九年级数学学习·探究·诊断(下册)

第二十六章 二次函数

测试1 二次函数y＝ax2及其图象

学习要求

1．熟练掌握二次函数的有关概念．

2．熟练掌握二次函数y＝ax2的性质和图象．

课堂学习检测

一、填空题

1．形如____________的函数叫做二次函数，其中______是目变量，a，b，c是______且______≠0．

2．函数y＝x2的图象叫做______，对称轴是______，顶点是______．

3．抛物线y＝ax2的顶点是______，对称轴是______．当a＞0时，抛物线的开口向______；当a＜0时，抛物线的开口向______．

4．当a＞0时，在抛物线y＝ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而______，而在对称轴的右侧，y随x的增大而______；函数y当x＝______时的值最______．

5．当a＜0时，在抛物线y＝ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而______，而在对称轴的右侧，y随x的增大而______；函数y当x＝______时的值最______． 6．写出下列二次函数的a，b，c．

(1)y?3x?x2 (2)y＝?x2 (3)y?

a＝______，b＝______，c＝______． a＝______，b＝______，c＝______．

12a＝______，b＝______，c＝______． x?5x?10

21(4)y??6?x2 a＝______，b＝______，c＝______．

37．抛物线y＝ax2，｜a｜越大则抛物线的开口就______，｜a｜越小则抛物线的开口就______．

8．二次函数y＝ax2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．

(1)y＝2x2如图( )；

12x如图( )； 2(3)y＝－x2如图( )； (2)y?1(4)y??x2如图( )；

3(5)y?12x如图( )； 9

1(6)y??x2如图( )．

939．已知函数y??x2,不画图象，回答下列各题．

2(1)开口方向______； (2)对称轴______； (3)顶点坐标______；

(4)当x≥0时，y随x的增大而______； (5)当x______时，y＝0；

(6)当x______时，函数y的最______值是______．

10．画出y＝－2x2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值．

综合、运用、诊断

一、填空题

11．在下列函数中①y＝－2x2；②y＝－2x＋1；③y＝x；④y＝x2，回答：

(1)______的图象是直线，______的图象是抛物线． (2)函数______y随着x的增大而增大． 函数______y随着x的增大而减小． (3)函数______的图象关于y轴对称． 函数______的图象关于原点对称． (4)函数______有最大值为______． 函数______有最小值为______．

12．已知函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)．

(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______． (2)若它是一次函数，则系数应满足条件______． (3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______．

13．已知函数y＝(m－3m)x2

m2?2m?1的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物

线的顶点坐标为______，对称轴方程为______，开口______． 14．已知函数y＝mxm2?2m?2＋(m－2)x．

(1)若它是二次函数，则m＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． (2)若它是一次函数，则m＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． 15．已知函数y＝mxm2?m，则当m＝______时它的图象是抛物线；当m＝______时，

抛物线的开口向上；当m＝______时抛物线的开口向下．

二、选择题

16．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数

的是( ) A．y＝x(x＋1) B．xy＝1

C．y＝2x2－2(x＋1)2

D．y?3x2?1

2

17．在二次函数①y＝3x2；②y?224x;③y?x2中，图象在同一水平线上的开口大小33顺序用题号表示应该为( )

A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③ 18．对于抛物线y＝ax2，下列说法中正确的是( )

A．a越大，抛物线开口越大 B．a越小，抛物线开口越大 C．｜a｜越大，抛物线开口越大 D．｜a｜越小，抛物线开口越大 19．下列说法中错误的是( )

A．在函数y＝－x2中，当x＝0时y有最大值0

B．在函数y＝2x2中，当x＞0时y随x的增大而增大

1C．抛物线y＝2x2，y＝－x2，y??x2中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线y

2＝－x2的开口最大

D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点

三、解答题

20．函数y＝(m－3)xm2?3m?2为二次函数．

(1)若其图象开口向上，求函数关系式；

(2)若当x＞0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象．

拓展、探究、思考

21．抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点A(1，b)．

(1)求a，b的值；

(2)求抛物线y＝ax2与直线y＝－2的两个交点B，C的坐标(B点在C点右侧)； (3)求△OBC的面积．

22．已知抛物线y＝ax2经过点A(2，1)．

(1)求这个函数的解析式；

(2)写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标； (3)求△OAB的面积；

(4)抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

3

测试2 二次函数y＝a(x－h)2＋k及其图象

学习要求

掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k的性质及图象．

课堂学习检测

一、填空题

1．已知a≠0，

(1)抛物线y＝ax2的顶点坐标为______，对称轴为______． (2)抛物线y＝ax2＋c的顶点坐标为______，对称轴为______． (3)抛物线y＝a(x－m)2的顶点坐标为______，对称轴为______．

2．若函数y?(m?)x122m2?m?1是二次函数，则m＝______．

3．抛物线y＝2x2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x增大而减小；当x______时，y随x增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______． 4．抛物线y＝－2x2的开口方向是______，它的形状与y＝2x2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．

5．抛物线y＝2x2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y随x的增大而减小；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝2x2向______平移______个单位得到．

6．抛物线y＝3(x－2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x______时，y随x的增大而增大；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝3x2向______平移______个单位得到．

二、选择题

7．要得到抛物线y?11(x?4)2，可将抛物线y?x2( )

33A．向上平移4个单位

B．向下平移4个单位 C．向右平移4个单位 D．向左平移4个单位

8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( ) A．y＝2x2与y＝3x2 C．y＝2x2与y＝x2＋2

121x?2与y?2x2?

22D．y＝x2与y＝x2－2 B．y?19．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数y??x2的图象相同的抛物线是( )

31A．y?(x?5)2

31C．y??(x?5)2

3三、解答题

10．在同一坐标系中画出函数y1?y2的图象与函数y?1B．y??x2?5

31D．y?(x?5)2

31211x?3,y2?x2?3和y3?x2的图象，并说明y1，

22212x的图象的关系． 2 4

11．在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明

y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．

综合、运用、诊断

一、填空题

12．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的顶点坐标是______，对称轴是______，当x＝

______时，y有最值______；当a＞0时，若x______时，y随x增大而减小． 13．填表． 解析式 y＝(x－2)2－3 y＝－(x＋3)2＋2 开口方向 顶点坐标 对称轴 1y??(x?5)2?5 215y?(x?)2?1 32y＝3(x－2)2 y＝－3x2＋2 114．抛物线y??(x?3)2?1有最______点，其坐标是______．当x＝______时，y的

2最______值是______；当x______时，y随x增大而增大．

5

115．将抛物线y?x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析

3式为______．

二、选择题

16．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则

该抛物线的解析式为( ) A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3 C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3

17．要得到y＝－2(x＋2)2－3的图象，需将抛物线y＝－2x2作如下平移( )

A．向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移2个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移2个单位，再向下平移3个单位

三、解答题

18．将下列函数配成y＝a(x－h)2＋k的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值．

(1)y＝x2＋6x＋10 (2)y＝－2x2－5x＋7

(3)y＝3x2＋2x (4)y＝－3x2＋6x－2

(5)y＝100－5x2 (6)y＝(x－2)(2x＋1)

拓展、探究、思考

19．把二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得

1到二次函数y?(x?1)2?1的图象．

2(1)试确定a，h，k的值；

(2)指出二次函数y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴和顶点坐标．

测试3 二次函数y＝ax2＋bx＋c及其图象

学习要求

掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质及其图象．

课堂学习检测

一、填空题

1．把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方成y＝a(x－h)2＋k形式为______，顶点坐标是

______，对称轴是直线______．当x＝______时，y最值＝______；当a＜0时，x______时，y随x增大而减小；x______时，y随x增大而增大．

6

2．抛物线y＝2x2－3x－5的顶点坐标为______．当x＝______时，y有最______值是

______，与x轴的交点是______，与y轴的交点是______，当x______时，y随x增大而减小，当x______时，y随x增大而增大．

3．抛物线y＝3－2x－x2的顶点坐标是______，它与x轴的交点坐标是______，与y轴

的交点坐标是______．

4．把二次函数y＝x2－4x＋5配方成y＝a(x－h)2＋k的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．

5．已知二次函数y＝x2＋4x－3，当x＝______时，函数y有最值______，当x______时，函数y随x的增大而增大，当x＝______时，y＝0．

6．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝3－2x2的形状完全相同，只是位置不同，则a＝______．

22

7．抛物线y＝2x先向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)，再向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2＋4．

二、选择题

8．下列函数中①y＝3x＋1；②y＝4x2－3x；③y?42

?x2;④y＝5－2x，是二次函数的2x有( ) A．② B．②③④ C．②③ D．②④

9．抛物线y＝－3x2－4的开口方向和顶点坐标分别是( )

A．向下，(0，4) B．向下，(0，－4) C．向上，(0，4) D．向上，(0，－4) 10．抛物线y??12x?x的顶点坐标是( ) 2D．(1，0)

111A．(1,?) B．(?1,) C．(,?1)

2222

11．二次函数y＝ax＋x＋1的图象必过点( )

A．(0，a) B．(－1，－a) C．(－1，a) D．(0，－a)

三、解答题

12．已知二次函数y＝2x2＋4x－6．

(1)将其化成y＝a(x－h)2＋k的形式；

(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； (3)求图象与两坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象；

(5)说明其图象与抛物线y＝x2的关系； (6)当x取何值时，y随x增大而减小； (7)当x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0；

(8)当x取何值时，函数y有最值?其最值是多少? (9)当y取何值时，－4＜x＜0；

(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．

7

综合、运用、诊断

一、填空题

13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

(1)若抛物线的顶点是原点，则____________； (2)若抛物线经过原点，则____________；

(3)若抛物线的顶点在y轴上，则____________； (4)若抛物线的顶点在x轴上，则____________． 14．抛物线y＝ax2＋bx必过______点．

15．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解

析式是______．

16．若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______． 17．若二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______．

18．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面

积为______平方单位．

19．抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第______象限． 二、选择题

20．函数y＝x2＋mx－2(m＜0)的图象是( )

21．抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么( )

2

A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0

22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( )

A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0 B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0 C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0 D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞0

8

23．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，则( )

A．b＞0，c＞0，?＝0 B．b＜0，c＞0，?＝0 C．b＜0，c＜0，?＝0 D．b＞0，c＞0，?＞0

24．二次函数y＝mx2＋2mx－(3－m)的图象如下图所示，那么m的取值范围是( )

A．m＞0 B．m＞3 C．m＜0 D．0＜m＜3

25．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx－2(k≠0)的图象大致如图( )

26．函数y1?ax?b,y2?( )

2ab(ab＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是x

三、解答题

27．已知抛物线y＝x2－3kx＋2k＋4．

(1)k为何值时，抛物线关于y轴对称； (2)k为何值时，抛物线经过原点．

9

1328．画出y??x2?x?的图象，并求：

22

(1)顶点坐标与对称轴方程；

(2)x取何值时，y随x增大而减小? x取何值时，y随x增大而增大?

(3)当x为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少? (4)x取何值时，y＞0，y＜0，y＝0? (5)当y取何值时，－2≤x≤2?

拓展、探究、思考

29．已知函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和y2＝mx＋n的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，

并且y1＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点(0，3)．

(1)求函数y1和y2的解析式，并画出函数示意图； (2)x为何值时，①y1＞y2；②y1＝y2；③y1＜y2．

30．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分；图象过点A(－3，0)，对称轴为x

＝－1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确的是________________．(填序号)

10

测试4 二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式的确定

学习要求

能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式． 一、填空题

1．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式________________；②顶点式________ __________；③双根式__________________________(b2－4ac≥0)．

2．若二次函数y＝x2－2x＋a2－1的图象经过点(1，0)，则a的值为______．

3．已知抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(?一个交点为______．

二、解答题

4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：

3,0),则它与x轴的另2

(1)对称轴方程____________； (2)函数解析式____________；

(3)当x______时，y随x增大而减小； (4)由图象回答：

当y＞0时，x的取值范围______； 当y＝0时，x＝______；

当y＜0时，x的取值范围______．

5．抛物线y＝ax2＋bx＋c过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．

6．抛物线y＝ax2＋bx＋c过(－3，0)，(1，0)两点，与y轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．

11

7．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．

8．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(－2，5)，且当x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．

9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．

10．抛物线过(－1，－1)点，它的对称轴是直线x＋2＝0，且在x轴上截得线段的长度为22,求抛物线的解析式．

综合、运用、诊断

11．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．

12．把抛物线y＝(x－1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移

后的抛物线的解析式．

13．二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值等于－3a，且它的图象经过(－1，－2)，(1，6)

两点，求二次函数的解析式．

14．已知函数y1＝ax2＋bx＋c，它的顶点坐标为(－3，－2)，y1与y2＝2x＋m交于点(1，

6)，求y1，y2的函数解析式．

拓展、探究、思考

15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为A，B(B在A左侧)，与y轴的交点为

C，OA＝OC．下列关系式中，正确的是( )

12

A．ac＋1＝b C．bc＋1＝a

B．ab＋1＝c D．

a?1?c b16．如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形

ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直，若小正方形边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间的函数关系的大致图象是( )

17．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(0，2)，O(0，0)，B(4，0)，

把△AOB绕O点按逆时针方向旋转90°得到△COD．

(1)求C，D两点的坐标；

(2)求经过C，D，B三点的抛物线的解析式； (3)设(2)中抛物线的顶点为P，AB的中点为M(2，1)，试判断△PMB是钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形，并说明理由．

测试5 用函数观点看一元二次方程

学习要求

1．理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关概念解题．

2．掌握并运用二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)解题．

13

课堂学习检测

一、填空题

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有交点，则b2－4ac______0；

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0两根为x1，x2，则二次函数可表示为y＝_________ ____________．

2．若二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴只有一个交点，则m＝______．

3．若二次函数y＝mx2－(2m＋2)x－1＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______．

4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过P(1，0)点，则a＋b＋c＝______．

5．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c满足a－b＋c＝0，则这条抛物线必经过点______．

6．关于x的方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在第______象限．

二、选择题

7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0( )

A．没有实根 B．只有一个实根

C．有两个实根，且一根为正，一根为负 D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2

8．一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2－4x＋3的图象交点( ) A．只有一个 B．恰好有两个 C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点

9．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( )

A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根

10．二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是( ) A．a＞0，?＞0 B．a＞0，?＜0 C．a＜0，?＞0 D．a＜0，?＜0

三、解答题

11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0的两个

14

根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．

12．对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x轴上截得的线段长为3，

求此函数的解析式．

综合、运用、诊断

一、填空题

13．已知直线y＝5x＋k与抛物线y＝x2＋3x＋5交点的横坐标为1，则k＝______，交点

坐标为______．

814．当m＝______时，函数y＝2x2＋3mx＋2m的最小值为?

9二、选择题

15．直线y＝4x＋1与抛物线y＝x2＋2x＋k有唯一交点，则k是( )

A．0 B．1 C．2 D．－1 16．二次函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则其图象与x轴( )

A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．可能有一个交点

17．y＝x2＋kx＋1与y＝x2－x－k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k值为( )

1 418．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2

＝0的根的情况是( )

A．0

B．－1

C．2

D．

A．无实根

B．有两个相等实数根 C．有两个异号实数根

D．有两个同号不等实数根

19．已知二次函数的图象与y轴交点坐标为(0，a)，与x轴交点坐标为(b，0)和(－b，

0)，若a＞0，则函数解析式为( )

aaA．y?2x?a B．y??2x2?a

bba2a2 D．x?ay?x?a 22bb20．若m，n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两个根，且a＜b，则a，b，

m，n的大小关系是( )

C．y??

15

A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b

三、解答题

21．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c是常数)中，自变量x与函数y的对应值如

下表： x y 1－1 ? 20 1 1 27 41 2 3 27 42 1 5 23 1－2 ? 4?1 －2 4(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标； (2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c是常数)的两个根x1，x2的取值范围是下列选项中的哪一个______．

13?x1?0,?x2?2 2215③??x1?0,2?x2?

22①?15②?1?x1??,2?x2?

22④?1?x1??13,?x2?2 2222．m为何值时，抛物线y＝(m－1)x2＋2mx＋m－1与x轴没有交点?

23．当m取何值时，抛物线y＝x2与直线y＝x＋m

(1)有公共点；(2)没有公共点．

拓展、探究、思考

24．已知抛物线y＝－x2－(m－4)x＋3(m－1)与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．

(1)求m的取值范围．

(2)若m＜0，直线y＝kx－1经过点A并与y轴交于点D，且AD?BD?52，求抛物线的解析式．

测试6 实际问题与二次函数

学习要求

灵活地应用二次函数的概念解决实际问题．

课堂学习检测

1．矩形窗户的周长是6m，写出窗户的面积y(m2)与窗户的宽x(m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x的取值范围，并画出函数的图象．

16

2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB时，水面宽8m，水位上升3m， 就达到警戒水位CD，这时水面宽4m，若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．

3．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1m的A处飞出(A在y轴上)，运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4m高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；

(2)运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?(取43?7，26?5)

综合、运用、诊断

4．如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．

17

(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长； (2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由． 5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式； (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?

6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．

(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?

7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．

根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式； (2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； 3)求第8个月公司所获利润为多少万元?

18

拓展、探究、思考

8．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA． (1)求这个二次函数的解析式；

(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

测试7 综合测试

一、填空题

1．若函数y＝x2－mx＋m－2的图象经过(3，6)点，则m＝______． 2．函数y＝2x－x2的图象开口向______，对称轴方程是______． 3．抛物线y＝x2－4x－5的顶点坐标是______．

4．函数y＝2x2－8x＋1，当x＝______时，y的最______值等于______． 5．抛物线y＝－x2＋3x－2在y轴上的截距是______，与x轴的交点坐标是____________． 6．把y＝2x2－6x＋4配方成y＝a(x－h)2＋k的形式是_______________． 7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．

(1)对称轴方程为____________； (2)函数解析式为____________；

(3)当x______时，y随x的增大而减小； (4)当y＞0时，x的取值范围是______． 8．已知二次函数y＝x2－(m－4)x＋2m－3． (1)当m＝______时，图象顶点在x轴上； (2)当m＝______时，图象顶点在y轴上； (3)当m＝______时，图象过原点．

二、选择题

9．将抛物线y＝x2＋1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A．y＝－x2 B．y＝－x2＋1 C．y＝x2－1 D．y＝－x2－1 10．抛物线y＝x2－mx＋m－2与x轴交点的情况是( )

A．无交点 B．一个交点 C．两个交点 D．无法确定

11．函数y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别为( )

A．4和－3 B．5和－3 C．5和－4 D．－1和4 12．已知函数y＝a(x＋2)和y＝a(x2＋1)，那么它们在同一坐标系内图象的示意图是( )

19

13．y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么下面六个代数式：abc，b2－4ac，a

－b＋c，a＋b＋c，2a－b，9a－4b中，值小于0的有( )

2

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

14．若b＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象如下列四图之一所示，根据图象分

析，则a的值等于( )

A．

?1?5 2B．－1 C．

?1?5 2D．1

三、解答题

15．已知函数y1＝ax2＋bx＋c，其中a＜0，b＞0，c＞0，问：

(1)抛物线的开口方向?

(2)抛物线与y轴的交点在x轴上方还是下方? (3)抛物线的对称轴在y轴的左侧还是右侧?

(4)抛物线与x轴是否有交点?如果有，写出交点坐标； (5)画出示意图．

16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次

函数的解析式．(试用两种不同方法)

17．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－1时有最小值－4，且图象在x轴上截得线

段长为4，求函数解析式．

20

(1)求证：tan∠AOF＞tan∠AOE；

(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．

13．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：

(1)sin2A＋cos2A＝1； (2)tanA?

14．化简：1?2sin??cos?(其中0°＜??＜90°)

15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：

①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°； ③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°； ⑤sin80°______2sin40°cos40°； ⑥sin90°______2sin45°cos45°． 猜想：若0°＜??≤45°，则sin2??______2sin??cos??．

(2)已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2??．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．

sinA? cosA

46

16．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H

点．在底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面积的积S△ABC2S△HBC的值是否随着变化?请说明你的理由．

测试3 解直角三角形(一)

学习要求

理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．

课堂学习检测

一、填空题

1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，

第1题图

①三边之间的等量关系：

__________________________________． ②两锐角之间的关系：

__________________________________． ③边与角之间的关系：

sinA?cosB?______； cosA?sinB?_______；

tanA?11tanB?_____； tanA?tanB?______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．

第④小题图

在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．

47

CD2＝_________；AC2＝_________； BC2＝_________；AC2BC＝_________． ⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．

第⑤小题图

直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________． 若r是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆半径，则r＝_________＝_________． ⑥直角三角形的面积公式． 在Rt△ABC中，∠C＝90°， S△ABC＝_________．(答案不唯一)

2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角) 3．填写下表： 已知条件 一条边和 斜边c和锐角∠A 两条直角边a和b 直角边a和斜边c 解法 ∠B＝______，a＝______，b＝______ c＝______，由______求∠A，∠B＝______ b＝______，由______求∠A，∠B＝______ 一个锐角 直角边a和锐角∠A ∠B＝______，b＝______，c＝______ 两条边 二、解答题

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°．

(1)已知：a＝35，c?352，求∠A、∠B，b；

(2)已知：a?23，b?2，求∠A、∠B，c；

(3)已知：sinA?

(4)已知：tanB?2，c?6，求a、b； 33,b?9,求a、c； 248

(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积S?123,求a、b、c及∠B．

综合、运用、诊断

5．已知：如图，在半径为R的⊙O中，∠AOB＝2??，OC⊥AB于C点．

(1)求弦AB的长及弦心距；

(2)求⊙O的内接正n边形的边长an及边心距rn．

6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝ BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)

7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．

49

拓展、探究、思考

8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．

(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号) (2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?

9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离?

10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少

米?(保留整数)

测试4 解直角三角形(二)

学习要求

能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．

课堂学习检测

1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm． 求AB及BC的长．

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