2024年工程数学形成性考核册答案

工程数学作业（一）答案（满分100分）

第2章 矩阵

（一）单项选择题（每小题2分，共20分）

a1 ⒈设b1a2b2a3a1b3?2，则2a1?3b1a22a2?3b2a32a3?3b3?（D ）．

c1c2c3c1c2c3 A. 4 B. －4 C. 6 D. －6

0001 ⒉若

00a00200?1，则a?（A ）． 100a A. 112 B. －1 C. ?2 D. 1

⒊乘积矩阵?1?1????103?中元素c?24????521??23?（C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8

⒋设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B）． A. A?B?1?A?1?B?1 B. (AB)?1?BA?1

C. (A?B)?1?A?1?B?1 D. (AB)?1?A?1B?1

⒌设A,B均为n阶方阵，k?0且k?1，则下列等式正确的是（D A. A?B?A?B B. AB?nAB C. kA?kA D. ?kA?(?k)nA ⒍下列结论正确的是（ A）．

A. 若A是正交矩阵，则A?1也是正交矩阵

B. 若A,B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵 C. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵 D. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB?0

⒎矩阵?13???25?的伴随矩阵为（ C）．

? A. ?1?3????13???25?? B. ??2?5?? C. ?5?3????21?? D. ??53???2?1?? ⒏方阵A可逆的充分必要条件是（B ）．

A.A?0 B.A?0 C. A*?0 D. A*?0

⒐设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则(ACB?)?1?（D ）．

A. (B?)?1A?1C?1 B. B?C?1A?1 C. A?1C?1(B?1)? D. (B?1)?C?1A?1

1

）． ⒑设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）． A. (A?B)2?A2?2AB?B2 B. (A?B)B?BA?B2 C. (2ABC)?1?2C?1B?1A?1 D. (2ABC)??2C?B?A? （二）填空题（每小题2分，共20分）

2?10 ⒈1?40? 7 ．

00?1?1 ⒉1111?1x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 2 ． 1?15 ⒊若A为3?4矩阵，B为2?5矩阵，切乘积AC?B?有意义，则C为 5×4 矩阵．

?11??15?

? ⒋二阶矩阵A??． ????01??01??12???120??06?3?(A?B)? ⒌设A??40?,B??，则???5?18? ??????3?14????34??⒍设A,B均为3阶矩阵，且A?B??3，则?2AB? 72 ．

?12 ⒎设A,B均为3阶矩阵，且A??1,B??3，则?3(A?B)? －3 ．

?1a?为正交矩阵，则a? 0 ． ??01??2?12??? ⒐矩阵402的秩为 2 ． ????0?33?? ⒏若A???A1 ⒑设A1,A2是两个可逆矩阵，则??O（三）解答题（每小题8分，共48分）

O?A2???1?A1?1???OO?． ?1?A2??12???11??54? ⒈设A???,B??43?,C??3?1?，求⑴A?B；⑵A?C；⑶2A?3C；

?35??????⑷A?5B；⑸AB；⑹(AB)?C．

?03??6答案：A?B?? A?C???0?18???2622??7 A?5B??AB???23?120??

6??1716? 2A?3C????4??37?7??5621?? (AB)C??15180?

12??????114???121??103??，求AC?BC．

⒉设A??,B?,C??3?21??????0?12??21?1???002??

2

??114??024?????6?410? 解：AC?BC?(A?B)C??3?21?????2210??201??0??02????310??102? ⒊已知A???121?,B???111?，求满足方程3A?2X?B中的X．

???????342???211??解：?3A?2X?B

3??4?1??2?83?2???11?5?2????11? ? X?(3A?B)???25222????7115???7115???222?? ⒋写出4阶行列式

1?10302432?51106 30中元素a41,a42的代数余子式，并求其值．

020120答案：a41?(?1)4?1436?0 a42?(?1)4?2?136?45

2?530?53 ⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

2??12?? ⑴ 21?2； ⑵ ????2?21??解：（1）

?1?A|I????2?2????1?????0??0??1?r231?r39?1?2??1??1234?312??； ⑶

11?1??0?2?6?2?3?621?6?2?3?2109209129010?1?1??1??1011100110?0??． 0??1?0?301?2?3?6?292231?2?0?0??1???21?221?20101?23223129?010?10??2r?r2??2r1??r30???1????0?01???010231?32?9??0???2r3?r1?1?2r3?r20???????0??1??0?9???010?2r2?r10??13??2r2?r30????????0?01????22?99?12???99?21??99???A?1?1?9?2???9?2?9?29192?92?9?2? ??9?1?9?? 3

（2）A?100?22?6?2617??1??175???1120?130?1?(过程略) (3) A??????1?0?1102?1?????1?53?0?1?4?00?0?? 0??1??1?1 ⒍求矩阵??1??2解：?10?11??10??21010110111123011210001?0??的秩． 1??1?1??1?01?101?1?1??r?r24???????00011?10???1?112?2?1??0011011?1?101?1?1??0011?10??0011?10?0110111011??r?r?112?0?r1?r301100??2r?r4???1?????012101???13201??0?1011011??01?101?1?1??r3?r4???????00011?10????0000000?? R(A)?3

（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵A，试证A?A?是对称矩阵． 证明：(A?A')'?A'?(A')'?A'?A?A?A'

? A?A?是对称矩阵

⒏若A是n阶方阵，且AA??I，试证A?1或?1． 证明：? A是n阶方阵，且AA??I

? AA??AA??A?I?1 ? A?1或A??1

⒐若A是正交矩阵，试证A?也是正交矩阵． 证明：? A是正交矩阵

? A?1?A?

? (A?)?1?(A?1)?1?A?(A?)?

即A?是正交矩阵

4

2工程数学作业（第二次）(满分100分)

第3章 线性方程组

（一）单项选择题(每小题2分，共16分)

?x1?2x2?4x3?1?x1???为（C ）．

x2?x3?0的解?x ⒈用消元法得?2?????x3?2?x3??? A. [1,0,?2]? B. [?7,2,?2]?

C. [?11,2,?2]? D. [?11,?2,?2]?

?x1?2x2?3x3?2? ⒉线性方程组?x1?x3?6（B ）．

??3x?3x?423? A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解

?1??0??0??1??3? ⒊向量组?0?,?1?,?0?,?2?,?0?的秩为（ A）．

????????????0????0????1????1????4?? A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

?1??0??1??1??1??0??0??1? ⒋设向量组为?1???,?2???,?3???,?4???，则（B ）是极大无关组．

?0??1??1??1??????????0??1??0??1? A. ?1,?2 B. ?1,?2,?3 C. ?1,?2,?4 D. ?1

⒌A与A分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）． A. 秩(A)?秩(A) B. 秩(A)?秩(A) C. 秩(A)?秩(A) D. 秩(A)?秩(A)?1

⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解

⒏若向量组?1,?2,?,?s线性相关，则向量组内（A ）可被该向量组内其余向量线性表出．

A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量

9．设A，Ｂ为n阶矩阵，?既是Ａ又是Ｂ的特征值，x既是Ａ又是Ｂ的属于?的特征向量，则结论（ ）成立．

5

Ａ．?是AB的特征值 Ｂ．?是A+B的特征值

Ｃ．?是A－B的特征值 Ｄ．x是A+B的属于?的特征向量

10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．AB?BA Ｂ．(AB)??AB Ｃ．PAP?1?B Ｄ．PAP??B （二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当?? １ 时，齐次线性方程组?? ⒊向量组?1,2,3?,?1,2,0?,?1,0,0?,?0,0,0?的秩是 ３ ．

⒉向量组?1?0,0,0,?2?1,1,1线性 相关 ．

⒋设齐次线性方程组?1x1??2x2??3x3?0的系数行列式?1?2????x1?x2?0有非零解．

??x1?x2?0?3?0，则这个方

程组有 无穷多 解，且系数列向量?1,?2,?3是线性 相关 的． ⒌向量组?1?1,0,?2?0,1,?3?0,0的极大线性无关组是?1,?2． ⒍向量组?1,?2,?,?s的秩与矩阵向量有 ２ 个．

⒏设线性方程组AX?b有解，X0是它的一个特解，且AX?0的基础解系为X1,X2，则AX?b的通解为X0?k1X1?k2X2．

9．若?是Ａ的特征值，则?是方程?I?A?0 的根． 10．若矩阵Ａ满足A?1?A? ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分) 1．用消元法解线性方程组

????????1,?2,?,?s?的秩 相同 ．

⒎设线性方程组AX?0中有5个未知量，且秩(A)?3，则其基础解系中线性无关的解

?x1?3x2?2x3?x4?3x?8x?x?5x?1234???2x1?x2?4x3?x4???x1?4x2?x3?3x4?6?0 ??12?201923?48?178?18??02739?90??0?10?1226?23?48??19r?r?10042?124?31???7r3?r28?18??5r3?r4?01015?46????????001?1?14?4????6?13??00011?33?02??x1?20?1?? ?方程组解为??x2??1

?01??x3?1??1?3??x4??3解：

?1?3?2?16??3r?r?1?3?2?16?3r?r?1121?3?81?2r1??01?5r2?0r32?r35078?18r1?r4?r1?r4????A?????????????21?41?12??0?5?8?10??0??????14?1?3201?3?48?????0?1?0??????0??03r4?r31?r42?11?0r4?11?????0??001923?48??11?0?r3178?18?3???????003?312???056?13??00042?124??42r?r?141??0?15r4?r21015?46?r4?r3???????001?14???001?3??001917010501000010 6

２．设有线性方程组

??11??x??1??1?1??y????? ??????2??11?????z???????解：

? 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?

2?11??2??r?r?1?1????111?12????r1?r3???r2?1?r3A??1?1????1?1??????0??11???????????223??111??01??1??1?????11?????????1?1????2?r3?r????0??11???(1??)?2??00(2??)(1??)(1??)(1??)??当??1时，R(A)?R(A)?1，方程组有无穷多解

2］

? 当??1且???2时，R(A)?R(A)?3，方程组有唯一解

３．判断向量?能否由向量组?1,?2,?3线性表出，若能，写出一种表出方式．其中

??8???2??3???5???3??7???5???6??,?1???,?2???,?3??? ????7??1??0??3???????????10??3???2??1? 解：向量?能否由向量组?1,?2,?3线性表出，当且仅当方程组?1x1??2x2??3x3??有解

??23?5?8??1?7?5?6?3??0????????????这里 A???1,?2,?3,?????1?0037?????3?21?10??0037?1?341?? 010?117??00571?R(A)?R(A)

? 方程组无解

? ?不能由向量?1,?2,?3线性表出

４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关

?1??3???1??1???1???7???3??9??????????1??2?,?2??8?,?3??0?,?4??6?

????????39?3???????3??????4???13????3???6??3?11??1?1??1?7?39??0?????????????0解：??1,?2,?3,?4???2806?????39?33???0???413?36???03?1100010001?2??18? ?0?0???该向量组线性相关

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