九年级数学上学期期末试卷(含解析)新人教版

2016-2017学年四川省成都市温江区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：每小题3分，共30分 1．方程x=3x的解为（ ） A．0

B．﹣3 C．0，3 D．3

2

2．下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是（ ）

A． B． C． D．

3．做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（ ） A．0.22 B．0.42 C．0.50 D．0.58

4．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）

A．1：3 B．3：1 C．9：1 D．1：9

5．一个公共房门前的台阶高出地面2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）

A．斜坡AB的坡度是18° B．斜坡AB的坡度是tan18° C．AC=2tan18°米

D．AB=

米

6．设抛物线C1：y=x2向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则

抛物线C2对应的函数解析式是（ ） A．y=（x﹣2）2﹣3

B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x+2）2+3

=，

7．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和点D，E，F，若DE=6，则EF的长是（ ）

A． B． C．10 D．6

8．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（ ）

A．CE=DE B．AE=OE C． = D．△OCE≌△ODE

9．二次函数y=2x2﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ） A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点（2，3）

C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点

10．如图，点A和点B都在反比例函数y=的图象上，且线段AB过原点，过点A作x轴的垂线段，垂足为C，P是线段OB上的动点，连接CP．设△ACP的面积为S，则下列说法正确的是（ ）

A．S＞3 B．S＞6 C．3≤S≤6 D．3＜S≤6

二、填空题：每小题3分，共15分

11．小新的身高是1m，他的影子长为2m，同一时刻水塔的影长是32m，则水塔的高度是 m． 12．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）

13．小颖在二次函数y=2x+4x+5的图象上，依横坐标找到三点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3），则你认为y1，y2，y3的大小关系应为 ．

14．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．

2

15．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= °．

三、解答题：每小题12分，共24分 16．（1）计算：2+（2π﹣1）﹣（2）解方程：x+4x﹣1=0．

17．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1、2、3的小球，乙口袋中装有分别标有数字4、5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．请用列表或树状图的方法（只选其中一种）求出两个数字之和能被3整除的概率．

2﹣1

0

﹣sin45°﹣tan30°

18．如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C． （1）求双曲线解析式；

（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．

四、解答题：每小题7分，共14分

19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F． （1）求证：△ACD∽△BFD；

（2）若∠ABD=45°，AC=3时，求BF的长．

20．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？

五、解答题：（19小题8分，20小题9分，共17分）

21．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．

（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．

22．如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若AB=5，sin∠CBF=

，求BC和BF的长．

六、填空题：每小题4分，共20分

23．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是 ．

24．现有三张分别标有数字1、2、6的卡片，它们除了数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a（不放回），再从中任意抽取一张，将上面的数字记为b，这样的数字a，b能使关于x的一元二次方程x﹣2（a﹣3）x﹣b+9=0有两个正根的概率为 ．

25．如图，△ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD=∠ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为 ．

2

2

26．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，

线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=

，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为 ．

27．如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是点F是论： ①

=

；

上的一动点（不与A、B重合），

上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结

②△OGH是等腰三角形；

③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化； ④△GBH周长的最小值为4+

．

其中正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）．

七、解答题

28．如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去． （1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？

（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．

八、解答题 29．【探究证明】

（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．

如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：

=

；

【结论应用】

（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若则

的值为 ；

=

，

【联系拓展】

（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求

的值．

九、解答题

30．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与点A（﹣3，0），点B（9，0），与y轴交与点C，顶点为D，连接AD、DB，点P为线段AD上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点P作BD的平行线，交AB于点Q，连接DQ，设AQ=m，△PDQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，以及S的最大值；

（3）如图2，抛物线对称轴与x轴交与点G，E为OG的中点，F为点C关于DG对称的对称点，过点P分别作直线EF、DG的垂线，垂足为M、N，连接MN，当△PMN为等腰三角形时，求此时EM的长．

2016-2017学年四川省成都市温江区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题3分，共30分 1．方程x=3x的解为（ ） A．0

B．﹣3 C．0，3 D．3

2

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【分析】因式分解法求解可得． 【解答】解：∵x2﹣3x=0， ∴x（x﹣3）=0， 则x=0或x﹣3=0， 解得：x=0或x=3， 故选：C．

2．下列选项中，不是如图所示几何体的主视图、左视图、俯视图之一的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】首先判断几何体的三视图，然后找到答案即可．

【解答】解：几何体的主视图为选项D，俯视图为选项B，左视图为选项C． 故选A．

3．做重复试验：抛掷一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数为420次，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（ ） A．0.22 B．0.42 C．0.50 D．0.58 【考点】利用频率估计概率．

【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．

【解答】解：∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为420次， ∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为故选：B．

4．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）

=0.42，

A．1：3 B．3：1 C．9：1 D．1：9 【考点】位似变换．

【分析】根据位似变换的性质得到A′B′∥AB，A′C′∥AC，求出△A'B'C'与△ABC的相似比，根据相似三角形的性质得到面积比．

【解答】解：由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC， ∴∴

==

=， =，

∴△A'B'C'与△ABC的相似比为1：3， ∴△A'B'C'与△ABC的面积的比1：9， 故选：D．

5．一个公共房门前的台阶高出地面2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）

A．斜坡AB的坡度是18° B．斜坡AB的坡度是tan18°

C．AC=2tan18°米 D．AB=米

【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【分析】构建坡度，锐角三角函数的定义一一判断即可． 【解答】解：A、错误．斜坡AB的坡度=B、正确．斜坡AB的坡度=

=tan18°．

=tan18°．

C、错误．AC=1.2÷tan18°． D、错误．AB=故选B．

6．设抛物线C1：y=x向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ） A．y=（x﹣2）﹣3

2

2

．

B．y=（x+2）﹣3 C．y=（x﹣2）+3 D．y=（x+2）+3

222

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，向右平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2；

由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x﹣2）向下平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：y=（x﹣2）2﹣3． 故选A．

7．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别相交于A，B，C和点D，E，F，若DE=6，则EF的长是（ ）

=，

2

A． B． C．10 D．6

【考点】平行线分线段成比例．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴∵∴

=

，

=，DE=6， =，

∴EF=10， 故选C．

8．如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（ ）

A．CE=DE B．AE=OE C． = D．△OCE≌△ODE

【考点】垂径定理．

【分析】根据垂径定理得出CE=DE，弧CB=弧BD，再根据全等三角形的判定方法“AAS”即可证明△OCE≌△ODE．

【解答】解：∵⊙O的直径AB⊥CD于点E， ∴CE=DE，弧CB=弧BD， 在△OCE和△ODE中，

，

∴△OCE≌△ODE， 故选B

9．二次函数y=2x2﹣3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（ ） A．抛物线开口向下 B．抛物线经过点（2，3）

C．抛物线的对称轴是直线x=1 D．抛物线与x轴有两个交点

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数的性质对A、C进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断；利用方程2x2﹣3=0解的情况对D进行判断．

【解答】解：A、a=2，则抛物线y=2x﹣3的开口向上，所以A选项错误； B、当x=2时，y=2×4﹣3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误； C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；

D、当y=0时，2x2﹣3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确． 故选D．

10．如图，点A和点B都在反比例函数y=的图象上，且线段AB过原点，过点A作x轴的垂线段，垂足为C，P是线段OB上的动点，连接CP．设△ACP的面积为S，则下列说法正确的是（ ）

2

A．S＞3 B．S＞6 C．3≤S≤6 D．3＜S≤6 【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】先作出△APC的高线PD，发现动点P组成的△APC中边AC为定值，因此S的确定取决于高线PD的长，设A（x，y），则B与A关于原点对称，根据面积求取值即可． 【解答】解：过P作PD⊥AC于D，连接CB， 设A（x，y），则B（﹣x，﹣y）， ∵点A在反比例函数y=的图象上， ∴xy=6，

∵P是线段OB上的动点， ∴x≤PD≤2x， ∵S=S△APC=AC?PD，

当PD最小时，此时P与O重合，PD=x，

∴S=S△APC=xy=×6=3，

当PD最大时，此时P与B重合，PD=2x， ∴S=S△APC=AC?PD=?y?2x=xy=6， ∴3≤S≤6， 故选C．

二、填空题：每小题3分，共15分

11．小新的身高是1m，他的影子长为2m，同一时刻水塔的影长是32m，则水塔的高度是 16 m．

【考点】相似三角形的应用．

【分析】设水塔的高为xm，根据同一时刻，平行投影中物体与影长成正比得到32：x=1：2，然后利用比例性质求x即可． 【解答】解：设水塔的高为xm， 根据题意得x：32=1：2，解得x=16， 即水塔的高为16m． 故答案为16．

12．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 AB∥DE ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）

【考点】相似三角形的判定．

【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件． 【解答】解：∵∠A=∠D，

∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF， ∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，

∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF． 故答案为AB∥DE．

13．小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3），则你认为y1，y2，y3的大小关系应为 y2＞y3＞y1 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】将三个点的横坐标分别代入解析式，求出相应的函数值，再进行比较即可． 【解答】解：将点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）分别代入y=2x+4x+5得， y1=2﹣4+5=3， y2=21，

y3=18﹣12+5=11． 可见，y2＞y3＞y1． 故答案是：y2＞y3＞y1．

14．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 10

+1 m（结果保留根号）．

2

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案． 【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，

∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°， ∴BE=AE?tan60°=10∴BC=CE+BE=10∴旗杆高BC为10故答案为：10

（m），

+1（m）． +1m．

+1．

15．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD=28°，则∠ABD= 62 °．

【考点】圆周角定理．

【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，求出∠BCD，根据圆周角定理解答即可．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BCD=28°， ∴∠ACD=62°，

由圆周角定理得，∠ABD=∠ACD=62°， 故答案为：62．

三、解答题：每小题12分，共24分 16．（1）计算：2﹣1+（2π﹣1）0﹣（2）解方程：x2+4x﹣1=0．

﹣sin45°﹣

tan30°

【考点】解一元二次方程﹣配方法；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和法则计算即可得； （2）公式法求解可得． 【解答】解：（1）原式=+1﹣=+1﹣=﹣

（2）∵a=1，b=4，c=﹣1， ∴△=16﹣4×1×（﹣1）=20＞0， 则x=

17．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1、2、3的小球，乙口袋中装有分别标有数字4、5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．请用列表或树状图的方法（只选其中一种）求出两个数字之和能被3整除的概率． 【考点】列表法与树状图法．

【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之和能被3整除的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中两个数字之和能被3整除的结果数为2， 所以两个数字之和能被3整除的概率==．

18．如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C． （1）求双曲线解析式；

（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．

=﹣2

．

﹣1 ；

﹣

﹣

×

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；

（2）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．

【解答】解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2， ∴A（2，3），

把A坐标代入y=，得k=6， 则双曲线解析式为y=；

（2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0）， 设P（x，0），可得PC=|x+4|， ∵△ACP面积为3，

∴|x+4|?3=3，即|x+4|=2， 解得：x=﹣2或x=﹣6，

则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．

四、解答题：每小题7分，共14分

19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D、E，AD与BE相交于点F． （1）求证：△ACD∽△BFD；

（2）若∠ABD=45°，AC=3时，求BF的长．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）只要证明∠DBF=∠DAC，即可判断． （2）利用相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图，∵AD⊥BC，BE⊥AC ∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90° ∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90° ∴∠DBF=∠DAC ∴△ACD∽△BFD；

（2）解：如图，∵∠ABD=45°，∠ADB=90°， ∴AD=BD， ∴

=1，

∵△ACD∽△BFD，AC=3， ∴

=1，

∴BF=AC=3．

20．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？ 【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论； （2））设每星期利润为y元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题． 【解答】解：（1）根据题意可得： y=300+30（60﹣x） =﹣30x+2100；

（2）设每星期利润为W元，根据题意可得： W=（x﹣40）（﹣30x+2100） =﹣30（x﹣55）2+6750． 则x=55时，W最大值=6750．

故每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．

五、解答题：（19小题8分，20小题9分，共17分）

21．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．

（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2014年该县投入教育经费6000万元和2016年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即可；

（2）根据2016年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出2017年该县投入教育经费为8640×（1+0.2），再进行计算即可．

【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得： 6000（1+x）=8640

解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；

（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，

2

∴∴

==

， ；

（2）如图2， ∵EF⊥GH，AM⊥BN， ∴由（1）中的结论可得∴

=

=

． ；

=

，

=

，

故答案为

（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，

则四边形ABSR是平行四边形． ∵∠ABC=90°，∴?ABSR是矩形， ∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS． ∵AM⊥DN，

∴由（1）中的结论可得

=

．

设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y， ∴在Rt△CSD中，x+y=25①，

在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②， 由②﹣①得x=2y﹣5③， 解方程组

，得

2

2

（舍去），或

∴AR=5+x=8， ∴

=

=

=．

，

九、解答题

30．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与点A（﹣3，0），点B（9，0），与y轴交与点C，顶点为D，连接AD、DB，点P为线段AD上一动点． （1）求抛物线的解析式；

（2）过点P作BD的平行线，交AB于点Q，连接DQ，设AQ=m，△PDQ的面积为S，求S关于m的函数解析式，以及S的最大值；

（3）如图2，抛物线对称轴与x轴交与点G，E为OG的中点，F为点C关于DG对称的对称点，过点P分别作直线EF、DG的垂线，垂足为M、N，连接MN，当△PMN为等腰三角形时，求此时EM的长．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）可以假设抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣9），展开化简即可．

（2）作PH⊥AQ于H，则AH=HQ=（如图1中），根据S=S△ADQ﹣S△APQ构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

（3）分三种情形讨论①PM=PN，②NP=NM，③MN=MP，分别求出直线PM的解析式，利用方程组求出点M坐标即可解决问题．

【解答】解：（1）∵a=﹣，抛物线与x轴交与点A（﹣3，0），点B（9，0）， ∴可以假设抛物线解析式为y=﹣（x+3）（x﹣9）=﹣x2+x+6， ∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+6，

（2）∵y=﹣x2+x+6=﹣（x﹣3）2+8， ∴顶点D坐标（3，8）， ∵AD=DB=10， ∴∠DAB=∠DBA， ∵PQ∥BD， ∴∠PQA=∠DBA， ∴∠PAQ=∠PQA， ∴PA=PQ，

∴△PAQ为等腰三角形，

作PH⊥AQ于H，则AH=HQ=（如图1中）， ∴tan∠DAB=∴PH=m，

∴S=S△ADQ﹣S△APQ=?m?8﹣?m?m=﹣m2+4m=﹣（m﹣6）2+12， ∴当m=6时，S最大值=12．

（3）∵E（，0），F（6，6），

=，

∴直线EF解析式为y=x﹣2，直线AD解析式为y=x+4， ∴EF∥AD，作EL⊥AD于L，（如图2中） ∵AE=，sin∠DAB=， ∴LE=×=①PM=PN=∴xP=3﹣

=PM，

时，

=﹣，yP=﹣×+4=

），

，

，

∴P（﹣，

∴直线PM解析式为y=﹣x+

由，解得，

∴点M（∴EM=

，）

=

．

②NP=NM时，设直线EF与对称轴交于点K，K（3，2）， 此时点N在PM的垂直平分线上，DN=NK， ∴N（3，5），P（，5）， ∴直线PM的解析式为y=﹣x+

，

由解得，

∴M（∴EM=

，），

=

，

③PM=MN时，cos∠MPN==，

∴PN=，由此可得P（﹣，），

∴直线PM解析式为y=﹣x﹣，

由解得，

∴M（∴EM=

，﹣），

=

或

或

．

．

综上所述，EM=

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