转化思想在中学数学解题中的应用111

转化思想在中学数学解题中的应用

尚高飞

摘要

数学学习，不仅要熟练掌握基础知识，更要重视思想的学习．数学思想方法是数学的精髓，也是将理论知识转化为实践技能的桥梁.在众多数学思想方法中，转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是数学中最基本最重要的思想方法之一.本文将就转化思想的概念、分类、研究价值以及应用转化思想解题时应该遵循的基本原则作简单的阐述，并通过对中学数学中常见的数学题型的研究，初步分析该思想在解中学代数问题与几何问题中的应用，以期引起同行的共识，注意在日常教学中加强对学生数学思想的“渗透”. 在解决数学问题时，根据问题的实际性与联系性，科学的设计解决问题的思路，采取得体的数学思想方法适时疏导，用恰当的语言对所学知识进行概括和总结，以知识讲方法，以方法取知识，提高学生学习数学的积极性.

关键词：中学数学；转化思想；数学问题

Transforming thinking in mathematics problem

solving of middle school

Abstract ：Mathematics learning, not only to master the basic knowledge, but also to pay attention to mathematical thinking learning. Mathematical way of thinking is the essence of mathematics and it is theoretical knowledge into practical skills of the bridge. Among the many mathematical way of thinking, the transformation of thought is often used to solve the problem we have a method, it is also the most fundamental and important mathematical ideas methods. This paper will into the concept of thinking, classification, research value and application into thinking should be followed in solving a simple exposition of the basic principles and common middle school mathematics through the mathematical study Questions, preliminary analysis of the thinking in solving high school algebra problems and geometric problems in the application in order to raise peer consensus, attention in daily teaching to the students of mathematical thinking of the \in solving mathematical problems, according to the problem of the practical and link, science design ideas to solve the problem, the mathematical way of thinking to take appropriate, timely counseling and appropriate language for the knowledge to generalize and summarize the knowledge about ways to approach access knowledge and to improve mathematics learning initiative.

Keywords: middle school mathematics；transforming thinking；mathematical problem

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】目录

1．引言............................................................. 3 2．文献综述......................................................... 3 2.1 国内外研究现状 .................................................. 3 2.2 国内外研究现状的评价 ............................................ 3 2.3 提出问题 ........................................................ 4 3．转化思想的概述................................................... 4 3.1转化思想的概念 .................................................. 4 3.2转化思想的分类 .................................................. 4 3.3转化思想在应用上应遵循的基本原则 ................................ 5 3.4转化思想的研究价值 .............................................. 5 4．转化思想的应用................................................... 5 4.1已知与未知之间的转化 ............................................ 6 4.2不同与相同之间的转化 ............................................ 8 4.3复杂与简单之间的转化 ........................................... 10 4.4正面与反面之间的转化 ........................................... 13 4.5一般与特殊之间的转化 ........................................... 15 5. 结论............................................................ 19 5.1主要发现 ....................................................... 19 5.2启示 ........................................................... 19 5.3局限性 ......................................................... 19 5.4努力方向 ....................................................... 19 参考文献........................................................... 21

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1．引言

在数学学习中，掌握一定的数学思想方法远比掌握一般的数学知识要有用的多. 一方面，数学思想方法是学习数学的“工具”，为我们解决数学问题提供清晰的思路，另一方面在实际工作中也能为我们指明正确的工作方向.特别是在将来的实际工作中，《课程标准》要求教师要加强对学生数学思想方法的培养.在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是一种最基本最重要的思想方法.转化思想又称转换或化归思想，是一种把待解决的问题经过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去.能掌握并合理利用这种方法，将对学生数学思维的培养、解题方法的灌输等产生重大而深远的影响.本文首先对转化思想的概念、分类、研究价值以及应用转化思想解题时应该遵循的基本原则作出了明确分析；其次归纳总结了转化思想在中学数学解题中的应用. 中学数学中转化思想无处不在无时不在，贯穿于代数、几何问题中，在方程、不等式、函数等问题的解决过程中经常用到.

2．文献综述

2.1 国内外研究现状

国内外许多中学数学文献对转化思想问题进行了研究.现查阅到的国内外参考文献[1]-[17]中，欧阳维诚、肖果能、吴炯忻、林培榕、陈振宣、王书、郑隆炘、毛鄂涴等在文献[1]-[5]中用不同的方式、从不同的方面阐述了数学转化思想的概念、转化模型以及转化思想的分类；胡炯涛、朱慕菊、囡杨梦、董晓珍、高中伟在文献[6]-[10]中探讨了如何恰当的使用转化这种数学思想方法以及转化思想方法的研究价值；田隆岗、徐建华、刘俊、付本路、姚玉平、薛金星、张嘉谨、史承灼等在文献[11]-[17]中以中学数学典型例题从不同的方面阐述了转化思想方法的应用.

2.2 国内外研究现状的评价

在所查阅到的国内外参考文献中，对转化思想的概述以及应用方面只是作了简单、零散的介绍，他们所研究的只是转化思想的一个方面且没有深入探讨，也未通过实例加以说明.

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2.3 提出问题

鉴于转化思想方法在数学学习中的重要地位和作用，常规的数学解题方法计算量比较大，就必须对数学转化思想方法进行深入研究，但是在数学领域有关谈论数学转化思想的文献并不是很具体和深入，所以就需要将这些零散的知识归纳起来. 并通过实例加以说明，深入探讨数学转化思想的具体的应用对培养学生的思维意识具有一定的指导意义．

3．转化思想的概述

3.1转化思想的概念

数学是一门严谨的学科，有较强的逻辑性，大多数学问题并不是主观思维能够解决出来的[2].因此在解决数学问题的过程中，常遇到一些问题直接求解比较困难，往往需要对问题进行观察、分析、类比、联想等思维过程，对问题进行变形，直至把原问题转化为某个较熟悉的问题上去，通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称为“转化的思想方法”.转化思想的实质是揭示问题的联系，实现转化[4].除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是需要转化为简单问题来解决的.转化思想是解决问题的根本思想，解题过程实际上就是一步一步转化的过程.在解决数学问题过程中随处可见，例如：数形结合的思想体现了数与形的转化；数与方程思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化等等.它们都是转化思想的具体体现.各种变换的方法如分析法、观察法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.

3.2转化思想的分类

从转化思想的本质上讲，转化思想可分为等价转化思想和非等价转化思想.等价转化前后是充要条件，即旧问题通过转化成新问题的过程中不需要限制条件，新旧问题完全等价，这种转化思想就叫做等价转化思想，等价转化的特点是具有灵活性和多样性, 在应用等价转化思想去解决数学问题时，不能按照一个统一的模式去进行.可以在数与数、形与形、数与形之间进行转化；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的

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[1]

翻译；它可以在符号系统内部实施转化，即所说的恒等变形、消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化.等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变. 例如若m?0,则x2?x?m?0有实数根，转化为

x2?x?m?0没有实数根，则m小于等于0， 这两个命题是相等的.而在不得已

的条件下才进行不等价转化，不等价转化的过程中应该附加限制条件，以保证等价性或对所得结论进行必要的验证，不等价转化在明确附加限制条件后也有等价转化同样的意义和应用.

3.3转化思想在应用上应遵循的基本原则

熟悉化原则.就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，利于我们应用熟知的知识、经验来解决问题.

和谐化原则.指转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐形式，或者转化命题，使其成为有利于运用某种数学方法或其方法符合的思维规律.

简单化原则.就是将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的或获得某种解题的启示和依据.

正难则反原则.当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解

[5].

直观化原则.将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.

3.4转化思想的研究价值

问题的转化实现了问题的规范性、模式化以便应用已知理论知识、方法技巧解决问题，现代《教学大纲》对教学目的作出进一步的要求：学生在学好基础知识、基本技能的同时也要掌握在解题过程中所蕴含的思想方法，并能够迁移应用于相关学科和社会生活实践中. 转化思想对解决问题具有重要的指导意义，而转化意识、转化能力的高低也是一个人数学水平高低的体现.

4．转化思想的应用

数学上每个问题都有相互联系的问题，它们或相互等价或构成矛盾，在解决

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问题的过程中无不在一定条件下相互转化：已知与未知、不同与相同、复杂与简单、正面与反面、一般与特殊它们之间都存在一定的转化关系.下面就从这几个方面深入说明.

4.1已知与未知之间的转化

当人们面临一些新问题，用正规的思维方法不能解答时，我们就需要转化为我们熟知的已解决问题中，从而使未解决的问题变得熟悉和简单，体现了转化思想的熟悉化原则.

（1）转化思想在集合中的应用

集合是现代数学的基本概念，是研究数学问题的基础和工具，可见其重要性.在解决一些集合问题时从集合的表达形式不好入手，就需要进行转化，转化到我们所学过的知识上，这样便能迅速的得到解决问题的思路，如：A是B的子集可以转化为A?B?A、A?B?B等.

例1 已知A?{(x,y)|x2?y2?1},B?{(x,y)|x?y?1},求A?B. 分析：由A、B两集合中元素的表示形式可知两集合表示的是平面上的点，

A?{(x,y)|x2?y2?1}表示以原点为圆心，1为半径的圆上的所有的点的集合,B?{(x,y)|x?y?1},表示直线x?y?1?0上的所有的点的集合.所以A?B表示圆与直线其图像的交点.

解：∵A?{(x,y)|x2?y2?1},B?{(x,y)|x?y?1}

?x2?y2?1∴根据?

?x?y?1?0得两图像的交点为 (1,0)、(0,1) ∴A?B?{(1,0)、(0,1)}.

说明：点的交集问题往往可转化为曲线之间的公共点问题，进而转化为方程组求解的问题，或者使用数形结合的思想将问题的题设和结论转化到图形中，使问题直观形象化，从而有利于问题的解决. (2）转化思想在方程、不等式中的应用

可以说每个方程、不等式的解决都渗透了转化思想，将方程和不等式中的未

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知数向已知数转化就是一个典型的转化，当然在解题的过程中转化思想也随处体现，例如：将分式方程转化为整式方程；将无理方程转化为有理方程；将分式不等式转化为整式不等式等等.

例2 解分式方程：

23?． x?3x解: 方程两边同乘以x(x?3)，得2x?3(x?3) 解这个方程，得x?9．

检验：将x?9代入原方程，得左边?所以，x?9是原方程的根．

说明：在解分式方程或分式不等式时都要转化为整式方程或整式不等式，在转化的过程中注意原式分母的取值情况. （3）转化思想在几何中的应用

在解决代数问题时我们常用到数形结合的思想，即由代数式转化为图形，而在解决几何问题时，我们所用到是形与形之间的转化，即在一个大图形中实行局部图形之间的转化或是在多个图形中根据相似、全等等特征实行线段与线段、图形与图形之间的转化.

例3 如图4?1所示，BC是半圆的直径，过B作BC的垂线，在这垂线上任取一点A，过A作半圆的切线AD，D为切点.作DF?BC,连结AC交DF于E，求证：DE?EF.

分析：由题意,∵AB?BC,DF?BC ,∴

AB//DF.则AB是EF的位似对应线段（以C为位似

G1?右边 3中心，以

BC为位似比）.欲证E点为DF的中点，只FC需证明A点为DF的位似对应线段的中点即可.连结

CD并延长与BA的延长线交于G,连结BD, ∵BCAEBD为半圆直径，∴

?BDC?90?，∴

F 图4-1C?BDG?90? ,?BDG为直角三角形，欲证AB?AG,

AD同为切线，只需证AB?AD即可.∵AB、∴AB?AD,只需要证明AG?AD.

即要证?ADG??AGD,又∵?ADG?90???ADB, ?AGD?90???ABD,于是

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问题解决.

证明（略）.

说明：在上述解决几何问题的过程中，我们用到了线段与线段之间的转化思想，这种转化方式称为线段的位似转化，通过线段之间的联系将未知线段通过已知线段求解出来.位似转化思想在图形与图形的转化中也是适用的.

例4 求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高. 已知：在?ABC中，AB?AC,D是BC上任一点，DE?AC交AC于E，

DF?AB交AB于F，BG?AC交AC于G.求证：DE?DF?BG.

分析：由题意如图4?2所示，问题可转化为

S?ABC?S?ABD?S?ACD，变得非常简单.

证明：连结AD，则S?ABC?S?ABD?S?ACD 即

111AC?BG?AB?DF?AC?DE 222BAGF∵AB?AC ∴ DE?DF?BG.

DEC图4-2说明：利用面积法解决图形中的线段关系，从已知条件出发，使未知条件与已知条件联系在一起，找到解题的思路，从而解决未知问题.

4.2不同与相同之间的转化

求“相同”寻“不同”是非常重要的思想方法，化“不同”为“相同”同样也很重要，在函数问题中较为广范应用，尤其是在三角函数的化简和求值、指数函数与对数函数问题、函数与反函数之间的关系中的应用得到很好的体现. (1)转化思想在三角函数中的应用

中学数学中三角函数的问题是一个难点，我们学习的时候只针对特殊角0?、

30?、45?、60?、90?进行正弦、余弦、正切、余切的求值，而想要求出一般角

的三角函数就需要查表，这样无疑比较麻烦，如果根据三角函数自身的特征将不同的三角函数问题划归到同一个三角函数问题上就可能使问题迎刃而解.

例5 利用三角公式化简sin50?(1?3tan10?).

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50?这些不特殊的角，分析：该题中涉及到10?、不能直接求出其三角函数值.

sin10?就必须进行转化：tan10?，再从代数式的结构上看很容易联想到两角和

cos10??的三角函数求法.

3sin10?解：原式?sin50(1?) ?cos10?132(cos10??sin10?)3?sin50??2 ?cos10sin30?cos10??cos30?sin10? ?2sin50?

cos10??sin40? ?2cos40? ?cos10?sin80? ? ?cos10cos10? ?

cos10? ?1.

说明：上述解题过程中充分体现了数学转化思想，在三角函数的化简和求值

sin?、cos??cos??sin2?、tan??问题中转化思想随处可见，如：2sincos2??sin2??cos2?等.

（2）转化思想在初等函数中的应用

转化思想在初等函数中也有广泛的应用，尤其是在解决指数问题、对数问题是体现得很到位.

例6 化简log((5?26)3?2)

分析：本题中由于对数的底数和真数是无理数，且都比较复杂，不能直接求解，但是由真数和底数的结构我们能联想到5?26?(3?2)2，而

(3?2)(3?2)?1，得5?26?(3?2)?2，再代换到原式中去就能简单

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求解.

解: ∵5?26?(3)2?26?(2)2?(3?2)2 又∵(3?2)(3?2)?1 ∴5?26?(3?2)?2 ∴log((5?26)3?2)?log((3?2)?23?2)

??2.

说明：在一些复杂对数的化简和求值过程中，将真数通过各种变换转化成与底数有联系的代数式，就能直接求解.化“不同”为“相同”在不能转化为完全相同的情况下，只需将对数中的各项转化为都具有某种相同的结构，也能让我们发掘出解决问题的思路.

4.3复杂与简单之间的转化

复杂与简单是一对矛盾，在一定条件下同样能发生转化.在代数中，高次方程通过因式分解、因式变形，达到降次的目的；多元方程通过消元，转化为一元方程；解析几何里常用曲线的参数方程表示曲线上点的坐标，以减少变量的个数；立体几何中，常将三维空间问题转化为二维平面几何问题，达到降维的目的.对于含有较多条件的命题往往抓住主要条件，突破一点推动全局，其目的都是使问题化繁为简、化难为易.而在数形结合的问题上将代数问题转化到几何中解决同样也是将复杂问题简单化.在转化的过程中要注意问题的本质和所涉及各个方面的内在联系，逐步迫近目标直至获解. （1）转化思想在方程组中的应用

方程组一般都涉及到多个方程、多个未知数，解方程组常用的方法有换元法和消元法.都是将复杂问题简单化，转化思想的引入使问题一步步得以解决.

例7 若x1、x2、x3、x4和x5满足：

?2x1?x2?x3?x4?x5?x?2x?x?x?x12345???x1?x2?2x3?x4?x5?x?x?x?2x?x2345?1?x?x2?x3?x4?2x5 ?1?6?12?24?48?96

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确定3x4?2x5的值.

分析：将5个方程相加，可得x1?x2?x3?x4?x5?31??○1 然后用最后两个方程分别减去○1即可求出：x4?17、x5?65 所以：3x4?2x5?181. 解（略）.

说明：该题的解答过程中使用了消元法，消元法有为加减消元和乘除消元两种类型，都是将多个方程转化为一个或两个方程的情况，方便对问题的求解. （2）转化思想在曲线问题中的应用

高中数学涉及到的参数问题多指圆和椭圆的曲线参数，由于在三角函数中

sin2??cos2??1、圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?1和椭圆的标准方程

x2y2?2?1，所以往往可以把一些复杂的曲线问题转化到三角函数问题中，如：2ab在圆中可以令x?a?sin?、y?b?cos?等等.

例8 以圆点为圆心，分别以a、b(a?b?0)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过A点作AN?Ox垂足为N，过B点作BM?AN垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹方程.

分析：本题所涉及的是多元曲线的交点轨迹问题，题设没有给出曲线的方程，

只有借助曲线本身方程的性质列出参数方程进行求解.

解：由题意，如图4?3所示，设点M的坐标是

(x,y)，?是以Ox为始边，OA为终边的正角，?为

y参数，那么

BAMN??x?ON?OAcos? ???y?NM?OBsin?Ox?x?acos?也就是 ?

y?bsin??这是所求点M的参数方程.

分别将上述方程组中的两个方程变形，得

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图4-3

?x?cos???a??y?sin???b

再将上述两方程两边平方后相加，得

x2y222??cos??sin??122b a

消去参数方程中的参数后，得到的方程是椭圆的标准方程

x2y2?2?12ab

x2y2由此可知，点M的轨迹是椭圆，椭圆方程为 ：2?2?1.

ab说明：在引入参数方程解决曲线轨迹问题时，应注意所给的条件和结论所适应的范围，以便进行取舍，作出轨迹. （3）转化思想在数形结合中的应用

对解决数学问题而言，借助图形性质来研究数量关系或借助数量关系来研究图形性质，即根据“数”与“形”之间的相互转化来解决数学问题的方法就称为数形结合法，这种数与形之间相互转化的过程也充分体现了转化思想的应用.

例9 已知M?{(x,y)|y?x?b},N?{(x,y)|9?x2}，若M?N??，求b的范围.

分析：本题所涉及的不是整圆，仅仅是圆的一部分.集合M是斜率为1，在y轴上的截距为b的一束直线，集合N是以原点为圆心，半径为3的圆在x轴上方的部分包括与x轴的交点.

解：由题意作图4?4,如图当直线y?x?b，过A(3,0)时：b??3

当直线与半圆相切时，则点到直线的距离为：

NyOA(3,0)xd?b2?3

M图4-4 12

所以 b??32 由图形易知 b?0 故 b?32 则 ?3?b?32 . （4）转化思想在立体几何中的应用

在高中数学教学中，三维空间问题是一个难点，由于图形比较复杂，在立体几何中求解线段或是面积问题时，我们可以将已知条件和所要解决的问题联系起来，将问题所在的平面从立体图形中分割出来，将三维空间问题转化为二维平面问题，这样使问题比较直观，便于求解.

例10 设正方体棱长为2a，分别以8个顶点为球心作半径为a的8个球.试求空间中与这8个球相切的球的半径.

分析：根据图形的对称性，可借助辅平面，将问题转化为平面几何问题.辅助平面的选择,应要求它与空间图形相截所得的平面图形能够较全面地概括原问题的位置关系与度量关系，因为本题所求的两个球和正方体的外接球是同心球.所以应以正方体的对棱面为辅助平面，将相切球问题转化为相切圆的问题.

解：由题意如图4?5所示

∵AD?2a ABFGODE∴DE?22a、OA?3a ∴OG?(3?1)a、OB?(3?1)a

∴所求两个相切球的半径分别为 (3?1)a和

图4-5(3?1)a.

说明：上述的立体几何问题涉及到的图形太多，很难想象出图形的轮廓组成，更不能画出完整的图形，就需要将问题转化到与之有联系的平面中去.

4.4正面与反面之间的转化

一个命题的题设和结论是因果关系的辩证统一体，解题过程中，如果按照直观的思维去解题往往会遇到不必要的麻烦，就不能正常的完成解题，不妨从它的反面出发，逆向思维，会另有捷径.

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（1）补集思想在转化中的应用

在集合中U代表全集，若给定集合A，则CUA代表的是集合A的补集，在解决问题时，如果从正面直接求解集合A比较困难，我们可以考虑其反面，利用补集的思想来解决问题.

例11 已知集合A?{x|ax2?3x?2?0}且A中元素至多只有一个，求实数a的取值范围.

分析：本题中如果直接讨论集合A中至多只有一个元素的情况，就比较复杂，需要对方程进行无实根和有一个实根两类情况分别讨论，而反面只需考虑有两个不等实根的情况.可用补集思想求解.

解：方程ax2?3x?2?0有两个不等实根的条件为

?a?0??9?8a?0

9解得 a??

89因而方程至多有一个实根的条件为 a??.

8说明：补集思想在解题中的应用，是根据在集合中：若全集U中有两个集合

A集合和B集合，则A?CUB或B?CUA的性质来解题的.

（2）转化思想在概率中的应用

根据对立事件的实质，如果事件A和事件B互为对立事件，则

P(A)?1?P(B)，当我们解决概率问题时所求问题的概率比较繁琐时可将问题转

化到对立问题上去，进而快速求解.

例12 在两个袋子中分别放有6张卡片，且每个袋子中的每张卡片分别标有

1、2、3、4、5、6的不同数字，现在从两个袋子中任意各抽出一张卡片，则

两张卡片上的数字之和不是7的概率是多少？

分析：直接求解需要分别求出两张卡片上的数字之和为2、3、4、5、6、

8、9、10、11、12的概率，然后相加，这样就比较繁琐，问题可以转化为用1减

去出现两张卡片上数字之和为7的概率.

解：由于出现数字之和为7的情况有1?6、2?5、3?4、4?3、5?2、6?1

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11共6种情况，而总共可能出现的情况有A6?A6?36种.所以所求概率

为:1?65? 366说明：概率问题的解决通常渗透了排列、组合的问题，而且经常用到分类讨论的思想，这样就使得问题复杂化，我们可根据已知条件从问题的反面出发，解决对立问题，在根据P(A)?1?P(B)求出原问题的解.

4.5一般与特殊之间的转化

由“一般”向“特殊”的转化是一种具有方法论意义的思维形式，是人类认识世界的普遍规律[12].在数学中有着十分广泛的应用，“一般”与“特殊”总是相对的，对于“一般”问题来说“特殊”问题的解决往往是比较容易的，可利用“特殊”问题中蕴含的本质联系通过归纳思维来引出“一般”问题的解法.这种解决问题的方法叫做“特殊化法”，是一种把研究对象或要解决的问题从大范围缩小到较小范围或个别情况，甚至极端情况来考虑.实行“以退位进”的策略，对条件和结论之间关系不明确或题目本身抽象的数学问题，用“特殊化”替代一般情况往往能起到化繁为简、化难为易的功效. （1）转化思想在选择题、填空题中的应用

在解选择题、填空题时，当选择题、填空题结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个值时，可采用特殊化法.特殊化法一般可取特殊值、特殊位置、特殊数列、构造特殊图形或几何体等.

例13 当a?b?c，x?y?z时，下列代数的值中最大的一个是（ ）.

A.ax?by?cz B.ax?cy?bz C.bx?ay?cz D.bx?cy?az

分析：此题的正确结论唯一，故可取满足条件的特殊值（要考虑简单）进行演算推理，以达到判断各选项正确与否的目的.

解：取a?x?1，b?y?2，c?z?3分别代入四个选项，计算得四个选项的值分别为14、13、13、11，因此选A.

说明：解选择题时，因为不要求清晰的解题思路和明确的解题过程，只要求答案符合原题意即可，所以在做选择题时我们可根据题意对问题中的未知数取特殊值或限定特殊范围，再对各选项进行排除最后方可得到答案.

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例14 求cos2??cos2(??120?)?cos2(??240?)的值.

分析：题目要求求值，答案为定值，不妨令??0?，代入原式得解：由题意令??0?

则原式?cos20??cos2(0??120?)?cos2(0??240?)

11?1?(?)2?(?)2

223?. 23. 2说明：在三角函数中有cos0??1，本题则就应用了这个特殊的性质对任意的

?角取特殊值，就使问题简单化，更容易求解.

（2）“1”的转化问题

“1”是数学中最基本、最重要的数，它具有很多的特征，我们将中学数学中“1”的一些常见的特征归纳如下：1?a?a、

aba?1、??1、a0?1、aabloga?1(a?0,?1)、sinbaa?2?cos0??1、tan45??cot45??1、sin2??cos2??1、

?1；b?0，?1)、(m?1?m)(m?1?m)?1(m?0).loga?logb?1(a?0，

在解题过程中，根据题目的条件和结论的要求和构造，我们需要将式中的一些代数式利用“1”的上述特征进行相互转化，我们把这种转化方法称为“1”的转化法.在求解过程中增加一个“1”的特征，使一些复杂问题得到巧妙的解决.

例15 计算sin21??sin22????sin245????sin289??sin290?.

分析：本题虽然涉及到求多个角的正弦值，但是如果我们知道

sin??cos(90???)、sin2??cos2??1，那样只要对该题做巧妙的转化，问题就迎刃而解了.

解：原式?sin21?sin22???(22)??cos22??cos21??1 2?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)

???(sin244??cos244?)???1?1 2 16

?1?44?1?45.

21?1 2说明：“1”的转化思想在三角函数的化简和求值以及恒等式的证明中有较为广泛的应用，带入一些特殊角的三角函数或特殊的三角公式即sin?2?cos0??1、

tan45??cot45??1、sin2??cos2??1等等，会给我们带来清晰的解题思路.

例16 求证

1?sin2a1?tana? 22sina?cosatana?1sin2a?cos2a?2sinacosa证明：左式?

(sina?cosa)(sina?cosa)(sina?cosa)2 ?(sina?cosa)(sina?cosa)?tana?1

tana?1?右式

所以

1?sin2a1?tana?.

sin2a?cos2atana?1例17 求方程sinx?cosx?sinxcosx?1的解集. 解：令y?sinx?cosx

∵(sinx?cosx)2?1?2sinxcosx

1∴sinxcosx?[(sinx?cosx)2?1]

21?(y2?1) 21则原式可化为 y?(y2?1)?1

2即 y2?2y?3?0.

解得 y1?1，y2??3（舍去） 由sinx?cosx?1得

??2?sin?x???4?2 ? 17

∴x??4?n??(?1)n??4

∴原方程的解集为：{x|x?n??(?1)n??4??4,n?Z}.

111???9. abc例18 已知a、b、c都是正数，且a?b?c?1,求证：

分析：本题看似复杂，已知条件和所要求的问题很难联系到一起，但我们试着将问题中“1”由已知条件中的“1”进行等价转化，再往下求解.

证明：∵a?b?c?1

111?? abca?b?ca?b?ca?b?c?? ? abcbacbca?3?(?)?(?)?(?)

abbcac ∴

?3?2?2?2?9

∴

111???9. abc说明：“1”的等价转化思想在不等式的求解和证明中也得到体现，我们可根据

abcab?1、?1、?1；??2等，将“1”带入不等式中，会让一般的不等abcba式问题更容易解决，而在对数和指数问题中.我们也常常利用

aba“1”loga?1(a?0,?1)、a0?1、loga?logb?1(a?0,?1；b?0,?1)等性质将

等价转化到原问题中来解决问题.

例19 比较下列两组数的大小. （1）1.70.3与0.93.1 （2）log6与log7

解：（1）由指数函数的性质可知：

1.70.3?1.70?1 0.93.1?0.90?1

76即 1.70.3?1；0.93.1?1 所以 1.70.3?0.93.1

18

（2）由对数函数的性质可知：

log6?log6?1.

76log7?log7?1

即 log6?1；log7?1 所以 log6?log7.

7676675. 结论

5.1主要发现

数学转化思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较轻易解决的问题，是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中.

5.2启示

熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼.要积极主动有意识地去发现事物之间的本质,“抓住基础，重转化”是学好数学的金钥匙.

5.3局限性

数学转化思想在中学数学中的应用广泛，无论是数与数之间的转化、形与形之间的转化还是数与形之间的转化都是转化思想的重要体现，数学转化思想的应用渗透于代数和几何两个学科的方方面面，本篇论文只是针对其中重要的几个方面做论述，未涉及到数学的整个领域.

5.4努力方向

由于本人能力有限，论述数学转化思想的应用时不能将全部的应用都一一列

19

出来，只能阐述出其中的一部分，所举的例题只能代表数学转化思想一方面应用中的一个部分，没有得到全面的论述.在以后的研究中我会进一步努力，搜寻更多较为有针对性的例题对数学转化思想在各方面的应用做全面的论述.

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