第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

一、选择题

1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos ??π?4－α?

??，则sin 2α等于( )

A.12 B．－1

2 C.

22 D．－22

解析 由cos 2α＝cos ??π?4－α???

得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝2

2(cos α＋sin α)

由α为锐角知cos α＋sin α≠0. ∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12

. ∴sin 2α＝1

2.

答案 A

2．若1＋cos 2α1

sin 2α＝2，则tan 2α等于

( )．

A.54

B．－5

4

C.4

3 D．－43 解析 1＋cos 2α2cos2αcos α1sin 2α＝2sin αcos α＝sin α＝2， ∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α

1－tan2α＝41－4＝－4

3，故选D. 答案 D

3．已知α，β都是锐角，若sin α＝

55，sin β＝1010

，则α＋β＝ ( A.π

4

B.3π4

)． C.

π3π和 44

D．－

π3π

和－ 44

25

，cos β＝5

解析 由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin2α＝

2

310

1－sinβ＝.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝

102π，所以α＋β＝. 24答案 A

π?4?

0<θ

A.3

2

B．－3

1

C.3

1D．－3 4167

解析 ∵sin θ＋cos θ＝3，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝9，∴sin 2θ＝9，又π

0<θ<4，∴sin θ

π?1?5．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg?a?，且α＋β＝4，则实数a的值为

??

( )．

?sin θ－cos θ?2＝－

1－sin 2θ＝－

A．1

1

B.10 1

C．1或10

D．1或10

?1??a?lg?10a?＋lgtan α＋tan β??2

解析 tan(α＋β)＝1?＝＝1?lga＋lg a＝0，所

?1?1－tan αtan β1－lg?10a?·lg?a???1

以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或10. 答案 C

π?7π?43??α－α＋?＋sin α＝?的值是( )． 6．已知cos?，则sin?

6?6?5??

232344A．－ B. C．－ D. 5655π?4333?

α－?＋sin α＝解析 cos??sin α＋cos α

6?522?＝

π?443?

?sin?α＋?＝，

6?55?

7π?π?4??

所以sin?α＋?＝－sin?α＋?＝－.

6?6?5??答案 C 二、填空题

π?1π???

7．已知cos ?α＋?＝，α∈?0，?，则cos α＝________.

4?32???π?π?π3π??

解析 ∵α∈?0，?，∴α＋∈?，?，

2?4?4?4?π?22?

∴sin ?α＋?＝.

4?3?π?π?

故cos α＝cos [?α＋?－]

4?4?

π?π?ππ??

＝cos ?α＋?cos＋sin ?α＋?sin 4?4?44??122224＋2

＝×＋×＝. 323264＋2答案

6

π?4?

8．设α为锐角，若cos?α＋6?＝5，则

??π??

sin?2α＋12?的值为________． ??π?4?

α＋解析 ∵α为锐角且cos?＝， 6???5π?3π?π2π??

，α＋???∴α＋6∈63，∴sin＝. 6?????5π?π?π????α＋6?－? ∴sin?2α＋12?＝sin?2?

?4?????

π?π?ππ??

＝sin 2?α＋6?cos 4－cos 2?α＋6?sin 4

????π??π?π??2???

＝2sin?α＋6?cos?α＋6?－2?2cos2?α＋6?－1?

????????342??4?2?12272172

＝2×5×5－2?2×?5?－1?＝25－50＝50.

????答案

172

50 9．函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．

π??

解析 ∵f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋2sin?2x＋?，

4??∴f(x)min＝1－2. 答案 1－2

?ππ?

10．方程x＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根为tan A，tan B，且A，B∈?－2，2?，

??

2

则A＋B＝________.

解析 由题意知tan A＋tan B＝－3a<－6，tan A·tan B＝3a＋1>7，∴tan A<0，tan B<0， tan(A＋B)＝

tan A＋tan B1－tan Atan B

＝－3a1－?3a＋1?

＝1.

?ππ??π?

－，??∵A，B∈22，∴A，B∈?－2，0?， ????3π

∴A＋B∈(－π，0)，∴A＋B＝－4. 答案 －三、解答题

π?π???

11．已知函数f(x)＝sin?2x＋3?＋sin?2x－3?＋2cos2x－1，x∈R.

????(1)求函数f(x)的最小正周期；

?ππ?

(2)求函数f(x)在区间?－4，4?上的最大值和最小值．

??

3π

4

ππππ

解 (1)f(x)＝sin 2x·cos3＋cos 2x·sin3＋sin 2x·cos3－cos 2x·sin3＋cos 2x＝sin π??

2x＋cos 2x＝2sin?2x＋4?.

??2π

所以，f(x)的最小正周期T＝2＝π.

?ππ??ππ??π?－，，(2)因为f(x)在区间?48?上是增函数，在区间?84?上是减函数．又f?－4?＝???????π??π??ππ?

－1，f?8?＝2，f?4?＝1，故函数f(x)在区间?－4，4?上的最大值为2，最小

??????值为－1.

π?π?335???ππ?12．已知sin α＋cos α＝5，α∈?0，4?，sin?β－4?＝5，β∈?4，2?.

??????(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．

9

解 (1)由题意得(sin α＋cos α)＝5，

2

94

即1＋sin 2α＝5，∴sin 2α＝5.

π?3?

又2α∈?0，2?，∴cos 2α＝1－sin22α＝5，

??sin 2α4

∴tan 2α＝cos 2α＝3. π?π?3π??ππ??

(2)∵β∈?4，2?，β－4∈?0，4?，sin?β－4?＝5，

??????π?4?

∴cos?β－4?＝5，

??

π?π??π?24??

于是sin 2?β－4?＝2sin?β－4?cos?β－4?＝25.

??????π?24?

又sin 2?β－4?＝－cos 2β，∴cos 2β＝－25，

??7?π?

又2β∈?2，π?，∴sin 2β＝25，

??又cos2α＝

1＋cos 2α4π??

＝，α∈?0，4?， 25??

255

∴cos α＝5，sin α＝5.

∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β 25?24?57115＝5×?－25?－5×25＝－25. ??

ωx

13．函数f(x)＝6cos22＋ 3sin ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形． (1)求ω的值及函数f(x)的值域；

8 3?102?(2)若f(x0)＝5，且x0∈?－3，3?，求f(x0＋1)的值．

??解 (1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx＋ 3sin ωx π??

＝23sin?ωx＋3?，

??

又正三角形ABC的高为23，从而BC＝4， 2ππ

所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即ω＝8，ω＝4. 函数f(x)的值域为[－23，23]． 83

(2)因为f(x0)＝5，

?πx0π?83

由(1)有f(x0)＝23sin?4＋3?＝5，

???πx0π?4

即sin?4＋3?＝5.

??

πx0π?ππ??102?由x0∈?－3，3?，知4＋3∈?－2，2?，

?????πx0π?所以cos?4＋3?＝

??

?4?3

1－?5?2＝5. ??

?πx0ππ?

故f(x0＋1)＝23sin?4＋4＋3?

????πx0π?π?＋?＋? ＝23sin??

??43?4?

??πx0π?π?πx0π?π?＋??4＋3?sin? cos＋cos＝23?sin?

??4???43?4?4232?76

＝23×?×＋×?＝5.

?5252?14．(1)①证明两角和的余弦公式

C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式

S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.

3?41??π?

(2)已知cos α＝－，α∈?π，π?，tan β＝－，β∈?，π?，

2?53??2?求cos(α＋β)．

解 (1)证明 ①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox轴非负半轴，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.

则P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．

由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得

[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. ?π?

②由①易得，cos?－α?＝sin α，

?2??π?

sin?－α?＝cos α. ?2??πsin(α＋β)＝cos ?－

?2??π?＝cos??－α?＋

??2?

－β

α＋β?

? ?

?? ?

?π??π?

＝cos?－α?cos(－β)－sin?－α?sin(－β)

?2??2?＝sin αcos β＋cos αsin β.

∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. 3?43?

(2)∵α∈?π，π?，cos α＝－，∴sin α＝－. 2?55?

1?π?

∵β∈?，π?，tan β＝－，

3?2?∴cos β＝－

31010

，sin β＝. 1010

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 10310?4??310??3?

－－??????＝×－－×＝.

1010??5?10?5??

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