高三数学训练题四答案

（２）∵AB‖平面OCD,∴点A和点B到平面OCD的距离相等，

连接OP,过点A作AQ?OP 于点Q，

∵AP?CD,OA?CD,∴CD?平面OAP, ∵AQ?平面OAP,∴AQ?CD

又 ∵AQ?OP,∴AQ?平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

∵OP?OD?DP?OA?AD?DP?222224?1?1322，AP?DP? ?222

2OA?AP2?2，所以点B到平面OCD的距离为2 ∴AQ??3OP33222?方法二(向量法)

作AP?CD于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系

A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,222,0),D(?,,0),O(0,0,2),M(0,0,1), 222(1)设AB与MD所成的角为?,

?????????22∵AB?(1,0,0),MD?(?,,?1)

22?????????AB?MD1? ∴cos????????????,∴?? ,

3AB?MD2∴AB与MD所成角的大小为

? 3????????222(2) ∵OP?(0,,?2),OD?(?,,?2)

222∴设平面OCD的法向量为n?(x,y,z),则n?OP?0,n?OD?0

?????????2y?2z?0??2即 ?

??2x?2y?2z?0??22取z?2,解得n?(0,4,2)

????设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n?(0,4,2)上的投影的绝对值,

????OB?n2?????. ∵OB?(1,0,?2), ∴d?n3所以点B到平面OCD的距离为

2 322．在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，?3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y?kx?1与C交于A,B两点． （Ⅰ）写出C的方程；

?????????（Ⅱ）若OAOB，求k的值；

????????（Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k?0时，恒有||OA|?|OB|．

22．本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分． 解：

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，?3)，，(03)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b?222?(3)2?1，

y2?1． ······················· 4分 故曲线C的方程为x?4（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足

?2y2?1，?x? 4??y?kx?1.?消去y并整理得(k?4)x?2kx?3?0， 故x1?x2??22????????若OA?OB，即x1x2?y1y2?0．

而y1y2?kx1x2?k(x1?x2)?1，

22k3，xx??． ··················· 6分 12k2?4k2?433k22k2???1?0， 于是x1x2?y1y2??2k?4k2?4k2?42化简得?4k?1?0，所以k???????2?????22222（Ⅲ）OA?OB?x1?y1?(x2?y2)

1． ····················· 8分 2222 ?(x1?x2)?4(1?x12?1?x2)

??3(x1?x2)(x1?x2) ?6k(x1?x2)． 2k?43知x2?0，从而x1?x2?0．又k?0， 2k?4因为A在第一象限，故x1?0．由x1x2???????2?????2故OA?OB?0，

??????????即在题设条件下，恒有OA?OB． ····················· 14分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3

小题满分8分） 由函数y?f(x)确定数列{an}，an?f(n)，函数y?f(x)的反函数y?f?1(x)能确定数列{bn}，bn?f?1(n)，若对于任意n?N，都有bn?an，则称数列{bn}是数列{an}的“自反数列”.

*px?1确定数列{an}的自反数列为{bn}，求an； x?11n （2）已知正数数列{cn}的前n项之和Sn?(cn?)。写出Sn表达式，并证明你的结

2cn （1）若函数f(x)?论；

（3）在（1）和（2）的条件下，d1?2，当n?2时，设dn??1，Dn是数列{dn}的2anSn前n项之和，且Dn?loga(1?2a)恒成立，求a的取值范围.

?23．解：（1）由题意的：f（x）

所以an?－11?xpx?1?（fx）?，所以p ??1，????2分 x?px?1?n?1??????????????????????????3分 n?11n （2）因为正数数列{cn}的前n项之和Sn?（cn?），

2cn11 所以c1?（c1?），解之得：c1?1，S1?1??????????????4分

2c1n 当n? 2时，cn?Sn–Sn–1，所以2Sn?Sn?Sn–1?，??????5分

Sn?Sn?1n22 ，即：SnSn?Sn–1??Sn?1?n，??????????????7分

Sn?Sn?1

222222所以，Sn，，??，?S?n?1S?S?n?2S?S?1n?2n?2n?321?2，累加得：

2Sn?S12?2?3?4????n，??????????????????9分

n(n?1)2Sn?1?2?3?4????n? ，

2n(n?1) ????????????????????????10分 Sn?2 （3）在（1）和（2）的条件下，d1?2，

?1211 当n?2时，设dn???2(?)，???????13分 2anSnn(n?1)n?1n1Dn?d1?d2????dn?2(2?)???????????????16分

n 因为Dn?log（恒成立，即log（恒小于Dn的最小值， ））a1?2aa1?2a 显然Dn的最小值是在n?1时取得，即（(Dn)min?2，

所以log（）?21，?2a?0，所以0?a?a1?2a2?1?????????18分

高三综合练习卷答案

一、填空题：

1．设全集U?2,3,a2?2a?3,集合A?3,a????，CUA??5?，则a?__2___

2.已知等差数列?an?的公差d?2，若a1、a3、a4成等比数列，则a1＝＿＿＿?8＿＿＿

2xi33.若复数x满足?x2,则x? ?2?2i

22i1?1??1?4.已知集合A??x?2?，B??x()x?4?，则A?B?_____(?2,0)?[,??)

2?2??x?5.若x2?2x10?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2?...?a10(x?1)10,则a0?_3__________ 6．函数y?Asin(?x??) （A,?,?为常数，A?0,??0）在闭区间[??,0]上的图象如图y 所示，则?? 3 1 7. 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，在(0，+∞)内是增函数，又f(2)?0，则

?? ? O 1 x ?f(x)?f(?x)3?0的解集为

x题（6）图 ____[?2,0)?(0,2]_________

8.同一个与正方体各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能是①矩

形；②直角梯形；③菱形；④正方形中的__①③④____（写出所有可能图形的序号）.

?1(x?0)1?x(?)|的解集为9．若函数f(x)?? 则不等式|fx(x?1)(x?0)3?lo1g?8______[?3,0)?[1,??)___ ?a11?10.三阶矩阵?a21?a?31a13??a22a23?中有9个数ai,j(i?1,2,3;j?1,2,3),从中任取三个数,则至少a32a33??133?2?1有两个数位于同行或同列的概率是________________ ?1?314C9??????11.已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b?(a?b)?0，则|b|的取值范围是[0,1]

12. （理）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是??2cos(??1).

a12?x?0，?（文）设x，y满足约束条件?x?y，则z＝3x＋2y的最大值是_5________．

?2x?y?1，?13.把实数a,b,c,d排形成如??ab??的形式，称之为二行二列矩阵.定义矩阵的一种运算

?cd??ab??x??ax?by??ab?(x,y)·,该运算的几何意义为平面上的点在矩阵?????????的作用

?cd??y??cx?dy??cd?下变换成点(ax?by,cx?dy),则点(2,3)在矩阵??01??的作用下变换成点_（3,2）.又若?10?曲线x2+4xy?2y2?1在矩阵?2.

?1a?22?的作用下变换成曲线x?2y?1,则a?b的值为 ?b1?13. 解析:(ax?by,cx?dy)?(0?2?1?3,1?2?0?3)??3,2?, 设?x,y?是曲线x2+4xy?2y2?1的点，在矩阵??1a?,即（x?,y?）?的作用下的点为

?b1??x'?x?ay,又x?2?2y?2?1, ??y'?bx?y,2222∴?x?ay??2?bx?y??1,1?2bx?(2a?4b)xy?a?2y?1.

22?????1?2b?1,?a?2,?故?2a?4b?4,??∴a?b?2.

b?0.??a2?2?2,?14．设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V，记a的象为

f(a)。若映射f:V?V满足：对所有a,b?V及任意实数?,?都有f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平面M上的线性变换。现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，则f(0)?0

②对a?V设f(a)?2a，则f是平面M上的线性变换；

③若e是平面M上的单位向量，对a?V设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换； ④设f是平面M上的线性变换，a,b?V，若a,b共线，则f(a),f(b)也共线。 其中真命题是 ① ② ④ （写出所有真命题的序号） 【考点定位】本小题考查新定义，创新题。

解析：令a?b?0,????1，由题有f(0)?2f(0)?f(0)?0，故①正确； 由题f(?a??b)?2(?a??b)，?f(a)??f(b)?2?a?2?b?2(?a??b)，即

f(?a??b)??f(a)??f(b)，故②正确；

由题f(?a??b)??a??b?e，?f(a)??f(b)??a?e??b?e，即

f(?a??b)??f(a)??f(b)，故③不正确；

由题b?二、选择题：

r15.组合数Cn(n?r?1,n,r?Z)恒等于 ( D )

?a，f(0)?f(a??b)?f(a)??f(b)?0?f(a)??f(b)，即

f(a),f(b)也共线，故④正确；

（Ａ）

r?1r?1nr?1r?1r?1Cn?1. （Ｂ）(r?1)(n?1)CnCn?1 . （Ｃ）. （Ｄ）nrC?1n?1n?1r16.已知函数f(x)?sin(x??2)(x?R)，下面结论错误的是 ( D ) () ．．

A.函数f(x)的最小正周期为2? B.函数f(x)在区间?0,

???

上是增函数 ?2??

C.函数f(x)的图像关于直线x?0对称 D.函数f(x)是奇函数

【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等，基础题。（同文4）

解：f(x)??cosx，其中A、C显然正确，故选择D。 17.如图，在半径为3的球面上有A,B,C三点，

??ABC?90,BA?，球心BCO到平面ABC的距离是

32，2则B、C两点的球面距离是 ( B ) A.

?4? B.? C. D.2? 33【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距，基础题。

（同文9）

解析：由知截面圆的半径

r?9?离为3??18322OC?，故?B所以B、C两点的球面距??BC??32?3，

3422??，故选择B。

??318．（理）异面直线a,b成80角，点P是a,b外的一个定点，若过P点有且仅有2条直线

与a,b所成的角相等且等于?，则?属于集合 （ B ）

A．{?|0???40}

??B．{?|40???50}

??C．{?|40???90}

????D．{?|50???90}

??（文）异面直线a,b成80角，点P是a,b外的一个定点，若过P点有且仅有n条直线与a,b所成的角相等且等于45，则n的值为 （ B ）

A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题：

19.（14分）已知函数f(x)?cos(2x??)?2sin(x?)sin(x?) 344??（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数f(x)在区间[?,]上的值域

122??解：（1）?f(x)?cos(2x??)?2sin(x?)sin(x?)

344??13?cos2x?sin2x?(sinx?cosx)(sinx?cosx) 2213?cos2x?sin2x?sin2x?cos2x 2213?cos2x?sin2x?cos2x 22?2??sin(2x?) ∴周期T???

62??k???(k?Z) 由2x??k??(k?Z),得x?6223∴函数图象的对称轴方程为 x?k???3????5?] （2）?x?[?,],?2x??[?,122636因为f(x)?sin(2x?所以 当x?(k?Z)

?6)在区间[?,]上单调递增，在区间[,]上单调递减，

12332?????3时，f(x)取最大值 1

又 ?f(??12)???3?13 ?f()?，当x??时，f(x)取最小值?1222223,]上的值域为[?,1] 1222所以 函数 f(x)在区间[???20.（14分）甲、乙、丙三个口袋内都分别装有6个不相同的球，并且每个口袋内的6个球

均有1个红球，2个黑球，3个无色透明的球，现从甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出1个球. 理科：（1）求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率；

（2）求摸出的3个球中含有有色球数ξ的概率分布列和数学期望. 文科：（1）求恰好摸出2个黑球的概率；

（2）求恰好摸出红球、黑球和无色透明球各1个的概率； （3）求摸出的3个球中至少有1个是有色球的概率.

20.由于各个袋中球的情况一样，而且从每一个袋中摸出红球、黑球、无色球的概率均分别

111,,，所以根据相互独立事件同时发生的概率公式可得. 63211113理科：（1）P=A3×××=.

6326为

（2）ξ的取值为0，1，2，3，并且

131112311)=;P(ξ=1)=C3(+)()=;

86328212131312131P(ξ=2)=C3(+)()=;P(ξ=3)=C3(+)=. 6363828P(ξ=0)=(

从而ξ的概率分布列为

ξ P 并且Eξ=0×

0 1 2 3 1 83 83 81 813313+1×+2×+3×=. 8888212212

文科：（1）P=C3()(1-)=;

33911113(2)P=A3×××=.

6326137(3)P=1-()=

2821. (16分)如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的 菱形，?ABC??4,

OA?底面ABCD, OA?2,M为OA的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（8分）

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。（8分）

方法一（综合法）

（1）?CD‖AB,

∴?MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补

作AP?CD于P,连接MP

OMABCDO角）

∵OA?平面ABCD，∴CD?MP

∵?ADP?M

?4,∴DP=22 2，

QACP

∵MD?MA?AD?22DDP1?∴cos?MDP??,?MDC??MDP?

MD23

所以 AB与MD所成角的大小为

B? 3

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