东北三省三校2024年4月高三第二次联考理科数学试题

东北三省三校2014年4月高三第二次联考理科数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）

1. 若U?{1,2,3,4,5,6,7,8}，A?{1,2,3}，B?{5,6,7}，则(CUA)(CUB)= A. {4,8} B. {2,4,,6,8} C. {1,3,5,7} D. {1,2,3,5,6,7}

13?i，则z?|z|? 2213131313A. ??B. ??C. ?D. ?i i i i

222222223. 设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(??c)=P(??c?2)，则c的值是

2. 已知复数z??A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3?1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是 x?1A. [2,??) B. (2,??) C. [1,??) D. (??,?1]

c?bsinA?5. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B= c?asinC?sinB???3?A. B. C. D.

46436. 已知函数f(x)?ln(x2?1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为

4. 已知p:x?k，q:A. 8

B. 9

C. 26

D. 27

7. 已知△ABC中，BC?10，AB·AC??16，D为边BC的中点，则AD等于 A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

8. 函数h(x)?2sin(2x??4)的图象与函数f(x)的图象关于点(0,1)对称，则函数f(x)可由

h(x)经过 的变换得到

?个单位 4?B. 向上平移2个单位，向左平移的单位

4?C. 向下平移2个单位，向右平移个单位

4?D. 向下平移2个单位，向左平移的单位

4A. 向上平移2个单位，向右平移

9. 一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记。该运动员在练习时击中10环的概率为a，击中9环的概率为b，既未击中9环也未击中10环的概率为（ca，b，c∈[0,1)），如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当取最小值时，c的值为 A.

101?a9b1 11 B.

2 11 C.

5 11 D. 0

10. 已知某算法的流程图如图所示，输入的数x和y为自然数，若已知输出的有序数对为(13,14)，则开始输入的有序数对(x,y)可能为

1

A. (6,7)

B. (7,6)

C. ?4,5?

D. (5,4)

x2y211. 已知双曲线2?2?1(a?0，b?0)的焦点F1(?c,0)、F2(c,0)(c?0)，过F2的直线

abl交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点。设F1B?F1C?m，F1A?F1D?n，则

下列各式成立的是 A. |m|?|n| B. |m|?|n| 12. 已知方程

C. |m?n|?0

D. |m?n|?0

|cosx|?k在(0,??)上有两个不同的解α、β(???)，则下列的四个命题正确x的是

A. sin2α=2αcos2α B. cos2α=2αsin2α

22

C. sin2β=-2βsinβ D. cos2β=-2βsinaβ

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）

33233323333213. 观察下列等式：1?1，1?2?3，1?2?3?6，1?2?3?4?10，…，根据上述规律，第n个等式为 .

14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为 .

32

215. 在区间[0,2]和[0,1]分别取一个数，记为x、y，则y??x?2x的概率为 . 16. P为正方体ABCD-A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=?BD1（??(0,1)）。下面结论： ①A1D⊥C1P；

②若BD1⊥平面PAC，则??1； 3 2

③若△PAC为钝角三角形，则??(0,)； ④若??(,1)，则△PAC为锐角三角形。

其中正确的结论为 .（写出所有正确结论的序号）

三、解答题

17. （本小题满分12分）

设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立。 （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn?log4|an|，求数列{12231}前n项和Tn。

bn·bn?2

18. （本小题满分12分）

某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分。上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示。

（1）分别求第三，四，五组的频率；

（2）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品。 ①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；

②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望。

3

19. （本小题满分12分）

已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O，AA1=23，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点。

（1）求证：A1C∥平面BMD； （2）求证：A1O⊥平面ABCD；

（3）求直线BM与平面BC1D所成角的正弦值。

20. （本小题满分1 2分）

已知圆M:x2?(y?2)2?1，直线l:y??1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切。设动圆圆心P的轨迹为E。 （1）求E的方程； （2）定点A（4，2），B，C为E上的两个动点，若直线AB与直线AC垂直，求证：直线BC恒过定点。

21. （本小题满分12分）

ax?b(a?0) 2x?1（1）求证：f(x)必有两个极值点，一个是极大值点，—个是极小值点；

，f(?)?1，求a、b的值； （2）设f(x)的极小值点为α，极大值点为β，f(?)??12（3）在（2）的条件下，设g(x)?f(ex)，若对于任意实数x，g(x)?恒成立，求22?mx已知函数f(x)?实数m的取值范围。

4

请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B，C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q。

（1）求证：AC=CQ·AB；

2

（2）若AQ=2AP，AB=3，BP=2，求QD。

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C1的极坐标方程为??22，直线l的极坐标方程为??21?sin?42sin??cos?。

（1）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；

（2）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值。

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a,b,c?R，a2?b2?c2?1。 （1）求证：|a?b?c|?3；

（2）若不等式|x?1|?|x?1|?(a?b?c)对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围。 答案

ADCBCB DAABCC

22n2(n?1)21252? 15． 16．①②④ 13．1?2?????n? 14．

343117．（Ⅰ）解：当n?1时，a1?5S1?1,?a1?? ………2分

4333 5

又

an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1 ?an?1?an?5an?1, ………4分

an?1111?? ∴数列?an?是首项为a1??，公比为q??的等比数列，

44an41n∴an?(?) ………6分

41（Ⅱ）bn?log4(?)n??n， ………8分

4111?11?所以????? ………10分

bnbn?2n(n?2)2?nn?2?1?11111?1?111?………12分 Tn??(1?)?(?)??(?)???1???2?324nn?2?2?2n?1n?2?? 即18．（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1 ………3分 （Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，而第三组共有100×0.3=30

1C281个，所以甲乙两产品同时被选中的概率为P?3? ………7分

C30145②第四组共有X个产品被购买，所以X的取值为0,1,2

11112C3?C326C3C2?C2C281；；； P(X?0)??P(X?1)??P(X?2)??222C615C615C615X012所以X的分布列为281 ………10分

P51515812EX???2? ………12分

1515319．（Ⅰ）证明: 连结MO

A1M?MA????MO//AC1?AO?OC???MO?平面BMD??AC1//平面BMD ………3分

?AC?平面BMD1???（Ⅱ）BD?AA1,BD?AC得BD?面A1AC于是BD?A1O AC?BD?O

6

?ABCD??1????BAD?60??AO?AC?3??2???AB?2??? ??AA1?23??AO?AC?1?平面ABCD??AO1?cos?A1AC?60??????????AO?BD?1?………7分

(Ⅲ)

如图建立直角坐标系，A,0)D(0,?1,0) 1(0,0,3)A(3,0,0)C(?3,0,0)B(0,1AC11?AC?(?23,0,0)?C1(?23,0,3)M(3333,0,)MB?(?,1,?) 2222DB?(0,2,0)BC1?(?23,?1,3)

设平面BC1D的法向量为n?(x,y,z)

??n?DB?02y?0??n?DB???????n?(3,0,2) ………9分 ???23?y?3z?0??n?BC1??n?BC1?0?9cos?BM,n?? ………11分

47所以，直线BM与平面BC1D所成角的正弦值为20．

222（Ⅰ）设P(x,y)，则x?(y?2)?(y?1)?1?x?8y ………4分

97 ………12分 28（Ⅱ）设直线BC：y?kx?b，B(x1,y1),C(x2,y2)

2将直线BC代入到x?8y中得x?8kx?8b?0，所以x1?x2?8k,x1x2??8b………5分

2又因为AB?(x1?4,y1?2),AC?(x2?4,y2?2) 所以

AB?AC?(x1?4)(x2?4)?(y1?2)(y2?2)?(x1?4)(x2?4)?(kx1?b?2)(kx2?b?2)?(k?1)x1x2?[k(b?2)?4](x1?x2)?(b?2)?16?022

??8b(k2?1)?8k[k(b?2)?4]?(b?2)2?16?0

?b2?12b?16k2?32k?20?0?(b?6)2?16(k?1)2?0………8分 ?b?4k?10或?b??4k?2 ………10分 所以恒过定点(?4,10) ………12分

21． （Ⅰ）f(x)?''a?x2?1??2x?ax?b??x22?1?2??ax2?2bx?a?x2?1?2

令f(x)?0?ax?2bx?a?0??4(b2?a2)?0 ………2分

?f'(x)?0有两实根不妨记为?,?

x ???,?? ? 0 极??,?? ? ? ? 0 极??,??? ? ? 7

f'(x) ? f(x) ?

小 大 所以，f(x)有两个极值点 ，一个极大值点一个极小值点 ………4分

2（Ⅱ）ax?2bx?a?0，由韦达定理得?????2b a2f?????1?????a??b?1?0??2??2?a??????2b?0????????????0???2f????1?????a??b?1?0 ……6分

?????0?b?0,???1,??1，所以a?2 ………7分

(Ⅲ)

2ex?0，所以m?0 ………8分 因为g(x)?2xe?1又因为当x?0时，不等式恒成立

ex?e?x?2所以，原问题?m?对一切x????,0??0,???恒成立

x2ex?e?x?2法一、设u(x)?（x????,0??0,???） 2xx?x2x?xx?xx?xe?ex?2xe?e?2e?ex?2e?e?2????????' u(x)??x4x3h(x)??ex?e?x?x?2?ex?e?x?2?h'(x)??ex?e?x?x??ex?e?x?设，h''(x)??ex?e?x?x

当x?0时，e?e'x?x，

''，所以h(x)?0，当x?0时，e?e'x?x，所以h(x)?0，

''所以h(x)在R上单调递增，又因为h(0)?0 所以当x?0时， h(x)?0，当x?0时， h(x)?0

所以h(x)在???,0?上递减，?0,???递增，所以h(x)?h(0)?0 ………10分 所以当x?0时， u(x)?0，当x?0时， u(x)?0

所以u(x)在???,0?上递减，?0,???递增，所以h(x)?limh(x)?1

x?0''''所以0?m?1 ………12分 法二不妨设x?0

h(x)??ex?e?x??mx2?2h'(x)??ex?e?x??2mx，h''(x)??ex?e?x??2m

x?x?2?2m，h''(x)?0，所以h'(x)在?0,???上单调递增，当m?1时，e?e??h'(x)?h'(0)?0所以

h(x)在?0,???上单调递增， h(x)?h(0)?0，所以当m?1时成立………10分

22''当m?1时h(x)?0得x?ln(m?m?1),令x0?ln(m?m?1)

当x??0，x0?时h(x)?0所以h(x)在?0，x0?上单调递减，h(x)?h(0)?0所以

'''''h(x)在?0，x0?上单调递减，h(x)?h(0)?0，与条件矛盾，同理x?0时亦如此 综上0?m?1 12分

22． （Ⅰ）

8

????AQC??ACB??PA为圆O切线??PAB??ACB????ACB~?CQA? AQ为圆O切线??QAC??CBA??ACAB??AC2?AB?CQCQACAB//CD??PAB??AQC………5分 （Ⅱ）

AB//CD??BPAPAB1?????AP1????PCPQQC3???QC?33,PC?6 AQ2???BP?2,AB?3?AP为圆O切线?AP2?PB?PC?12?QA?43

1623 ………10分 又因为AQ为圆O切线?AQ?QC?QD?QD?323．

（Ⅰ）C1:x2?2y2?2，l:2y?x?4 ………5分 （Ⅱ）设Q?2cos?,sin?，则点Q到直线l的距离

?2sin??2cos??42sin(??4)?42 ………8分 d???333???当且仅当???2k??，即??2k??（k?Z）时取等 ………10分

42424．解：（Ⅰ）由柯西不等式得，(a?b?c)2?(12?12?12)(a2?b2?c2)?3

∴?3?a?b?c?3 所以a?b?c的取值范围是[?3,3] ………5分

222（Ⅱ）同理，(a?b?c)?[1?（?1）?12](a2?b2?c2)?3 ………7分 若不等式|x?1|?x?1?(a?b?c)对一切实数a,b,c恒成立， 则x?1?x?1?3，解集为(??,?]?[,??)

2?3232………10分

9

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