2024高中数学 3章整合课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第3章

(考试时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设a＝(x,2y,3)，b＝(1,1,6)，且a∥b，则x＋y等于( ) 1

A. 23C. 2

3

解析： ∵a∥b，∴x＝2y＝，

611∴x＝，y＝. 243∴x＋y＝.

4答案： B

2．若a＝(0,1，－1)，b＝(1,1,0)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是( ) A．－1 C．1

B．0 D．－2 3B. 4D．2

解析： a＋λb＝(0,1，－1)＋(λ，λ，0)＝(λ，1＋λ，－1)， 因为(a＋λb)·a＝(λ，1＋λ，－1)·(0,1，－1) ＝1＋λ＋1＝2＋λ＝0， 所以λ＝－2. 答案： D

3．若向量(1,0，z)与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为A．0 C．－1 解析： 由题知

21＋z·5

22

2

，则z等于( ) 5

B．1 D．2

，0，z2

，1，

1＋z·5

5，

＝25

，

＝

2

1＝1＋z，∴z＝0. 答案： A

4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1－e2，d＝3e1＋2e2＋e3({e1，e2，e3}为空间的一

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个基底)，且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为( )

53

A.，，－1 2251

C．－，，1

22

51B.，，1 2251D.，－，1 22

解析： d＝xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2－e3) ＋z(e1－e2)．

∴{x＋y＋z＝3，x－y－z＝2，答案： A

5．若直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u＝(－2,2，－4)，则( ) A．l∥α C．l?α

解析： ∵u＝－2a，∴u∥a， ∴l⊥α，故选B. 答案： B

→→→→

6．在平行六面休ABCD－A′B′C′D′中，若AC′＝xAB＋2yBC＋3zC′C，则x＋y＋z等于( )

A．1 5C. 6

解析： 如图，

7B. 62D. 3B．l⊥α D．l与α斜交

x－y＝1， ∴?x＝，y＝，z＝－1

?

?

5232

AC′＝AB＋BC＋CC′

→→→＝AB＋BC－C′C，

所以x＝1,2y＝1,3z＝－1， 11

所以x＝1，y＝，z＝－，

23117

因此x＋y＋z＝1＋－＝.

236

→→→→

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答案： B

7．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为( )

A.C.10 10310

10

1B. 53D. 5

解析： 以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,1,0)，

E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)．

→→

∴BE＝(0，－1,1)，CD1＝(0，－1,2)．

→→BE·CD13310→→

∴cos〈BE，CD1〉＝＝＝.故选C.

→→102×5|BE||CD1|答案： C

8．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，

D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为( )

A．60° C．30°

B．45° D．90°

解析： 设n＝(x，y,1)是平面ABC的一个法向量． →→

∵AB＝(－5，－1,1)，AC＝(－4，－2，－1)， ∴{－5x－y＋1＝0，3??1

∴n＝?，－，1?.

2??2

→

又AD＝(－2，－1,3)，设AD与平面ABC所成的角为θ， 7

→

|AD·n|21

则sin θ＝＝＝，∴θ＝30°.故选C.

→72|AD||n|答案： C

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为( ) 1A. 2C.3 2

1B. 3D.3 3

?13

－4x－2y－1＝0， ∴?x＝，y＝－，22?

解析：

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以点D为原点，DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为→→

1，则A1C＝(－1,1，－1)，AC1＝(－1,1,1)．

1→→

又可以证明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD，又cos〈AC1，A1C〉＝，结合图形可知平面3

A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.故选B.

答案： B

10.如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为( )

A.3 2 3

B.2 25 5

13

C.D.

解析： 因为A1B1∥EF，G在A1B1上，

所以G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离， 即是A1到D1E的距离，D1E＝

5， 2

11×25

由三角形面积可得所求距离为＝.故选D.

552答案： D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，则|a－2b|＝________. 解析： 因为a－2b＝(8，－5,13)， 所以|a－2b|＝8＋－答案：

258

2

2

＋13＝258.

2

12．设a＝(2，－3,1)，b＝(－1，－2,5)，d＝(1,2，－7)，c⊥a，c⊥b，且c·d＝10，则c＝________.

解析： 设c＝(x，y，z)，

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根据题意得{2x－3y＋z＝0，x－2y＋5z＝0，x＋2y－7z＝10.

?65解得?x＝，12?

y＝，z＝.

15

4512

?65155?答案： ?，，? ?12412?

9

13．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的

5距离是________．

解析：

以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 9??则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P?0，0，?， 5??→

所以AB＝(－4,3,0)， →

AP＝?－4，0，?，

→→

|AP·AB|16→

所以AP在AB上的投影长为＝，

→5|AB|所以P到AB的距离为

??

9?5?

d＝

?16?22

|AP|－??＝?5?

81256

16＋－＝3.

2525

答案： 3

14．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝1，且AB，AD，AA1的夹角都是→→

60°，则AC1·BD1＝________.

→→→→→→→→

解析： AC1＝AB＋AD＋AA1，BD1＝BC＋BA＋BB1，

AC1·BD1＝(AB＋AD＋AA1)·(BC＋BA＋BB1)

→→→→→→＝(AB＋AD＋AA1)·(AD－AB＋AA1)

→→→2→→→2→→→→→→→→→2 ＝AB·AD－|AB|＋AB·AA1＋|AD|－AD·AB＋AD·AA1＋AA1·AD1－AA1·AB＋|AA1|＝2×1×cos 60°－4＋1－2×1×cos 60°＋1×2×cos 60°×2＋4＝3. 答案： 3

→→→→→→→→

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