微积分课程教学大纲

《微积分(I)》课程教学大纲

英文译名：Calculus I 适用专业：

学 分 数：6 总学时数：96

一、本课程教学目的和任务

通过本课程的学习，使学生获得一元函数微积分学、向量代数和空间解析几何等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。同时，注重培养学生获取知识能力、应用能力和创新能力，提高学生的素质。

二、本课程的基本要求

1．理解函数的概念，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解复合函数的概念，了解反函数、分段函数的概念。会建立简单实际问题的函数关系模型。

2．理解极限的概念(对极限的ε—N、ε—δ定义，可在教学过程中逐步加深理解，对于给定ε求N或δ不作过高要求)，掌握极限四则运算法则，了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)，会用两个重要极限求极限，了解无穷小、无穷大的概念，会用无穷小的比较求极限。

3．理解函数在一点连续的概念，了解间断点的概念并会判别间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大值最小值定理)。

4．理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导与连续之间的关系，掌握导数与微分的运算法则和导数的基本公式，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法，会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会用导数描述一些几何量与物理量。 5．理解拉格朗日中值定理，了解罗尔中值定理、柯西中值定理和泰勒公式。

6．理解函数极值的概念，会求函数的极值；会判断函数的单调性、函数图形的凹凸性，会求拐点；会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线)；会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。

7．会用罗必达法则求不定式的极限。 8．会求曲线的曲率和曲率半径。

9．理解不定积分和定积分的概念和性质，掌握换元积分法和分部积分法，含有理函数和三角函数有理式的积分，理解变上限函数及求导定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，了解广义积分的概念，掌握用定积分求一些几何量和物理量(如平面面积、体积、平面弧长、功、压力、引力等)的方法。

10．理解向量的概念，掌握向量的线性运算、数量积、向量积，了解两个向量平行、垂直的条件，掌握单位向量、方向余弦及用坐标表达式进行向量运算，会向量间的投影。掌握平面方程和直线方程的求法。了解曲面方程和空间曲线方程概念及常用方程的图形。 三、本课程与其他课程的关系(前修课程要求等) 初等数学与普通物理学的基础。

四、课程内容(重点及必须掌握内容、章节加*号或另作说明；文字多请另加纸) 第一章 函数与极限

函数、*数列与函数极限、*极限运算法则与性质、*两个重要极限、无穷小比较、*函数连续性及性质。

第二章 导数及微分

*导数概念、*求导法则、*高阶导数、*隐函数及参数式函数的导数、导数简单应用(曲线的切线、相关变化率)、微分及应用。

第三章 中值定理与导数应用

*中值定理、罗必达法则、泰勒公式、*函数的性态、*最值问题、曲率。 第四章 不定积分

不定积分概念与性质、*换元积分法、*分部积分法、几种类型函数的积分。 第五章 定积分

*定积分概念及性质、*微积分基本公式、*换元法和分部积分法、广义积分。 第六章 定积分应用 *几何应用、物理应用。

第七章 空间解析几何与向量代数

*向量及运算、曲面及方程、空间曲线及方程、*平面及方程、*空间直线及方程、二次曲面。 五、其它(如习题或作业、实验、上机、课程设计等内容和要求，根据实际安排按序编写)

《高等数学习题集》上册，《高等数学综合复习题》上册，作为作业 六、选用教材及主要参考书(写明名称、编著者、出版社、出版时间) 1、教材

《高等数学》上册(第四版)，同济大学数学教研室，高等教育出版社，1996年12月 七、学时分配 课程内容 讲课 实验 上机 大作业 小计 第一章 函数及极限 20 20 第二章 导数与微分 12 12 第三章 中值定理与导数应用 16 16 第四章 不定积分 12 12 第五章 定积分 10 10 第六章 定积分应用 8 8 第七章 空间解析几何与向量代数 16 16 机动 2 2 合 计 96 96

《微积分(II)》课程教学大纲

英文译名：Calculus II 适用专业：

学 分 数：6 总学时数：96

一、本课程教学目的和任务

通过本课程的学习，使学生获得多元函数微、积分学、无穷级数和常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。同时，注意培养学生获取知识能力、应用能力和创新能力，提高学生的素质。

二、本课程的基本要求

1、了解常微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。 2、掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法。

3、会解齐次方程和伯努力方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的思想方法，会解全微分方程。

4、会用降阶法解下列方程：y\?f(x,y'),y\?f(y,y')。

5、理解二阶线性微分方程解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法；会求非齐次项形如Pn(x)e?x,e?x(Acos?x?Bsin?x)的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

6、会建立一些简单的几何和物理问题的常微分方程数学模型并求解。

7、理解无穷级数收敛、发散及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 8、掌握几何级数及P--级数的收敛性。

9、了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 10、了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截误差。

11、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。

12、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念，掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 13、了解函数展开为泰勒级数的充要条件；会用ex、sinx、cosx、?n(1?x)和(1?x)?的麦克劳林级数展开式将一些简单函数展开成幂级数。

14、了解函数展开为傅立叶级数的狄里克莱条件；会将定义在(??,?)和(??,?)上的函数展开为傅立叶级数；会将定义在(0，π)上的函数展开为正弦级数或余弦级数。

15、理解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义----曲面与空间的曲线。 16、了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 17、理解偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的充要条件。

18、掌握多元复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数；会求隐函数的偏导数。

19、了解曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，并会求其方程。 20、了解方向导数及梯度的概念及其计算方法。

21、理解多元函数极值和条件极值的概念；会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法；会建立一些较简单的最大值和最小值问题的数学模型并求解。 22、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

23、掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

24、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质，会计算两类曲线积分。

25、掌握格林公式，会使用平面曲线积分与路线无关的条件。

26、了解两类曲面积分的概念及高斯定理，斯托克斯公式，会计算两类曲面积分。

27、会用重积分、曲线积分、曲面积分求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量等)。

三、本课程与其他课程的关系(前修课程要求等) 一元函数微、积分学和空间解析几何的基础。

四、课程内容(重点及必须掌握内容、章节加*号或另作说明；文字多请另加纸) 第八章 多元函数微分方法及应用

多元函数概念、二元函数极限与连续、*偏导数、*全微分概念、*多元复合函数求导法则、*隐函数求导法则、*微分法在几何上应用、方向导数、梯度*多元函数的极值及应用。

第九章 重积分

*二重、三重积分概念与性质、*二重、三重积分的计算法、*重积分的几何应用、重积分的物理应用。

第十章 曲线积分与曲面积分

第一型曲线积分、*第二型曲线积分、*格林公式及应用、第一型曲面积分、*第二型曲面积分、*高斯公式、斯托克斯公式。

第十一章 无穷级数

*常数项级数概念和性质、*常数项级数的审敛法、*幂级数、*函数展开成幂级数、*2π为周期的傅里叶级数、正、余弦级数。

第十二章 常微分方程

微分方程概念、*可分离变量方程、齐次方程、*一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程、可降价的方程、高阶线性方程、*二阶常数线性齐次方程、*二阶常系数线性非齐次方程。 五、其它(如习题或作业、实验、上机、课程设计等内容和要求，根据实际安排按序编写)

《高等数学习题集》下册、《高等数学综合复习题》下册作为作业。 六、选用教材及主要参考书(写明名称、编著者、出版社、出版时间) 1、教材

《高等数学》下册(第四版)，同济大学数学教研室，高等教育出版社，1996年12月 七、学时分配 课程内容 讲课 实验 上机 大作业 小计 第八章 多元函微分法及应用 24 24 第九章 重积分 16 16 第十章 曲线积和曲面积分 18 18 第十一章 无穷级数 18 18 第十二章 常微分方程 18 18 机动 2 2 合 计 96 96

《微积分(经济类)(I)》课程教学大纲

英文译名：Calculus in Economics I 适用专业：

学 分 数：6 总学时数：96

一、本课程教学目的和任务

通过本课程的学习，使学生获得： 1． 一元函数微积分。

2． 向量代数和空间解析几何等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力，逻辑推理能力，空间想象能力和自学能力。还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

二、本课程的基本要求 1．了解下列基本概念

函数极限，无穷小，连续，间断，导数，微分，极值，不定积分，定积分及其基本性质，广义积分的收敛和发散，边际，弹性，收支流的贴现价值，剩余，向量的点积和叉积，空间直线和平面的方程，曲面方程和空间曲线方程。 2．知道下列基本概念

无穷小与无穷大的关系，导数的几何意义，导数和积分的经济意义，洛尔定理，拉格朗日中值定理，广义积分的敛教条件，特殊曲面和曲线方程，一些函数的麦克劳林展开式，向量的方向余弦，向量平行、垂直的条件。 3．熟练掌握

二个重要极限，基本初等函数导数公式及复合函数求导，洛必达法则，函数性态研究，不定积分、定积分的计算，求函数的边际和弹性，向量的运算。 4. 掌握

求极限的基本方法，讨论简单分段函数连续性方法，隐函数求导，变上限求导，函数作图基本步骤，由边际函数求总函数，求收支流的贴现价值，求剩余，空间直线和平面方程的求法。 5．会

求曲线的曲率和曲率半径，利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积及平行截面为已知的立体的体积。

三、本课程与其他课程的关系(前修课程要求等) 初等数学与普通物理学的基础及经济数学基础。

四、课程内容(重点及必须掌握内容、章节加*号或另作说明；文字多请另加纸) 第一章 函数与极限

函数、*数列与函数极限、*极限运算法则与性质、*两个重要极限、无穷小比较、*函数连续性及性质、常见的经济函数。 第二章 导数及微分

*导数概念、*求导法则、*高阶导数、*隐函数及参数式函数的导数、导数简单应用(曲线的切线、相关变化率)、微分及应用、导数在经济分析中的应用。 第三章 中值定理与导数应用 *中值定理、*罗比达法则、泰勒公式、*函数的性态、*最值问题(几何上、物理上、经济上)、

曲率。

第四章 不定积分

不定积分概念与性质、*换元积分法、*分部积分法、几种类型函数的积分。 第五章 定积分

*定积分概念及性质、*微积分基本公式、*换元法和分部积分法、广义积分。 第六章 定积分应用

*几何应用、物理应用、经济应用。 第七章 空间解析几何与向量代数

*向量及运算、曲面及方程、空间曲线及方程、*平面及方程、*空间直线及方程、二次曲面。 五、其它(如习题或作业、实验、上机、课程设计等内容和要求，根据实际安排按序编写)

《高等数学习题集》上册、《高等数学综合复习题》上册作为作业。 六、选用教材及主要参考书(写明名称、编著者、出版社、出版时间) 1、教材

《高等数学》上册(第四版)，同济大学数学教研室，高等教育出版社，1996年12月 2、参考书

《微积分》，陈慧玉等编，财经大学出版社 七、学时分配 课程内容 讲课 实验 第一章 函数及极限 20 第二章 导数与微分 12 第三章 中值定理与导数应用 16 第四章 不定积分 12 第五章 定积分 10 第六章 定积分应用 8 第七章 空间解析几何与向量代数 16 机动 2 合 计 96

上机 大作业 小计 20 12 16 12 10 8 16 2 96 《微积分(经济类)(II)》课程教学大纲

英文译名：Calculus in Economics II 适用专业：

学 分 数：6 总学时数：96

一、本课程教学目的和任务

通过本课程的学习，使学生获得：1) 多元函数微积分；2) 常微分方程；3) 无穷级数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。同时，注重培养学生获取知识能力、应用能力和创新能力，提高学生的素质。 二、本课程的基本要求 1．了解下列基本概念

二元函数的极限与连续，偏导数，方向导数，全微分，极值，重积分，曲线、曲面积分，最值问题在经济上的应用，曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，级数的收敛与发散，无穷级数的基本性质及收敛的必要条件，函数项级数的收敛域及和函数，傅氏级数，常微分方程的解、通解、特解。

2．知道下列基本概念

有界闭区域上连续函数的性质，全微分存在的充要条件，拉格朗日乘数法，二重、三重积分的几何、物理意义，两类曲线、曲面积分的性质，幂级数在其收敛区间内的基本性质，一些函数的麦克劳林展开式，函数能展成F氏级数狄里克莱条件及展法，微分方程通解的结构，高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

3．熟练掌握

复合函数的二阶偏导数，二重积分(直角坐标，极坐标)的计算，三重积分(直角坐标，柱面坐标，球面坐标)的计算，两类曲线、曲面积分的计算，格林公式，高斯公式，正项级数，交错级数敛散性的判别，函数展成正弦、余弦级数，变量可分离的微分方程、齐次方程及一阶线性微分方程的解法。

4．掌握

隐函数偏导数的求法，曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法，求成本的最小化和产量的最大化，幂级数收敛区间的求法，函数展成幂级数的间接展开法，二次常系数非齐次线性微分方程二种类型的特解。

5．会

会使用平面曲线积分与路径无关的条件，利用重积分、曲线、曲面积分计算—些几何量、物理量、经济量，将定义在(-π，π)上的函数展开为傅氏级数，伯努里方程的求解，方程的降阶，会建立一些简单实际问题的微分方程的数学模型并求解。 三、本课程与其他课程的关系(前修课程要求等) 一元函数微、积分学和空间解析几何的基础。

四、课程内容(重点及必须掌握内容、章节加*号或另作说明；文字多请另加纸) 第八章 多元函数微分法及应用

多元函数概念、二元函数极限与连续、*偏导数、*全微分概念、*多元复合函数求导法则、*隐函数求导法则、*微分法在几何上的应用、方向导数、梯度*多元函数的极值及应用、偏导数在经济上的应用、经济上的最值问题。 第九章 重积分

*二重、三重积分概念与性质，*二重、三重积分的计算法，*重积分的几何应用，重积分的物理应用。

第十章 曲线积分与曲面积分

第一型曲线积分、*第二型曲线积分、*格林公式及应用、第一型曲面积分、*第二型曲面积分、高斯公式、斯托克斯公式。 第十一章 无穷级数

*常数项级数概念和性质、*常数项级数的审敛法、*幂级数、*函数展开成幂级数、*2π为周期的傅立叶级数、正、余弦级数。 第十二章 常微分方程

微分方程概念、*可分离变量方程、齐次方程、*一阶线性方程、伯努里方程、全微分方程、可降阶方程、高阶线性方程、*二阶常系数线性齐次方程、*二阶常系数线性非齐次方程。 五、其它(如习题或作业、实验、上机、课程设计等内容和要求，根据实际安排按序编写)

《高等数学习题集》下册、《高等数学综合复习题》下册作为作业。 六、选用教材及主要参考书(写明名称、编著者、出版社、出版时间) 1、教材

《高等数学》下册(第四版)，同济大学数学教研室，高等教育出版社，1996年12月 2、参考书

《微积分》，陈慧玉等编，财经大学出版社 七、学时分配 课程内容 讲课 实验 第八章 多元函数微分法及应用 24 第九章 重积分 16 第十章 曲线积分和曲面积分 18 第十一章 无穷级数 18 第十二章 常微分方程 18 机动 2 合 计 96

上机 大作业 小计 24 16 18 18 18 2 96

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