大学考研数学分析笔记

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大 学

《数学分析》

笔记

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目录

第二模块 笔记 ................................................................................................................................. 3

第一部分 实数集与函数 ......................................................................................................... 3 第二部分 数列极限 ................................................................................................................ 9 第三部分 函数极限 .............................................................................................................. 10 第四部分 函数连续性 ........................................................................................................... 16 第五部分 导数与微分 .......................................................................................................... 30 第六部分 微分中值定理及其应用 ....................................................................................... 36 第八部分 不定积分 ............................................................................................................... 51 第九部分 定积分 .................................................................................................................. 55 第十部分 定积分的应用 ....................................................................................................... 61 第十一部分 反常积分 ........................................................................................................... 69 第十二部分 数项级数 ........................................................................................................... 73 第十三部分 函数列与函数项级数 ....................................................................................... 91 第十四部分 幂级数 ............................................................................................................. 102 第十五部分 傅里叶级数 ..................................................................................................... 117 第十六部分 多元函数的极限与连续 ................................................................................. 132 第十七部分 多元函数微分学 ............................................................................................. 137 第十八部分 隐函数定理及其应用 ..................................................................................... 149 第十九部分 含参量积分 ..................................................................................................... 153 第二十部分 曲线积分 ......................................................................................................... 164 第二十一部分 重积分 ......................................................................................................... 167 第二十二部分 曲面积分 ..................................................................................................... 176

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第二模块 笔记

第一部分 实数集与函数

§ 1 实 数

数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概念

一． 实数及其性质：

回顾中学中关于有理数和无理数的定义.

有理数： 若规定：

则有限十进小数都能表示成无限循环小数。 例如：

记为

；0 记为

；

记为

实数大小的比较

定义1 给定两个非负实数

其中 1）

2） 若存在非负整数 ，使得 于

（或

小于

），分别记为

（或

）。

，若按定义1有

，则称

为非负整数，

则称

。若由 与

相等，记为

，而

，则称

大

规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 实数的有理数近似表示 定义2 设

为非负实数，称有理数

为实数

的

位不足近似值，而有理数

称为的

位过剩近似值。

对于负实数

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的位不足近似值规定为：；

的比如

位过剩近似值规定为：

，则 称为 称为

1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 命题 设

的不足近似值； 的过剩近似值。

为两个实数，则

实数的一些主要性质 1 四则运算封闭性: 2 三歧性( 即有序性 ): 3 实数大小由传递性，即 4 Achimedes性:

5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性. 6 实数集的几何表示 ─── 数轴:

例

二. 绝对值与不等式

绝对值定义：

从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：

绝对值的一些主要性质

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性质4（三角不等式）的证明：

补充：将

a?b看成一个整体X，即上式由性质3就好理解了

三. 几个重要不等式: ⑴ ⑵ 对

记

(算术平均值)

(几何平均值)

有均值不等式: 等号当且仅当

时成立.

(调和平均值)

⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对

由二项展开式

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有:

§2 数集。确界

上式右端任何一项.

§2 二 数集 . 确界原理: 一 区间与邻域: 邻域

二 有界数集 . 确界原理:

1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 闭区间、

为有限数）、邻域等都是有界数集，集合

无界数集: 对任意

，存在

也是有界数集.

，则称S为无界集。

等都是无界数集,

例 证明集合 是无界数集.

证明：对任意, 存在

由无界集定义，E为无界集。 确界

先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称 它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。

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精确定义

定义2 设S是R中的一个数集，若数 （1） 对一切

有

，即

满足一下两条： 是数集S 的上界；

（2） 对任何则称数

存在 使得

（即是S的最小上界）

为数集S的上确界。记作

定义3 设S是R中的一个数集，若数 （3） 对一切

有

，即

满足一下两条： 是数集S 的下界；

（4） 对任何则称数

§3 函数概念

存在 使得

（即是S的最大下界）

为数集S的下确界。记作

函数是整个高等数学中最基本的研究对象, 可以说数学分析就是研究函数的. 因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.

一 函数的定义 1. 函数的几点说明.

函数的两要素: 定义域和对应法则

约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.

函数的表示法: 解析法, 列表法, 图像法.

分段函数

狄里克雷函数

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黎曼函数

三 函数的四则运算（见U盘新建文件夹函数的四则运算） 四. 函数的复合: 六 初等函数: 基本初等函数:

1 常函数 y=c（c是常数） 2 幂函数 幂函数

3 对数函数 y = （a>0, a≠1， x>0,特别当α=e时，记为y=ln x）

（a>0, a≠1）

4 指数函数 y =

5 三角函数 正弦函数y =sinx 余弦函数y =cos x

正切函数y =tan x 余切函数y =cot x

形式是f(x)=cotx=

正割函数y =sec x=1/cosθ 余割函数y =csc x =1/sinθ

§4 具有某些特性的函数 1.有界函数 若函数然等价于，对一切

在定义域，恒有

上既有上界又有下界，则称

为

上的有界函数。这个定义显

请同学们利用有界函数的定义给出无界函数的定义。 例

是无界函数。

证明 对任意的 ，存在 ，取 ，则

2. 单调函数

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奇函数与偶函数

（1）定义域关于原点对称 周期函数

1) 通常我们所说的周期总是指函数的最小周期

2) 有的周期函数不一定有最小周期 ，例如常函数是周期函数， 狄里克雷函数，它们显然没有最小周期

第二部分 数列极限

§1 数列极限概念 对于数列

，设 A 是一个常数，若任给

，都存在相应的自

然数 时， ，则称 A为数列的极限。

下面我们通过图示，对数列定义作几点说明： （1）（2）

的任意性 的相应性

三、用极限定义证明 2. 数列极限的等价定义:

对

的例题

对任正整数

§ 2 收敛数列的性质 1. 极限唯一性：（ 证 ）

2. 收敛数列有界性 —— 收敛的必要条件：（ 证 ） 3. 收敛数列保号性： 定理2.4 设

(或

或

. 则对

(或

例1 设 证明：若

则

（ 证 ）

定理2.5 设 若，

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（注意“ = ” ；并注意 和 的情况 ）.

推论 若 则对

4. 定理（ 迫敛性 ） ( 证 ) 5. 绝对值收敛性:

( 注意反之不确 ). ( 证 )

推论 设数列{

}和{

}收敛, 则

6.四则运算性质:

7. 子列收敛性: 子列概念. 定理 ( 数列收敛充要条件 ) {定理 ( 数列收敛充要条件 ) {定理 ( 数列收敛充要条件 ) {一、利用数列极限性质求极限:

}收敛 }收敛 }收敛

{子列{子列{

}的任何子列收敛于同一极限.

}和{}、{

}收敛于同一极限.}和{

都收敛. ( 简证 )

两个基本极限：

1. 利用四则运算性质求极限：

数列的单调递增是显然的, 有界很容易用归纳法证明, 而且 理, 设

其极限为

, 则有 , A=2

利用单调有界定

定理 2.10 数列{（ 或数列{

收敛，

收敛，

}

第三部分 函 数 极 限

§1 函数极限概念 一

趋于

时函数的极限

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设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量趋于时，对应的函数

值能否无限地接近于某个定数。例如，对于函数

从图象上可见，当

无限增大时，函数值无限地接近于0；

而对于函数两个函数当

时有极限。

，则当趋于时函数值无限地接近于。我们称这

一般地，当

趋于

时函数极限的精确定义如下：

定义1 设定义在上的函数，为定数。若对任给的，存在正数

，使得当时, 有，则称函数当趋于时以为

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极限，记作 或 。

说明:(1)、在定义1中正数的作用与数列极限定义中的相类似，表明充分大的程度；但

这里所考虑的是比

以

大的所有实数，而不仅仅是正整数

在

。因此，当趋于时函数

为极限意味着：的任意小邻域内必含有的某邻域内的全部函数值。

(2)、定义1的几何意义如下图所示，

对任给

的，

在坐标平面

上平行于

轴的两条直线

与

，围成以直线

为中心线、宽

为的带形区域；定义中的“当时有”表示：在直线的

右方，曲线全部落在这个带形区域之内。如果正数给的小一点，即当带形区域更窄一点，

那么直线一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数，使得曲线

在直线的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。

定义1的否定叙述: 定义1’ 设定义在上的函数，为定数。若存在某个

???0，

当

趋

对任意充分大的正数于

(3)、现设

时不以

M，总存在某个

x??M,使得:f(x0)?A???，

则称函数

为极限.

为定义在或上的函数，当或时，若

函数值分

别

记

能无限地接近某定数作

: 或

，则称

当

或

或时以为极限，

;

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这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的“”分别改为

“

问

”或 “”即可。

题

:

x???

limf(x)?A或limf(x)?A的否定叙述的定义又如何写?x??(4)、显然,若为定义在上的函数，则

（1）(返回) 二 趋于时函数的极限

设值能否趋

为定义在某个空心邻域内的函数。现在讨论当趋于时，对应的函数

于某个定数。这类函数极限的精确定义如下：

定义）设函数

在

某个空心邻域

内有定义，

为定数。

定义2（函数极限的若对任给

的于

时以

，存在正数为

，使得当时有，则称函数当趋

极限，记作

下面我们举例说明如何应用值是

怎样确定的。

或 。

定义来验证这种类型的函数极限。请读者特别注意以下各例中

的

通过以上各个例子，读者对函数极限的1.定义2中的正数

，相当于数列极限

愈小，

定义应能体会到下面几点： 定义中的

，它依赖于

，

取得更小些也无妨。如

但也不是由所唯一确定，一般来说，在例3

也相应地要小一些，而且把

中可取或等等。

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2.定义中只要求函数义，

在某一空心邻域内有定义，而一般不考虑在点处的函数值是否有定

或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当在

定理3.9设函数任何以

为极限的递减数列

，有

在点

的某空心右邻域

趋于过程中函数值的变化趋势。如

有定义。的充要条件是：对

。

的取法要作适当的修改，

这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对

以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。

相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下：

定理3.10设证 不妨设记为

。

是定义在在

上的单调有界函数，则右极限

上递增。因

在

上有界，由确界原理，

存在。

存在，

下证

事实上，任给

，则由

的递增性，对一切

。

，按下确界定义，存在

，使得

。取

=，有

另一方面，由

，更有

。从而对一切

有

这就证得 。

最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。 定理3.11（柯西准则）设存在

正数

，使得对任何

，

，有

在

内有定义。

存在的充要条件是：任给

，

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．

证 必要性 设

有

，则对任给的，存在正数，使得对任何

。于是对任何 ， 有

。

充分性 设数列

，使得

且 。按假设，对任给的，存在正数

对任何，存在

，

，

有。由于（），对上述的

使得当 时有 ，, 从而有 .

于是,按数列的柯西收敛准则,数列设另一数列证

. 为此,考虑数列故仍如上所证, 于是，作为

:

,

,

,

,．．．, 且

的极限存在,记为,即. 存在, 记为

. 现

, 则如上所证,

,,．．．易见 且

也收敛. 的两个子列，

与

必有相同的极限。所以由归结原则推得

按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限

不存在的充要条件：存在

，对任何

（无论多么小），总可找到，，使得 ．

如在例１中我们可取，对任何设正整数 ，令 ，，

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则有 ，

，而

于是，按柯西准则极限

不存在．

解 当 时有 。

故所求极限等于

。

第四部分 函数连续性

§1 连续性的概念

一 函数在一点的连续的定义

设函数在的某个空心邻域内有定义， 是一个确定的数，若对

，当 时，都有 ，则称

在 时，以 为极限。

这里可以有三种情况：

1） 无定义，比如上部分讲过的特殊极限

2），比如 ，

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2）的情形

3）3）的情形

对1）、2）两种情况，曲线在

1）的情形

处都出

现了间断; 第3）种情况与前两种情况不同，曲线在

处连绵

不断

，我们称这种情况即：

x?xolimf(x)?A?f(x0)时，

在

处连

在点

连续的定义

续。为此给出函数

定义1 设函数在的某邻域内有定义，若：

则称函数 在 点连续。

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2、函数在一点的左、右连续的定义

相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定义如下：

定义2 设函数 在 的某左（右）邻域内有定义，若：

（ ）

则称 在 点左（右）连续。

由极限与单侧极限的关系不难得出：

3、函数在点连续与函数在该点左、右连续的关系：

定理4.1 函数右连续。（事实上：

在点连续的充分必要条件为： 在 点既左连续又

f(x)?f(x0)?lim??x?x0?f(x)在点x0连续?limf(x)?f(x0)??x?x0lim?f(x)?f(x0)??x?x0?f(x)在点x0既左连续又连续。）

定理4.1的等价的否定叙述：

函数右连续。

在点不连续的充分必要条件为： 在 点或不左连续或不

前面我们学习函数在一点上连续的有关定义，下面我们来学习 二 函数的间断点（不连续点）及其分类 1、函数不连续点的定义

定义3 设函数在某内有定义，若在点无定义，或在点有定义

但不连续，则称点 为函数的间断点或不连续点。

由连续的定义知，函数 在 点不连续必出现如下3种情形:

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1） ，而在点无定义，或有定义但

2

）

左

、

右

极

限

都

存

在

，

但

不

相

等

,

称

：

为跳跃度或跃度。

3） 左、右极限至少一个不存在

据此，函数

f(x) 的间断点可作如下分类：

2、间断点及其分类

1）、可去间断点 对于情况1），即若：（存在），而在点

无定义，或有定义但可去不连续点）；

三 区间上的连续函数

，则称： 为可去间断点（或

定义 若函数点上的连续性

则按左、右连续来确定。

在区间I上每一点都连续，则称为I上的连续函数,对于区间端

定义 如果 在区间 上仅有有限个第一类不连续点，则称函数

在区间 上按段连续。

例如

小结：1）函数在一点连续的三个等价定义； 2）函数的左右连续性；

是按段连续函数。

3）不连续的分类：可去不连续点；跳跃不连续；第二类不连续点； 4）区间上连续函数的定义。

§2 连续函数的性质 内容：1 连续函数的局部性质

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2 区间上的连续函数的基本性质 3 反函数的连续性 4 一致连续性

重点：连续函数的局部性质性质；区间上的连续函数的基本性质 难点：连续函数的保号性；一致连续性. 一 连续函数的局部性质

根据函数的在点连续性，即可推断出函数

在点的某邻域内的性态。

定理4.2（局部连续性）若函数域内有界。

在点连续，则在点的某邻

定理4.3 （局部保号性） 若函数 在 点连续，且

，则对任意

存在 某邻域 时，

定理4.4（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在

连续，则

（）在 点连续。

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证

称这种形式的余项

.

为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具 Lagrange

型余项的Taylor公式. Lagrange 型余项还可写为

.

时, 称上述Taylor公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为

.

关于Taylor公式中Lagrange型余项的进一步讨论可参阅: Alfono, G. Azpeitia, On the Lagrange remeinder of the Taylor formula. Amer. Math. Monthly, 89(1982).

2. 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano型余项: 定理2 若函数

在点

的某邻域

内具有

阶导数, 且

存在, 则

证 设 并注意到

存在, 就有

,

. 应用

Hospital法则

次,

称

.

为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为

. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式

( 或Maclaurin公式 ).

四. 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开: 例 验证下列函数的Maclaurin公式

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§4 函数的极值与最大(小)值

一 可微极值点判别法: 极值问题: 极值点, 极大值还是极小值, 极值是多少. 1. 可微极值点的必要条件: Fermat定理.

函数的驻点和(连续但)不可导点统称为稳定点, 稳定点的求法.

2. 极值点的充分条件: 对每个稳定点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值点. 定理 4 (充分条件Ⅰ) 设函数可导. 则

ⅰ） 在

为 ⅱ） 在一个极大值点;

ⅲ） 若

在上述两个区间内同号, 则

为函数 为为

不是极值点. 的驻点且的一个极大值点; 的一个极小值点.

存在，则

内

的一个极小值点;

内

在

内

时,

为

的

在

内

时,

在点

连续, 在邻域

和

内

定理 5 (充分条件Ⅱ) 设点 ⅰ） 当 ⅱ） 当

时, 时,

证法一

当 时, 在点的某空心邻域内与 异号,??

证法二 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项. 二 最大值最小值

先看三个函数的图象 (c61)

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由上面图像看出，函数的最大最小值可能发生在稳定点处，不可导点处， 也可能发生在区间的端点。 因此, 函数的最大最小值点应从：稳定点, 不可导点, 端点 中去寻找， 这三种点中，函数取最大者为函

数的最大点，取最小者为函数的最小值点，因此求解最大最小点的步骤应为: 第一步 求出稳定点, 不可导点和端点

第二步 算出这些点处的函数值, 其中最大者就是最大值, 最小者就是最小值

§ 5 函数的凸性与拐点 一． 凸性的定义及判定：

1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义1 设函数

在区间I上连续. 若对

I 和

恒有

则称曲线

在区间I的凸函数, 反之, 如果总有

则称曲线

在区间I的凹函数.

若在上式中, 当 (或严格凹)的.

时, 有严格不等号成立, 则称曲线在区间上是严格凸

凸性的几何意义: 倘有切线，考虑 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向. 引理

为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点:

, 总有

证明: 必要性 充分性

定理6.13 设函数(i) 为I上凸函数 (ii) 为I上的增函数 (iii) 对I上的任意两点

有

在区间I上可导, 则下面条件等价:

证明

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2． 利用二阶导数判断曲线的凸向: 定理 6.14 设函数 ⑴ ⑵

在区间

在 在

内存在二阶导数, 则在

内严格上凸; 内严格下凸.

内

证法一 ( 用Taylor公式 ) 对Lagrange

型余项的Taylor公式, 有

设, 把在点展开成具

其中

和

在

与

之间. 注意到

. , 就有

,

于是, 若有即

严格上凸.

上式中,

若有 即

严格下凸.

上式中,

证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 则有↗↗.

不妨设 理, 有

, 并设 , 分别在区间和上应用Lagrange中值定

.

有

<

,

又由

，，

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即 可类证

3． 凸区间的分离:

的情况.

， 严格下凸.

的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间.

二. 曲线的拐点: 拐点的定义.

§6 函数图象的讨论

我们要认识一个函数，搞清它的性质，往往要从研究它的图象入手，借助对函数图象的观察、分析，

发现其隐含的规律性东西。比如我们在第二部分研究特殊极限 讲过的

从中学求点描迹作图知道，作图象的一般步骤应是 1 确定函数定义域 ，以安排合适大小的坐标系； 2 确定函数的奇偶性、周期性，以减少作图工作量 ； 3 给出反映函数特性的某些关键点，比如与轴的交点； 4 函数的单调区间和极值，凸凹性、拐点。

时，首先用中学时

例 1 作函数 1 函数定义域

图象

2 该函数不是奇偶函数，也不是周期函数

3 与轴的交点 4 单调区间和极值

y='1/4*(x-3)^2/(x-1)';

与

y1=diff(y); dydx=simplify(y1) dydx = 1/4*(x-3)*(x+1)/(x-1)^2

时，导数不存在，导数的符号由

时, 函数严格递增,

为极大点，

为极小点。

决定： 时, 递减，

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