中在α内可以存在与β平行的直线.只有④正确.

3.(2015·南通、扬州、淮安、连云港二调改编)如图，在四面体ABCD中， M，N，Q分别为棱AD，BD，AC的中点.求证：CD∥平面MNQ.

(第3题)

【解答】在△ADC中，因为M，Q分别为棱AD，AC的中点，所以MQ∥CD. 又CD?平面MNQ，MQ?平面MNQ， 所以CD∥平面MNQ.

4.如图(1)，已知正方形ABCD和梯形BDEF所在平面相交于直线BD，且BD=2EF，求证：DE∥平面ACF.

(第4题(1))

【解答】如图(2)， 设AC∩BD=O，连接FO. 因为四边形ABCD是正方形，

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(第4题(2))

所以O是BD的中点. 因为BD=2EF，所以DO

EF，

所以四边形DOFE是平行四边形， 所以DE∥OF.

又因为DE?平面ACF， OF?平面AFC， 所以DE∥平面ACF.

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第99~100页.

【检测与评估】

第50课 线面平行与面面平行

一、 填空题

1.如果直线l在平面α外，那么直线l与平面α的交点个数是 .

2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离为 .

3.在长方体的所有面中，互相平行的面共有 对.

4.过两条异面直线中的一条可以作 个平面与另一条直线平行.

5.若直线l上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是 .

6.给出下列四个命题：

①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行；

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②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③平行于同一条直线的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 其中为真命题是 .(填序号)

7.下列命题中正确的是 .(填序号) ①若直线a不在α内，则a∥α；

②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

③若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点； ④平行于同一平面的两直线可以相交.

8.如图，若Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHC1B1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于点B1的点，F为线段BB1上异于点B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是 .(填序号)

(第8题)

① EH∥FG； ②四边形EFGH是矩形； ③Ω是棱柱；

二、 解答题

9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为线段A1A，C1B的中点，求证：EF∥平面ABC.

④Ω是棱台.

(第9题)

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10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：平面EFG∥平面BDD1B1.

(第10题)

11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为棱AA1，CC1的中点，AC⊥BE，点F在线段AB上，且AB=4AF.若M为线段BE上一点，试确定点M在线段BE上的位置，使得C1D∥平面B1FM.

(第11题)

三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)

12.(2015·苏北四市期末)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC.若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：l∥平面PBC.

(第12题)

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【检测与评估答案】

第50课 线面平行与面面平行

1. 0或1 【解析】直线l在平面α外，有两种情况，一种情况为l∥α，此时没有交点；另一种情况是l∩α=A，此时有且只有一个交点. 2. a 3. 3

4. 1 【解析】结合线面平行的判定定理可得.

5.平行或l?α 【解析】由于直线l上有三个相异点到平面α的距离相等，所以直线l与平面α可以平行或者l?α. 6. ④

7.③④ 【解析】当a∩α=A时，a?α，故①错误；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错误；l∥α，l与α无公共点，所以l与α内任意一条直线都无公共点，故③正确；长方体中A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，故④正确.

8.④ 【解析】因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1.又EH?平面BCC1B1.所以EH∥平面

BCC1B1，又EH?平面EFGH，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以

①③正确，④错误；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF?平面

ABB1A1，故EH⊥EF，所以②也正确.

9.如图，取BC的中点G，连接AG，FG. 因为F为C1B的中点，

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1所以FG∥C1C且FG=2C1C. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A所以FGC1C，且E为A1A的中点，

EA，

所以四边形AEFG是平行四边形， 所以EF∥AG. 因为EF?平面ABC，AG?平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (第9题)

10.如图，连接SB，SD. 因为F，G分别是DC，SC的中点， 所以FG∥SD. 又因为SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1. 同理可证EG∥平面BDD1B1. 又因为EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG=G， 所以平面EFG∥平面BDD1B1. (第10题)

11.连接AE，在BE上取点M，使BE=4ME，连接FM，B1M，FB1.在△BEA中，因为BE=4ME，AB=4AF，所以MF∥AE.又在平面AA1C1C中，易证C1D∥AE，所以C1D∥FM. 因为C1D?平面B1FM，FM?平面B1FM，所以C1D∥平面B1FM. 16

12.在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D. 因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，PD?平面PBC， 所以PD⊥平面ABC. 又因为l⊥平面ABC，所以l∥PD. 又因为l?平面PBC，PD?平面PBC， 所以l∥平面PBC.

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