苏教版初中数学相似三角形专题--有答案有解释

【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD，然后根据勾股定理即可求得AC． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°， ∴∠ACD=∠B， ∴△ACD∽△CBD， ∴

，

∵CD=2，BD=1， ∴

，

∴AD=4，

在Rt△ACD中，AC=故答案为：4，2

．

=

=2

，

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形的对应边成比例定理的应用．

6．（2015秋?太原校级期末）如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于 cm．

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【考点】射影定理．

【分析】根据射影定理求出BD的长，再根据射影定理计算即可． 【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边CD上的高， ∴CD2=AD?DB， ∴BD=

，

， ×

，

则AB=AD+BD=∵BC2=BD?BA=∴BC=

，

．

故答案为：

【点评】本题考查的是射影定理的应用，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．

7．（2016?三明）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= 4.5 ．

【考点】位似变换；坐标与图形性质．

【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出的长即可．

==，求出DE

【解答】解：∵△ABC与DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0）， ∴AO=1，DO=3， ∴

=

=，

∵AB=1.5，

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∴DE=4.5． 故答案为：4.5．

【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出

二．解答题（共23小题）

8．（2016秋?长春期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．

=

=是解题关键．

【考点】相似多边形的性质．

【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴∴x=12，

，∠C=α，∠D=∠D′=140°．

，α=∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣62°﹣75°﹣140°=83°．

【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解答此题的关键．

9．（2015秋?萧县校级月考）已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）求证：F点是AD的黄金分割点．

【考点】相似多边形的性质；黄金分割．

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【分析】（1）根据题意证明四边形ABEF是矩形，根据折叠的性质得到AB=AF，证明结论；

（2）根据相似多边形的性质得到AB2=FD?AB，根据正方形的性质得到答案． 【解答】证明：（1）∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°， ∴四边形ABEF是矩形， 由折叠的性质可知AB=AF， ∴四边形ABEF是正方形；

（2）∵四边形EFDC与矩形ABCD相似 ∴

=

，又AB=CD，

∴AB2=FD?AB，又AB=AF， ∴AF2=FD?AB，

∴F点是AD的黄金分割点．

【点评】本题考查的是相似多边形的性质和黄金分割的概念，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键，注意把线段分成两条线段，且使较长是已知线段和较短的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．

10．（2016秋?滦南县期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；

（2）如图②，在△ABC中，AC=2，BC=

，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD

是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 【考点】相似三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．

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【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB=80°，根据角平分线的定义得到∠ACD=40°，证明△BCD∽△BAC，证明结论； （2）根据△BCD∽△BAC，得到角形的性质定理列式计算即可．

【解答】解：（1）∵∠A=40°，∠B=60°， ∴∠ACB=80°，

∴△ABC不是等腰三角形， ∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°， ∴∠ACD=∠A=40°， ∴△ACD是等腰三角形， ∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC ∴△BCD∽△BAC，

∴CD是△BAC的完美分割线； （2）∵△BCD∽△BAC， ∴

，

，

，设BD=x，解方程求出x，根据相似三

∵AC=AD=2，BC=

设BD=x，则AB=4+x， ∴

，

，

，

解得x=﹣1±

∵x＞0，∴BD=x=﹣1+∵△BCD∽△BAC， ∴

，

∵AC=2，BC=∴CD=

，BC=﹣1+=

﹣

．

【点评】本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

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苏教版初中数学相似三角形专题

一．填空题（共7小题）

1．已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是 ．

2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．

（Ⅰ）△ABC的面积等于 ；

（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） ．

3．如图是两张大小不同的4×4方格纸，它们均由16个小正方形组成，其中图①与图②中小正方形的面积比为5：4，请在图②中画出格点正方形EFGH，使它与图①中格点正方形ABCD的面积相等．

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4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为 ．

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是 ，AC的长是 ．

6．如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于 cm．

7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= ．

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二．解答题（共23小题）

8．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．

9．已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC与矩形ABCD相似． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）求证：F点是AD的黄金分割点．

10．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；

（2）如图②，在△ABC中，AC=2，BC=

，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD

是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

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11．如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，AO和AB的长．

=，OB=4，求

12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．

13．已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．

14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？

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15．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

16．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F． （1）求证：△ACE≌△DCB； （2）求证：△ADF∽△BAD．

17．如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．

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18．如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E．

求证：△DME∽△BCA．

19．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．

20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．

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21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3． （1）求EF的长；

（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．

22．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且（1）求证：AB∥CD；

（2）如果AD2=DG?DE，求证：

=

．

=

．

23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=求证：

（1）△DEC≌△ADC； （2）AE?AB=BC?DE．

，CE=a，AC=b，

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24．已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证： （1）△ABF∽△BED； （2）

=

．

25．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．

如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．

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26．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．

（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为 ．

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？

（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）

27．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？

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28．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．

29．如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度．

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30．如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．

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苏教版初中数学相似三角形专题

参考答案与试题解析

一．填空题（共7小题）

1．（2014?黄冈模拟）已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出与△ABC相似（与图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是 （﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3） ．

【考点】作图—相似变换．

【专题】作图题．

【分析】根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．

【解答】解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．

所画图形如下所示：

它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）． 故答案为：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．

【点评】本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每

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一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数．

2．（2013?天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．

（Ⅰ）△ABC的面积等于 6 ；

（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明） 取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求 ．

【考点】作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；

（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求

【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3=6；

（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，

与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F， 则四边形DEFG即为所求．

故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，

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分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．

【点评】此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．

3．（2012?鼓楼区一模）如图是两张大小不同的4×4方格纸，它们均由16个小正方形组成，其中图①与图②中小正方形的面积比为5：4，请在图②中画出格点正方形EFGH，使它与图①中格点正方形ABCD的面积相等．

【考点】作图—相似变换．

【专题】压轴题．

【分析】根据图①与图②中小正方形的面积比为5：4，求出图①中正方形ABCD的面积为8，进而得出正方形EFGH的面积即可．

【解答】解：根据图①与图②中小正方形的面积比为5：4，

图①中正方形ABCD的面积为8，使它与图①中格点正方形ABCD的面积相等， 则图②中正方形EFGH的面积为10， 如图所示：

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【点评】此题主要考查了图形相似的性质，根据图①与图②中小正方形的面积比为5：4得出两个大正方形面积之比是解题关键．

4．（2016春?苏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为 4 ．

【考点】射影定理．

【分析】根据射影定理得到：CD2=AD?BD，把相关线段的长度代入计算即可． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2， ∴CD2=AD?BD=8×2， 则CD=4． 故答案是：4．

【点评】本题考查了射影定理．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD?DC；②AB2=BD?BC；AC2=CD?BC．

5．（2015春?成都校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是 4 ，AC的长是 2 ．

【考点】射影定理．

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11．（2016秋?莲都区校级月考）如图，BD∥AC，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，

=，OB=4，求AO和AB的长．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长． 【解答】解： ∵△OBD∽△OAC， ∴∴

=

=，

=，解得OA=6，

∴AB=OA+OB=4+6=10．

【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．

12．（2015秋?佛山期末）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案． 【解答】解：∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD=60°， ∴∠ACP=120°， ∵△ACP∽△PDB，

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∴∠APC=∠B，又∠A=∠A， ∴△ACP∽△ABP， ∴∠APB=∠ACP=120°．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．

13．（2015秋?延庆县期末）已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】由相似三角形的性质易证∠1=∠2，再由三角形内角和定理易证∠2=∠3，进而可证明∠1=∠2=∠3．

【解答】证明：∵△ABC∽△ADE， ∴∠C=∠E，∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC， 即∠1=∠2，

在△AOE和△DOC中，

∠E=∠C，∠AOE=∠DOC（对顶角相等）， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2=∠3．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的各种性质是解题关键．

14．（2015秋?泗县期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？

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【考点】相似三角形的性质；一元一次方程的应用．

【专题】动点型；分类讨论．

【分析】若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间．

【解答】解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解， ①若Rt△ABC∽Rt△QPC则②若Rt△ABC∽Rt△PQC则

，即，

解之得t=1.2； 解之得t=

；

由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，

验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或

秒．

【点评】本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．

15．（2016?兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．

【专题】计算题；证明题．

【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得

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，根据有

两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；

（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长． 【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形， ∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°， ∵AE=ED， ∴

，

∵DF=DC， ∴∴

， ，

∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵ABCD为正方形， ∴ED∥BG， ∴

，

又∵DF=DC，正方形的边长为4， ∴ED=2，CG=6， ∴BG=BC+CG=10．

【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．

16．（2016?萧山区模拟）如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F． （1）求证：△ACE≌△DCB； （2）求证：△ADF∽△BAD．

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【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；

（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．

【解答】解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形， ∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60° ∴∠ACE=∠DCB=120°． ∴△ACE≌△DCB（SAS）；

（2）∵△ACE≌△DCB， ∴∠CAE=∠CDB．

∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°， ∴DC∥BE， ∴∠CDB=∠DBE， ∴∠CAE=∠DBE， ∴∠DAF=∠DBA． ∴△ADF∽△BAD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．

17．（2016?厦门校级模拟）如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形与以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．

第25页（共48页）

【考点】相似三角形的判定．

【分析】根据已知可以分△PDC∽△ABP或△PCD∽△PAB两种情况进行分析． 【解答】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB ∴∠D=∠B=90°， 设DP=x，

当PD：AB=CD：PB时，△PDC∽△ABP， ∴=

，

解得DP=2或12，

当PD：PB=CD：AB时，△PCD∽△PAB， ∴

=，

解得DP=5.6

∴DP=5.6或2或12．

【点评】此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．

18．（2016?云南模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB于点E． 求证：△DME∽△BCA．

第26页（共48页）

【考点】相似三角形的判定．

【专题】证明题．

【分析】先证明∠DEM=∠A，再由∠C=∠DME=90°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明△DME∽△BCA．

【解答】证明：∵∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N， ∴∠C=∠ENB=∠DME=90°， ∴AC∥DN， ∴∠BEN=∠A， ∵∠BEN=∠DEM， ∴∠DEM=∠A． 在△DME与△BCA中，

，

∴△DME∽△BCA．

【点评】本题考查了相似三角形的判定，方法有（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

19．（2016?厦门校级模拟）在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．

【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．

【专题】证明题．

【分析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出△BED．

第27页（共48页）

=，进而得出△DEF∽

【解答】证明：∵AC⊥BE， ∴∠AFB=∠AFE=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAE=90°， 又∵∠AEF=∠BEA， ∴△AEF∽△BEA， ∴

=

，

∵点E是AD的中点， ∴AE=ED， ∴

=

，

又∵∠FED=∠DEB， ∴在△DEF和△BED中 ﹛

=

∠FED=∠DEB

∴△DEF∽△BED．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出=

20．（2016春?昌平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．

是解题关键．

第28页（共48页）

【考点】相似三角形的判定．

【专题】证明题．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可． 【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点， ∴AM=CM， ∴∠C=∠CAM， ∵DA⊥AM， ∴∠DAM=90°， ∴∠DAB=∠CAM， ∴∠DAB=∠C， ∵∠D=∠D， ∴△DBA∽△DAC．

【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．

21．（2017?松江区一模）如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3． （1）求EF的长；

（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）先根据S△BEF：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；

（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．

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【解答】解：（1）∵AC∥BD， ∴

∵AC=6，BD=4， ∴

∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3， ∴∴

， ．

∴EF∥BD， ∴∴∴

， ，

（2）∵AC∥BD，EF∥BD， ∴EF∥AC， ∴△BEF∽△ABC， ∴∵∴

， ．

．

∵S△BEF=4， ∴

∴S△ABC=25．

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．

22．（2017?闵行区一模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延

第30页（共48页）

，

长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且（1）求证：AB∥CD；

（2）如果AD2=DG?DE，求证：

=

．

=．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质得到换即可得到结论．

【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△CEG， ∴∵∴

=

， ， ，

，根据等式的性质得到

=

，等量代

∴AB∥CD；

（2）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△CEG， ∴∴

=， ，

∴=，

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∵AD2=DG?DE， ∴

=

，

∵AD∥BC， ∴∴

==， ．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

23．（2017?普陀区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=

，CE=a，AC=b，求证：

（1）△DEC≌△ADC； （2）AE?AB=BC?DE．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；

（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA，

=

，再根据两组对应

边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可． 【解答】证明：（1）∵DC=∴CD2=CE×CA， 即

，CE=a，AC=b，

=，

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又∵∠ECD=∠DCA， ∴△DEC≌△ADC；

（2）∵△DEC≌△ADC， ∴∠DAE=∠CDE， ∵∠BAD=∠CDA， ∴∠BAC=∠EDA， ∵△DEC≌△ADC， ∴

=

，

∵DC=AB， ∴

=

，即

=

，

∴△ADE∽△CAB， ∴

=

，

即AE?AB=BC?DE．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．

24．（2017?奉贤区一模）已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证： （1）△ABF∽△BED； （2）

=

．

【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．

【分析】（1）由菱形的性质得出AC⊥BD，AB∥CD，得出△ABF∽△CEF，由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，证出△BED∽△CEF，即可得出结论；

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（2）由平行线得出，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB∥CD， ∴△ABF∽△CEF， ∵BE⊥DC， ∴∠FEC=∠BED，

由互余的关系得：∠DBE=∠FCE， ∴△BED∽△CEF， ∴△ABF∽△BED； （2）∵AB∥CD， ∴∴

， ，

∵△ABF∽△BED， ∴∴

=

， ．

【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．

25．（2016?陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走

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了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．

如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．

【考点】相似三角形的应用．

【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长． 【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°， ∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF， 故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH， 则即

==，，

=

， =

，

解得：AB=99，

答：“望月阁”的高AB的长度为99m．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确利用已知得出相似三角形是解题关键．

26．（2016?桐城市模拟）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长

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多边形．

（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．

（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等．

12．相似三角形的性质

相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；

相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．

（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．

13．相似三角形的判定

（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；

这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图

形．

（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；

（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

第46页（共48页）

14．相似三角形的判定与性质

（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．

（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．

15．相似三角形的应用

（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．

（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．

（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．

16．作图—相似变换

（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示：

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（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．

17．位似变换

（1）位似图形的定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

18．射影定理 （1）射影定理：

①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．

（2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD?DC；

②AB2=BD?BC；AC2=CD?BC．

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