5．如图3.2-23，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且
1EC=BC，求证：?EFA90o.
4
图3.2-22
图3.2-23
C组
1．已知k?1,b?2k,a?c?2k2,ac?k4?1，则以a、b、c为边的三角形是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．形状无法确定
2．如图3.2-24，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则?A与?1??2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A．?A??1??2 B．2?A??1??2 C．3?A??1??2 D．3?A?2(?1??2)
3．如图3.2-25，已知BD是等腰三角形ABC底角平分线，且AB=BC+CD，求证：?C
90o.
图3.2-25
图3.2-24
图3.2-26
4．如图3.2-26，在等腰RtABC中?C?90o，D是斜边AB上任一点，AE?CD于E，BF?CD交CD的延长线于F，CH?AB于H，交AE于G.求证：BD=CG.
3.2 三角形
- 46 -
练习1
1．证略 2.（1）练习2
1．5或7 2.20或80 3.C
224．设两直角边长为a,b，斜边长为2，则a?b?1?3，且a?b?4，解得ab?3，?S?oo2Sa?b?c；（2）.
a?b?c21ab?23. 25.可利用面积证.
习题3.2 A组
1．B 2. D 3.120 4.3?c?17 5.8
oB组
1．A 2.18
3．连BM，证MAB?AMN.
4．在AC上取点E，使AE=AB，则
oABD?AE， ?B??AED.又BD=DE=EC，
??C??EDC,??B:?C?2:1.
5．可证ADFFCE，因而?AFD与?CFE互余，得?EFA?90o.
C组
1．C．不妨设a?c，可得a?k2?1,c?k2?1,a2?b2?c2，为直角三角形. 2．B
3．
在AB上取E使BE=BC，则
BC?D，且AE=ED=DC，
?C??BED?2?A??A??B?180o??C,??C?90o.
4．先证明ACE?CBF，得CE=BF，再证CGE?BDF，得BD=CG.
3．3圆
3．3．1 直线与圆，圆与圆的位置关系
设有直线l和圆心为O且半径为r的圆，怎样判断直线l和圆O的位置关系？
图3.3-2 图3.3-1
观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离d>r时，直线和圆相离，
- 47 -
如圆O与直线l1；当圆心到直线的距离d=r时，直线和圆相切，如圆O与直线l2；当圆心到直线的距离d 在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心O和弦AB的中点M的线段OM垂直于这条弦AB.且在RtVOMA中，OA为圆的半径r，OM为圆心到直线的距离d，MA为弦长AB的一半，根据勾股定理，有 AB2r2-d2=(). 2 当直线与圆相切时，如图3.3-3，PA,PB为圆O的切线，可得PA?PB， OA?PA.，且在RtPOA中，PO2?PA2?OA2. 图3.3-3 如图3.3-4，PT为圆O的切线，PAB为圆O的割线，我们可以证得 PATPTB，因而PT2?PA?PB. 例1 如图3.3-5，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是AB的中点，求弦BD的长度。 解 连结OD，交AB于点E。 图3.3-4 BD?AD,O是圆心，?OD?B,BE?AE?1AB?3cm. 2在RtBOE中，OB=5cm,BE=3cm,?OE?OB2?BE2?4cm. OD?5cm,?DE?1cm. 图3.3-5 在RtBDE中，BE=3cm,DE=1cm,?BD?10cm. 例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和26，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径. 解 设圆的半径为r，分两种情况（如图3.3-6）： （1） 若O在两条平行线的外侧， 如图（1），AB=6，CD=26， 则由OM-ON=3，得r2-9-图3.3-6 r2-24=3，解得r=5. （2）若O在两条平行线的内侧（含线上），AB=6，CD=26， 则由OM+ON=3，得r2-9+r2-24=3，无解. 综合得，圆的半径为5. - 48 - 设圆O1与圆O2半径分别为R,r(R?r)，它们可能有哪几种位置关系？ 图3.3-7 观察图3.3-7，两圆的圆心距为O1O2，不难发现：当O1O2?R?r时，两圆相内切，如图（1）；当O1O2?R?r时，两圆相外切，如图（2）；当O1O2?R?r时，两圆相内含，如图（3）；当；当O1O2?R?r时，两圆相外切，如图（5）. R?r?OO12?R?r时，两圆相交，如图（4）例3 设圆O1与圆O2的半径分别为3和2，O1O2?4，A,B为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB的长度. 解 连AB交O1O2于C， C为AB的中点， 则OO12?AB，且 设AC?x，则O1C?9?x2,O2C?4?x2,O1O2?9?x2?4?x2?4，解得x? 315315。故弦AB的长为2x?. 84图3.3-8 练习 1 1.如图3.3-9，⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦 图3.3-9 AC和BD的长。 - 49 - 2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。 图3.3-10 3.如图3.3-10，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE?1cm,EB?5cm,?DEB?60o,求CD的长。 4．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度. 3．3．2 点的轨迹 在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r的点的轨迹. 我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上. 下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹. 从上面对圆的讨论，可以得出： （1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆. 我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹： （2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线. 由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹： （3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线. 图3.3-11 例3 ⊙O过两个已知点A、B，圆心O的轨迹是什么？画出它的图形. 分析 如图3.3-11，如果以点O为圆心的圆经过点A、B，那么OA=OB；反过来，如果一个点O到A、B两点距离相等，即OA=OB，那么以O为圆心，OA为半径的圆一定经过A、B两点. 这就是说，过A、B点的圆的圆心的轨迹，就是到A、B两点距离相等的点的轨迹，即和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹. 答：经过A、B两点的圆的圆心O的轨迹是线段AB的垂直平分线. 练习2 1．画图说明满足下列条件的点的轨迹： （1） 到定点A的距离等于3cm的点的轨迹； （2） 到直线l的距离等于2cm的点的轨迹； （3） 已知直线AB//CD，到AB、CD的距离相等的点的轨迹. 2．画图说明，到直线l的距离等于定长d的点的轨迹. - 50 - 初高中数学衔接教材 现有初高中数学知识存在以下“脱节” 1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 - 1 - 目 录 1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.４ 分式 1．2 分解因式 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法 3．1 相似形 3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2相似形 3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3．3圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹 - 2 - 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 ?a,a?0,?|a|??0,a?0, ??a,a?0.?绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 例1 解不等式：x?1?x?3＞4． 解法一：由x?1?0，得x?1；由x?3?0，得x?3； ①若x?1，不等式可变为?(x?1)?(x?3)?4， 即?2x?4＞4，解得x＜0， 又x＜1， ∴x＜0； ②若1?x?2，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x； ③若x?3，不等式可变为(x?1)?(x?3)?4， 即2x?4＞4， 解得x＞4． 又x≥3，\\点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|． 所以，不等式 ‘ 由|AB|＝2，可知 点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． x＜0，或x＞4． 练 习 1．填空： （1）若x?5，则x=_________；若x??4，则x=_________. （2）如果a?b?5，且a??1，则b＝________；若1?c?2，则c＝________. 2．选择题： 下列叙述正确的是 （ ） （A）若a?b，则a?b （B）若a?b，则a?b （C）若a?b，则a?b （D）若a?b，则a??b 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）． 1.1.2. 乘法公式 - 3 - 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (a?b)(a?b)?a2?b2； 222（2）完全平方公式 (a?b)?a?2ab?．b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 23（1）立方和公式 (a?b)(a ?ab?2b)?3a?；b23（2）立方差公式 (a?b)(a ?ab?2b)?3a?；b2222（3）三数和平方公式 (a?b?c)?a?b?c2?(ab?bc?；) ac3323（4）两数和立方公式 (a?b) ?a?3ab?3a2b?；b332（5）两数差立方公式 (a?b) ?a?3ab?3a2b?．b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x?1)(x?1)(x2?x?1)(x2?x?1)． 222?(x?1)?x解法一：原式=(x2?1)??? =(x2?1)(x4?x2?1) =x6?1． 解法二：原式=(x?1)(x2?x?1)(x?1)(x2?x?1) =(x3?1)(x3?1) =x6?1． 例2 已知a?b?c?4，ab?bc?ac?4，求a2?b2?c2的值． 解： a2?b2?c2?(a?b?c)2?2(ab?bc?ac)?8． 练 习 1．填空： 121211a?b?(b?a)（ ）； 9423（2）(4m? )2?16m2?4m?( )； （1） （3）(a?2b?c)2?a2?4b2?c2?( )． 2．选择题： 1mx?k是一个完全平方式，则k等于 （ ） 21212122（A）m （B）m （C）m （D）m 416322（2）不论a，b为何实数，a?b?2a?4b?8的值 （ ） （1）若x?2 （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 1.1.3．二次根式 一般地，形如a(a?0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 3a?a2?b?2b，a2?b2等是无理式，而2x2?等是有理式． 1．分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入 - 4 - 2x?1，x2?2xy?y2，a22 有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，3?6与3?6，23?32与 23?32，等等． 一般地，ax与x，ax?by与ax?by，ax?b与ax?b互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab?ab(a?0,b?0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． 2．二次根式a2的意义 a2?a???a,a?0, ?a,a?0.?例1 将下列式子化为最简二次根式： （1）12b； （2）a2b(a?0)； （3）4x6y(x?0)． 解： （1）12b?23b； （2）a2b?ab?ab(a?0)； （3）4x6y?2x3y??2x3y(x?0)． 例2 计算：3?(3?3)． 3?33?(3?3) ＝ (3?3)(3?3)33?3 ＝ 9?33(3?1) ＝ 63?1 ＝． 23解法二： 3?(3 ?3＝)3?3例3 试比较下列各组数的大小： 解法一： 3?(3?3＝)3 3 3(3?1)1 ＝ 3?1 ＝ ＝ ＝ 3?1 (3?1)(3?1)3?1 ． 2 （1）12?11和11?10； （2）解： （1）∵12?11? 11?2和22－6. 6?412?11(12?11)(12?11)1， ??112?1112?1111?110?1， 10(1?110)(?1110)?11?101?1又12?11?11?10， 10?- 5 - 例2 已知VABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c，I为 VABC的内心，且I在VABC的边BC、AC、AB上的射影分别为 b+c-aD、E、F，求证：AE=AF=. 2证明 作VABC的内切圆，则D、E、F分别为内切圆在三边上的切点， QAE,AF为圆的从同一点作的两条切线，\\AE=AF， 图3.2-6 同理，BD=BF，CD=CE. \\b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-CD =AF+AE=2AF=2AEb+c-a. 2例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O为三角形ABC的重心和内心. 求证 三角形ABC为等边三角形. 证明 如图，连AO并延长交BC于D. QO为三角形的内心，故AD平分DBAC， ABBD\\=（角平分线性质定理） 图3.2-7 ACDCQO为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC. AB\\=1，即AB=AC. AC同理可得，AB=BC. \\VABC为等边三角形. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8） 即AE=AF= 例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知 VABC中，AD^BC于D,BE^AC于E，AD与BE交于H点. 求证 CH^AB. 证明 以CH为直径作圆， 图3.2-8 图3.2-9 QAD^BC,BE^AC,\\?HDC?HEC90o, - 41 - \\D、E在以CH为直径的圆上， \\?FCB?DEH. 同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得?BED\\?BCH?BAD， ?BAD. 又VABD与VCBF有公共角DB，\\?CFB ?ADB90o，即CH^AB. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 练习1 1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形. 2． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为a、b、c，则三角形的内切圆的半径是-___________; （2）若直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边长），则三角形的内切圆的半径是-___________. 并请说明理由. 3.2.2 几种特殊的三角形 等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上. 例5 在ABC中，AB?AC?3,BC?2.求 （1）ABC的面积SABC及AC边上的高BE； （2）ABC的内切圆的半径r； （3）ABC的外接圆的半径R. 解 （1）如图，作AD?BC于D. 图3.2-10 AB?AC,?D为BC的中点， ?AD?AB2?BD2?22, 1?SABC??2?22?22.2又SABC?142AC?BE,解得BE?. 23（2）如图，I为内心，则I到三边的距离均为r， 连IA,IB,IC， - 42 - 图3.2-11 SABC?SIAB?SIBC?SIAC， 即22?解得r?111AB?r?BC?r?CA?r， 2222. 2图3.2-12 ABC是等腰三角形， （3） ?外心O在AD上，连BO， 则RtOBD中，OD?AD?R,OB2?BD2?OD2, ?R2?(22?R)2?12,解得R? 92. 8在直角三角形ABC中，DA为直角，垂心为直角顶点A， 外心O为斜边BC b+c-a的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为（其中a,b,c分别为 2三角形的三边BC,CA,AB的长），为什么？ 该直角三角形的三边长满足勾股定理：AC2+AB2=BC2. 例6 如图，在VABC中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证： AP2=AB2-PB?PC. 图3.2-13 证明：过A作AD^BC于D. 在RtVABD中，AD2=AB2-BD2. 在RtVAPD中，AP2=AD2-DP2. 图3.2-14 \\AP2=AB2-BD2+DP2=AB2-(BD+DP)(BD-DP). QAB=AC,AD^BC,\\BD=DC. \\BD-DP=CD-DP=PC. \\AP2=AB2-PB?PC. 正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心. 例7 已知等边三角形 图3.2-15 ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为h1,h2,h3，三角形ABC的高为h， - 43 - “若点P在一边BC上，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h.” 请直接应用以上信息解决下列问题： 当（1）点P在VABC内（如图b），（2）点在VABC外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1,h2,h3与h之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）. 解 （1）当点P在VABC内时， 法一 如图，过P作B'C'分别交AB,AM,AC于B',M',C'， 由题设知AM'=PD+PE， 而AM'=AM-PF， 故PD+PE+PF=AM，即h1+h2+h3=h. 法二 如图，连结， 图3.2-16 QSVABC=SVPAB+SVPAC+SVPBC， 11BC?AMAB?PD22又AB=BC=AC， \\1AC?PE21BC?PF， 2图3.2-17 \\AM=PD+PE+PF，即h1+h2+h3=h. （2）当点P在VABC外如图位置时，h1+h2+h3=h不成立，猜想：h1+h2-h3=h. 注意：当点P在VABC外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，如 图3.2-18 h1-h2+h3=h，h1-h2-h3=h（如图3.2-18，想一想为什么？）等. 在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法. 练习2 1．直角三角形的三边长为3，4，x,则x=________. 2．等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________. 3．满足下列条件的VABC，不是直角三角形的是（ ） A．b2=a2-c2 B．?CA:B:?CC．行 ?A?B 3:4:5 D．a:b:c=12:13:5 4．已知直角三角形的周长为3?3，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积. - 44 - 5．证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量. 习题3.2 A组 1．已知：在ABC中，AB=AC，?BAC?120o,AD为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（） A．AD?132AB B．AD?AB C．AD?BD D．AD?BD 222 2．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ） A．6 B．4.5 C．2.4 D．8 3．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________. 4．已知：a,b,c是ABC的三条边，a?7,b?10，那么c的取值范围是_________。 8，且a是整数，则a的值是_________。 5．若三角形的三边长分别为1、a、 B组 1．如图3.2-19，等边ABC的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则CDE的周长为（） A．6?43 B．18?123 C．6?23 D．18?43 2．如图3.2-20，在ABC中，?C??ABC?2?A，BD是边AC上的高，求?DBC的度数。 图3.2-19 图3.2-20 图3.2-21 3．如图3.2-21，RtABC,?C?90o,M是AB的中点，AM=AN，MN//AC，求证：MN=AC。 4．如图3.2-22，在ABC中，AD平分?BAC，AB+BD=AC.求?B:?C的值。 - 45 - m 当 ＜0，即m＜0时，k＝离开就 2 - 31 - 3．1 相似形 3.1.1．平行线分线段成比例定理 在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比. 在一张方格纸上，我们作平\\作直线b交l1,l2,l3于点A',B',C'， A'B'AB2??. B'C'BC3我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. ABDEABDE=?如图3.1-2，l1//l2//l3，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程BCEFACDF中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 图3.1-1 不难发现 例1 如图3.1-2， l1//l2//l3， 且AB=2,BC=3,DF=4,求DE,EF. 解 Ql1//l2//l3\\,ABDE2== ,BCEF328312DE?DF?,EF?DF?. 2?352?35 图3.1-2 例2 在ABC中，D,E为边AB,AC上的点，DE//BC， 求证：证明（1） ADAEDE??. ABACBCDE//BC,??ADE??ABC,?AED??ACB, ?ADE∽ABC，?ADAEDE??. ABACBC证明（2） 如图3.1-3，过A作直线l//BC， l//DE//BC, ADAE?. ABAC过E作EF//AB交AB于D，得BDEF， 因而DE?BF. AEBFDEEF//AB,???. ACBCBCADAEDE???. ABACBC 从上例可以得出如下结论： ?- 32 - 图3.1-3 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. D在AC上，AD:DC?2:1，例3 已知ABC，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上. 解 假设能找到，如图3.1-4，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作EG//AC交BD于G. EG//AC,EF?FC， ?EGF?CDF，且EG?DC，\\ \\’ ABBD=证：. ACDC证明 过C作CE//AD，交BA延长线于E， BABDQAD//CE,\\=. AEDCQAD平分衆BAC,?BAD由AD//CE知?BAD?DAC, 行E,DAC=?ACE, \\?E\\?ACE,即AEAC, 图3.1-5 ABBD=. ACDC例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）. 练习1 1．如图3.1-6，l1//l2//l3，下列比例式正确的是（ ） A．C． ADCEADBC== B． DFBCBEAFCEADAFBE== D. DFBCDFCE图3.1-6 2．如图3.1-7，DE//BC,EF//AB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,求BF. 3．如图，在VABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长. - 33 - 图3.1-7 图3.1-8 4．如图，在VABC中，DBAC的外角平分线AD交BC的延长线于点 ABBDD，求证：=. ACDC 图3.1-9 5．如图，在VABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于F. DFAC=求证：. EFAB 图3.1-10 3.1．2．相似形 我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？ 例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，?BAC?CDB，求证：?DAC?CBD. 证明 在VOAB与VODC中， ?AOB行DOC,OAB=?ODC, \\VOAB∽VODC， OAOBOAOD\\==，即. ODOCOBOC又VOAD与VOBC中，?AOD?BOC， 图3.1-11 \\VOAD∽VOBC， \\?DAC?CBD. 例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中，DBAC为直角， AD^BC于D. 求证：（1）AB2=BD?BC，AC2=CD?CB； （2）AD=BD?CD 证明 （1）在RtVBAC与RtVBDA中，?B?B， BABC\\VBAC∽VBDA，\\=,即AB2=BD?BC. BDBA- 34 - 2图3.1-12 同理可证得AC2=CD?CB. （2）在RtVABD与RtVCAD中，?C\\RtVABD∽RtVCAD，\\90o-?CAD?BAD， ADDC=,即AD2=BD?DC. BDAD我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用. AF?AC. 例7 在VABC中，AD^BC于D,DE^AB于E,DF^AC于F，求证：AE?AB证明 QAD^BC， \\VADB为直角三角形，又DE^AB， 由射影定理，知AD2=AE?AB. 同理可得AD2=AF?AC. \\AE?ABAF?AC. 图3.1-13 例8 如图3.1-14，在VABC中，D为边BC的中点，E为边AC上的任意一点，BE交AD于点O.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： 图3.1-14 （1） 当 AE11AO22====时，有.（如图3.1-14a） AC21+1AD32+1AE11AO22====时，有.（如图3.1-14b） AC31+2AD42+2AE11AO22====时，有.（如图3.1-14c） AC41+3AD52+3AOAE1=时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一般结论， ADAC1+n（2） 当 （3） 当 在图3.1-14d中，当 并给出证明（其中n为正整数）. 解：依题意可以猜想：当 AE1AO2==时，有成立. AC1+nAD2+n证明 过点D作DF//BE交AC于点F， QD是BC的中点，\\F是EC的中点， - 35 - 由 AE1AE1AE2AE2=，\\==,=.. 可知 ECnAC1+nEFnAF2+n\\AOAE2==. ADAF2+nAO1AE=，则=? ADnAC本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史. 练习2 1．如图3.1-15，D是VABC的边AB上的一点，过D点作DE//BC交AC于E. 想一想，图3.1-14d中，若 已知AD：DB=2：3，则SVADE:S四边形BCDE等于（ ） 图3.1-15 A．2:3 B．4:9 C．4:5 D．4:21 2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________. 3．已知：VABC的三边长分别是3，4，5，与其相似的VA'B'C'的最大边长是15，求A'B'C'的 面积SVA'B'C'. 4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. （1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由； （2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时， EFGH是菱形？是正方形？ 5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，VPCD是等边三角形， （1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，VACP∽VPDB？ （2） 当VACP∽VPDB时，求DAPB的度数. 习题3.1 A组 1．如图3.1-18，VABC中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ） A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6 C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8 - 36 - 图3.1-16 图3.1-17 2．如图3.1-19，BD、CE是VABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ:BC等于（ ） A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6 3．如图3.1-20，YABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，SVBEF=4，求SVCDF. 4．如图3.1-21，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE^AC交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求证：AG2=AF?FC. B组 1．如图3.1-22，已知VABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交 EFAF+于F，则的值为（ ） FCFD13A． B．1 C． D．2 22 2．如图3.1-23，已知VABC周长为1，连结VABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） 1111A． B． C．2002 D．2003 2002200322 3．如图3.1-24，已知M为YABCD的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与YABCD面积的比是（ ） 1115A． B． C． D． 36412 - 37 - 图3.1-18 图3.1-19 图3.1-20 图3.1-21 图3.1-22 图3.1-23 图3.1-24 4．如图3.1-25，梯形ABCD中，AD//BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF//AD. （1） 求证：OE=OF； 图3.1-25 OEOE+（2） 求的值； ADBC112+=（3） 求证：. ADBCEF C组 1．如图3.1-26，VABC中，P是边AB上一点，连结CP. （1） 要使VACP∽VABC，还要补充的一个条件是____________. （2） 若VACP∽VABC，且AP:PB=2:1，则BC:PC=_____. 图3.1-26 2．如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且 ?BAC?BDC?D. A（1） 求证：BE?ADCD?AE； BC（2） 根据图形的特点，猜想可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有 DE线段的一组比即可）？并证明你的猜想. 图3.1-27 3．如图3.1-28，在RtVABC中，AB=AC，?A90o，点D为BC上任一点， DF^AB于F，DE^AC于E，M为BC的中点，试判断VMEF是什么形状的三角形，并证明你的结论. 图3.1-28 4．如图3.1-29a，AB^BD,CD^BD,垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，EF^BD于F，我们可以证明 111+=成立. ABCDEF 若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，AB//CD,AD、BC相交于E，EF//AB交BD于F，则： 111+=（1） 还成立吗？如ABCDEF图3.1-29 - 38 - 果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （2） 请找出SVABD,SVBCD和SVEBD之间的关系，并给出证明. 3.1 相似形 练习1 1．D 10DEADx510?,??,x?，即BF?. 3BCABx?283ABBD535??,?BD?cm. 3． ACDC49ABBDABBD??4．作CF//AB交AD于F，则，又?AFC??FAE??FAC得AC?CF,?. CFDCACDCACCEDBDFACEGCE??,??CEGCAB,??,即5．作EG//AB交BC于G，. ABEGEGEFABABAC2．设BF?x, 练习2 1．C 2．12，18 1152??3?4?6,?S?()?6?54. ABCA'B'C'2514．（1）因为EH//BD//FG,所以EFGH是平行四边形；（2）当AC?BD时，EFGH为菱形；当 23． SAC?BD,AC?BD时，EFGH为正方形. 25．（1）当CD?AC?BD时，ACPoPDB；（2）?APB?120. 习题3.1 A组 1．B 2.B 3.SCDF?9 224．BF为直角三角形ABC斜边上的高，BF?AF?FC，又可证AG?BF,?AG?AF?FC. B组 1．C 2.C 3.A 4．（1） AD//BC,?EOAEDEOFOEOEAEBE???,EO?OF.（2）????1.（3）由（2）知BCABDCBCADBCABAB1112???. ADBCOEEFC组 1.(1)AC?AP?AB或?ACP??B.(2)BC:PC?3:2. 2BEAEBCABAD?ADEACB,???；（2）. CDADDEAEACABC为等腰直角三角形，且AEDF为矩形，?OM为RtAMD斜边的中3．连AD交EF于O，连OM， 2．（1）先证AEBADC，可得 - 39 - 线，OM?角三角形. 11AD?EF,?MEF为直角三角形.又可证BMF?AME，得MF?ME，故MEF为等腰直224．（1）成立， EFEFFDBF111111????1,???.（2），证略. ??ABCDBDBDABCDEFSABDSBCDSEBD 3.2 三角形 3．2．1 三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 图3.2-1 图3.2-2 图3.2-3 A,B,?C，三个顶点A,B,C，如图3.2-1 ，在三角形VABC中，有三条边AB,BC,CA，三个角行在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知 D、E、F分别为VABC三边BC、CA、AB的中点， 求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1. 证明 连结DE，设AD、BE交于点G， 1QD、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且DE=AB， 2\\VGDE∽VGAB，且相似比为1：2， \\AG=2GD,BG=2GE. 图3.2-4 设AD、CF交于点G'，同理可得，AG'=2G'D,CG'=2G'F. 则G与G'重合， \\ AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2:1. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5） - 40 - 图3.2-5 百度搜索“70edu”或“70教育网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，70教育网，提供经典综合文库初高中数学衔接教材(超实用)在线全文阅读。
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